Cis函數

在微积分学中，cis函數又稱純虛數指數函數，是複變函數的一种，和三角函數類似，其可以使用正弦函數和餘弦函數來定義，是一種實變數，其中為虛數單位，而cis則為的縮寫。

 概觀 
cis函數是歐拉公式等號右側的所形的組合函數簡寫：

其中表示虛數單位。因此

cis符號最早由威廉·哈密頓在他於1866出版的《Elements of Quaternions》中使用 (, )，而Irving Stringham在1893出版的《Uniplanar Algebra》
 (NB. ISBN and link for reprint of 2nd edition by Cosimo, Inc., New York, US, 2013.)
以及James Harkness和Frank Morley在1898出版的《Theory of Analytic Functions》中皆沿用了此一符號
 (NB. ISBN for reprint by Kessinger Publishing, 2010.)
，其利用歐拉公式將三角函數與複平面的指數函數連結起來。

cis函數主要的功能為簡化某些數學表達式，透過cis函數可以使部分數學式能更簡便地表達，例如傅里葉變換和哈特利變換的結合，以及應用在教學上時，因某些因素（如課程安排或課綱需求）因故不能使用指數來表達數學式時，cis函數就能派上用場。

 性質 
cis函數的定义域是整个实数集，值域是單位複數，絕對值為1的複數。它是周期函数，其最小正周期为。其图像关于原点对称。

上述文字稱它以類似三角函數的形式來定義函數的原因是，就如同三角函數，他也算是一種比值，複數和其模的比值:
，其中是辐角為的複數
因此，當一複數的模為1，其反函數就是辐角（arg函數）。

函數可視為求單位複數的函數。

函數的實數部分和餘弦函數相同。
250px|none|thumb|cis函數 定義在複數。圖中，顏色代表辐角，高代表模
微分

 積分 

 其他性質 
根據歐拉公式，cis函數有以下性質：

上述性質是當與都是複數時成立。在與都是實數時，有以下不等式：

 命名 
由於函數的值為「餘弦加上虛數單位倍的正弦」，取其英文縮寫cosine and imaginary unit sine，故以來表示該函數。

 歐拉公式 

在數學上，為了簡化歐拉公式，因此將歐拉公式以類似三角函數的形式來定義函數，給出了cis函數的定義：

並且一般定義域為，值域為。

當值為複數時，函數仍然是有效的，因此可利用cis函數將歐拉公式推廣到更複雜的版本。

 棣莫弗公式 

在數學上，為了方便起見，可以將棣莫弗公式寫成以下形式：

 指數定義 
跟其他三角函數類似，可以用e的指數來表示，依照歐拉公式給出:

 反函數 
的反函數：，當代入模為1的複數時，所得的值是其輻角

類似其他三角函數，的反函數也可以用自然對數來表示

當一複數經過符號函數後代入可得輻角。

 恆等式 
函數的倍角公式似乎比三角函數簡單許多

 半形公式 

 倍角公式 

冪簡約公式

 相關函數 
 餘cis函數 
就如同三角函數，我們可以令：，其可用於誘導公式來化簡某些特定的函數的式子。

至於指數定義，經過正弦和餘弦的指數定義得:

有恆等式:

 雙曲cis函數 
cish函數（）在幾何意義上與cis函數對應的雙曲函數不同。在雙曲幾何中，與歐幾里得幾何對應cis函數應為：

然而當中的若定義為負一的平方根，則其會變為：

雙曲複數

在一般的情況下，cis函數對應的雙曲函數定義域和值域皆為實數，但若定義雙曲複數，考慮數，其中是實數，而量不是實數，但是實數。選取，得到一般複數。取的話，便得到雙曲複數。

而雙曲複數有對應的歐拉公式:

其中j為雙曲複數。

因此雙曲cis函數得到的值為雙曲複數，相反的若將其反函數帶入模為一的雙曲複數可得其輻角。

如此一來，值域將會變成分裂四元数。

 cas函數 
cas函數是一個以類似cis函數的概念定義的一個函數，為於1942提出，其定義為，是一種實變數實值函數，而cas為「cosine-and-sine」的縮寫，其表示了實數值的：

cas函數存在一些恆等式：

角和公式：

微分：

 參見 
 正弦
 餘弦
 複數 (數學)
 三角函数
 三角函数恆等式
 歐拉公式
 參考文獻 

Category:特殊函数