贝克隆德变换

贝克隆德变换是两个非线性偏微分方程之间的一对变换关系Inna Shignareve and Carlos Lizarraga-Celaya, Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple and Methematica, p46, Springer。

两个非线性偏微分方程

之间的贝克隆德变换，指的是这样一对关系

贝克隆德变换是求非线性偏微分方程精确解的一种重要的变换。

1876年瑞典数学家贝克隆德发现正弦-戈尔登方程的不同解u、v

之间有如下关系：阎振亚著《复杂非线性波的构造性理论及其应用》6页科学出版社2007年

这就是正弦-戈尔登方程的贝克隆德自变换。

将贝克隆德自变换第一式对t取微商，二式对x微商：

消除v即得；

消除u项即得

贝克隆德变换常用于求正弦-戈尔登方程、高维广义Burger I型方程、高维广义Burger II型方程的精确解：阎振亚著《复杂非线性波的构造性理论及其应用》106-111页科学出版社2007年

解正弦-戈尔登方程

利用正弦-戈尔登方程的自贝克隆德变换解正弦-戈尔登方程：

由贝克隆德自变换令v=0，得

，显然

，两边对x积分，得：

对贝克隆德自变换第二式作同样运算得：

经过三角函数运算，二式简化为

二式相加得：

，

分离u得正弦-戈尔登方程的一个解析解：

又从
直接接求u得另外两个解析解：

另见
可积系统

KdV方程

参考文献

Category:非线性偏微分方程