单叶函数

单叶函数（）是數學領域中的複分析對函數的一種分類，若一全純函數的定義域為複數平面中的一開集，而函數為单射函數，此函數即為单叶函数。

若為一全純函數，且滿足下式

則為单叶函数。

 舉例 
任何由開集单位圆盘映射到本身的映射（其中）為单叶函数。

函數在開單位圓盤內是单叶函数，因為也就表示，而第二個因式在開單位圓盤內都不為零，因此，是單射函數。

 基本性質 
若及為二個複數平面中的開集連通空間，且



是一個滿足的單葉函數（有一對一的對應關係），則導數恆不為0，可逆，而且其逆元素也是全純函數。依链式法则可得到下式：

對所有中的複數皆成立。 

和實函數的比較
實解析函數和全純函數不同，上述的性質在實解析函數中不成立，考慮以下的實數函數：



而ƒ(x) = x3。此函數也是单射函數，但在x = 0處其導數為0，其逆元素在 (−1, 1)區間中也不都是解析函數，也不完全可微。

若將定義域擴展到複數平面內，原點附近的開放子集內，上述函數就不是单射函數了，例如（其中是三次單位根，而是小於半徑的正實數）。

 參考資料 
 John B. Conway. Functions of One Complex Variable  I. Springer-Verlag, New York, 1978.  ISBN 0-387-90328-3.
 John B. Conway. Functions of One Complex Variable II. Springer-Verlag, New York, 1996.   ISBN 0-387-94460-5.

Category:复分析