有界算子

在泛函分析此一數學分支裡，有界線性算子是指在賦範向量空間X 及Y 之間的一種線性變換L，使得對所有X 內的非零向量v，L(v) 的範數與v 的範數間的比值會侷限在相同的數字內。亦即，存在一些M > 0，使得對所有在X 內的v，

其中最小的M 稱為L 的算子范数。。

有界線性算子一般不會是有界函數；後者需要對所有的v，L(v)的範數是有界的，但這只有在Y 為零向量空間時才有可能。然而，有界線性算符為局部有界函數。

一個線性算子為有界的，若且唯若其為連續的。因此有界线性算子也被称为连续线性算子。

 例子 
 任何在兩個有限維度賦範空間之間線性算符皆是有界的，且此類算符可以被視為某些固定矩陣的乘積。
 許多積分變換為有界線性算符。例如，設

為一連續函數，則算符L

（定義於由在 上的連續函數所組成的空間，賦予空間 均勻範數的值）是有界的。此一算符實際上也是緊緻的。緊緻算符在有界算符中是很重要的一類。

 拉普拉斯算符

（其定義域為索伯列夫空間，值域在由平方可積函數所組成的空間內）是有界的。

 在由所有實數序列(x0, x1, x2...)（其中）所組成的l2 空間上的位移算符

是有界的。其算符範數可輕易地看出為1。

 有界和連續的等價 

如開頭所述，在賦範空間X 及Y間的線性算子L 是有界的，若且唯若其為連續線性算子。證明如下：

 設L 是有界的，則對X內的所有向量v 及h（其中的h不為零），會有
。
令 趨近於零，即可證明L 在v 是連續的。甚至，因為常數M 不依賴v，可證明L 實際上是均勻連續的（更甚之，還是利普希茨連續的）。

 反過來，在零向量的連續性，允許存在一個，使得對所有X 內 的向量h，。因此，對所有'X 內的非零向量v，會有

 這證明了L 是有界的。

 參考資料 
 Kreyszig, Erwin: Introductory Functional Analysis with Applications'', Wiley, 1989

 参见 
算子代数
算子理论

Category:线性算子
分類:算子理論
分類:連續映射