漢克爾變換

汉克尔变换是指对任何给定函数  以第一类贝塞尔函数  作无穷级数展开，贝塞尔函数  的阶数不变，级数各项  作变化。各项  前系数  构成了变换函数。对于函数 , 其  阶贝塞尔函数的汉克尔变换（ 为自变量）为

其中， 为阶数为  的第一类贝塞尔函数，。对应的，逆汉克尔变换  定义为

汉克尔变换是一种积分变换，最早由德国数学家赫尔曼·汉克尔提出，又被称为傅立叶-贝塞尔变换。

 正交性 
贝塞尔函数构成 正交函数族 权重因子为 r:

其中  与  大于零。

 与其他函数变换的关系 

 傅立叶变换 

零阶汉克尔函数即为圆对称函数的二维傅立叶变换。给定二维函数  ，径向矢量为 ，其傅立叶变换为

不失一般性，选择极坐标  ，使得矢量  方向指向  。极坐标下的傅立叶变换写作

其中  为矢量  与  间夹角。如果函数  恰为圆对称不依赖角变量  ， ，对角度  的积分可以提出，傅立叶变换写作 

此式恰为  的零阶汉克尔变换的  倍。

 常见汉克尔变换函数对 
 for -2<Re(m)<-1/2, 可为复数 

参见条目
 傅里叶变换

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