積分常數

積分常數是（）指在微積分中，函數的不定積分表示式中會出現的一個待定常數，一般會用  表示，一函數的反導數有無窮多個，但其中除了積分常數不同外，其餘部份均相同。

簡介

任何常數函數的導數均為零，因此只要發現一個函數的反導數，因為，加上或減去一常數  後的函數也是反導數，積分常數可用來表示任何函數均有無限個不同的反導數。

例如，假設需要求得 的反導數，、及的導數都是，因此都是的反導數。

同一個函數可以有許多的反導數，而這些反導數之間只相差一個常數，因此若要列出 所有的反導數，可以用以下的通式：

 即為積分常數，利用下式可以確認這些函數的確都是的反導數：

若利用線性代數的描述方式，微分算子可將k+1維的向量映射到k維的空間中，因此其反運算（積分）會多一個待確定的條件Albert Tarantola, "Inverse Problems: Exercices. Chapter 8: The Derivative Operator, its Transpose, and its Inverse", 12 March 2007。

積分常數的必要性

積分常數可以設為0，而且利用微積分基本定理計算定積分時，積分常數會互相抵消，積分常數看似沒有必要。

不過試圖將積分常數設為0的作法不一定合理，例如可以用以二種方式積分：

即使將  設為0，仍然有些積分表示式中會出現常數，也就是說有些函數不存在一種最簡單的反導數。

使用積分常數的另一個原因，是有時會需要反導數在特定點為某特定值，就像是初值問題的情形一様。例如要求出的反導數，且  時的值為100，此時  只有一個數值才能滿足此條件（此例中 ）。

上述限制可以用微分方程的形式來描述：求解一個函數的反導數也就是求解微分方程。任何微分方程都有許多的解，每一個解都是一個良態初值問題的唯一解。上一段的問題中  時的值為100即為初始條件。每一個初值問題對應一個唯一的  值，若沒有積分常數 ，許多初值問題就無法求解。

不同反導數之間只差一個常數的原因

原因可以用以下定理來表示：令及為二個處處可微的函數。假設對於所有的實數 ，都成立，則存在一實數  使得對於所有的實數 ，皆成立。

若要證明此式，由於，因此以下用  來代替 ，而用常數函數0來代替 ，待證明為一個處處可微，導數恆為0的函數一定是常數：

選擇一實數 ，令。針對任意的 ，依照微積分基本定理可得

因此可得，因此F為常數函數。

證明過程中，有二個條件相當重要。首先，實數數線為連通空間，若實數數線不是連通空間，就無法從固定的  點積分到任意的  點。例如一函數只在  及  的區間有定義，而  為0，因為函數在1到2之間沒有定義，不可能從0積分到3。此時會有二個常數，分別對應定义域中的二個連通空間。一般而言，若將常數改為s，可以將此定理延伸到不連通的空間中。例如有二個積分常數，而有無限個積分常數。 積分的一般式為："Reader Survey: log|x| + C ", Tom Leinster, The n-category Café, March 19, 2012

再者， 和  的條件需是處處可微的函數，若  及  在某一點不可微，則以上定理不成立。例如令单位阶跃函数，在  負值時為0，在  非負時為1，令。 在有定義導數的區域，其導數為0， 的導數恆為0，但  及  不只差一個常數而已。

甚至假設  及  為處處連續，幾乎處處可微，則以上定理仍然不成立。康托函數和常數函數0就是這樣的例子。

注释

參考資料

Category:积分学