萊維過程

莱维过程（Lévy process）源于法国数学家保羅·皮埃爾·萊維，是连续时间上的一种拥有独立稳定增量的左极限右连续（Càdlàg）的随机过程。著名的例子有维纳过程和泊松过程。

定义
一个随机过程是一个莱维过程如果符合以下条件：
  几乎确定。
 独立增量：对任何, 相互独立。
 稳定增量：对任何, 与有相同分布
  is 几乎确定右连左极.

性质

独立增量

设Xt是一个连续时间上的随机过程。也就是说，对于任何固定的t ≥ 0，Xt是一个随机变量。过程的增量为差值Xs − Xt（任意的时间t < s）。 独立增量意味着对于任何时间s > t > u > v，Xs − Xt和Xu − Xv相独立。

 稳定增量 

如果增量Xs − Xt的分布只依赖于时间间隔s − t，则称增量是稳定的。

例如，对于维纳过程，增量Xs − Xt服从均值为0，方差为s − t的正态分布。

对于泊松过程，增量Xs − Xt服从指数为s − t的泊松分布

 可分性 

莱维过程与无限可分分布有关：
 增量的分布是无穷可分的。即对任意给定的n，Xt的分布可以表示为n个与Xt/n同分布的随机变量的和的分布。
 反之，对于每个无穷可分的分布，可以构造出一个与之对应的Lévy过程。

 矩 

当莱维过程的n阶矩存在有限时， 它满足二项式等式：

例子

 维纳过程 
定义
X为维纳过程（或者标准布朗运动） 当且仅当
 对任何， 随机变量服从正态分布,
 它的轨迹是几乎处处连续的；即， 对于几乎所有的事件，关于t的函数是连续的。

性质
 它的傅立叶变换为：

其他性质可参考词条布朗运动。

 复合泊松过程 
定义
X为一个实参数为，测度为 当且仅当它的傅立叶变换为：
 .

性质
 参数为  ，测度为的复合泊松过程为泊松过程.
 设N为参数为的泊松过程，为一个随机游走（的分布为），那么为一个复合泊松过程。

参阅
独立同分布
维纳过程
泊松过程
马尔可夫链

参考来源
翻译自英语、法语版维基词条。

Ken-iti Sato. Lévy Processes and Inﬁnitely Divisible Distributions,Cambridge University Press, 1999

Category:随机过程