梅滕斯猜想

梅滕斯猜想是数论中的一个猜想，是有關數論中梅滕斯函数上下界的猜想，由汤姆斯·斯蒂尔吉斯在一封于1885年写给夏尔·埃尔米特与弗朗茨·梅滕斯（Franz Mertens）的信中提出。这一猜想如果成立的话可以推出黎曼猜想，不过已被与于1985年证否。

 定义 
数论中，有梅滕斯函数

其中，表示默比乌斯函数：
 若若无平方数因数，且若有大於的平方數因數

则梅滕斯猜想是指，对所有，有

 猜想的證否 
湯姆斯·斯蒂爾吉斯在1885年聲稱已證明比梅滕斯猜想要弱的結果，也就是有界，但其結果沒有發表（若用的方式表示，梅滕斯猜想是指）

与在1985年證否了梅滕斯猜想，用的是Odlyzko & te Riele (1985)Sandor et al (2006) pp.188–189：
 且 
之後也證實了第一個反例小於 Pintz (1987)，大於1016，後來的上限已降到Kotnik and Te Riele (2006)或近似，但還沒找到確切的反例數值。

參考資料

 参考文献 
 T. Kotnik and Herman te Riele (2006), "The Mertens Conjecture Revisited", Lecture Notes in Computer Science 4076 (Proceedings of the 7th Algorithmic Number Theory Symposium), pp. 156-167.
 T. Kotnik and J. van de Lune (2004), "On the order of the Mertens function", Experimental Mathematics 13, pp. 473-481
 F. Mertens (1897), "Über eine zahlentheoretische Funktion", Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse, Abteilung 2a, 106, pp. 761-830. 






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