拉格朗日括号

拉格朗日括号是一种与泊松括号关系密切的运算，1808年至1810年间由约瑟夫·拉格朗日最早用于经典力学之中。不过与泊松括号相比，拉格朗日括号在今日已不常使用。

 定义 
令(q1, …, qn, p1, …, pn)为相空间中的正则坐标，且每一个坐标都可表示为两个变量u与v的函数，则u和v的拉格朗日括号为：

 性质 
 拉格朗日括号与特定的正则坐标无关(q, p)。如取另一组正则坐标(Q,P) = (Q1, …, Qn, P1, …, Pn)，满足正则变换

此时拉格朗日括号不变，即



因而通常情况下会省略下标。

 如果2n维相空间W上有辛形式Ω，u1,…,u2n是W上的一个坐标系，那么正则坐标(q,p)可表示为u的函数，而拉格朗日括号所组成的矩阵



表示在]Ω在坐标系u下的分量，可看作一个张量。这个矩阵是由泊松括号所组成的矩阵



的逆矩阵。

 由上述性质可以得到，相空间上的坐标(Q1, …, Qn, P1, …, Pn)是正则的，当且仅当它们之间的拉格朗日括号有如下形式：



 参见 
 拉格朗日力学
 哈密顿力学

 参考文献 
 Cornelius Lanczos, The Variational Principles of Mechanics, Dover (1986), ISBN 0-486-65067-7.
 Iglesias, Patrick, Les origines du calcul symplectique chez Lagrange [The origins of symplectic calculus in Lagrange's work], L'Enseign. Math. (2) 44 (1998), no. 3-4, 257--277. 

Category:双线性算子
Category:二元运算
Category:哈密顿力学