晶体学点群

在晶体学中，晶体学点群是对称操作（例如旋转、反映）的集合。这些操作以固定的中心向其他方向移动能使晶体复原，因此称为对称操作。对于一种真正的晶体（不是准晶体），点群对应的操作必须能够保持晶体的三维平移对称性。经过它的点群中任何操作之后，晶体的宏观性质依然和操作前完全相同。在晶体的分类中，每一种点群也称为晶类。

这样看来似乎有无穷多种三维点群。然而，根据晶体局限定理可知，无穷多族的普通点群可以概括成32种晶体学点群。这32种点群与1830年约翰·弗里德里希·克里斯蒂安·赫塞尔提出的32种晶体形态学（外部）对称性是等价的，而他是从观察晶体外形得出的此结论。

晶体的点群和其他要素一起从结构上决定了晶体的物理性质具有各向异性，包括光学性质，例如某种晶体是否有双折射性质，或者它是否表现出普克尔斯效应。

记号
点群表示的是晶体所包含的对称元素。目前有多种不同的记号，分别由结晶学家、矿物学家、物理学家和化学家使用。

对于下面两种不同系统的关系，请参见晶系。

熊夫利记号

在熊夫利中，点群是用字母符号加上数字下标表示的。下面简述晶体学中使用的这种符号的意义：

Cn（循环群）表示该群有一根n次旋转轴。Cnh是Cn加上一个与旋转轴垂直的镜面（反映）对称元素。Cnv则是Cn加上n个与旋转轴平行的镜面对称元素。
S2n（源自德语Spiegel，意思是镜面）表示一根只含有2n次旋转反映轴（简称映轴）。
Dn（二面体群）表示这个群只有一根n次旋转轴和n根垂直于这根主轴的二重轴。Dnh是加上一个与n次旋转轴垂直的镜面。Dnd则是Dn是加上n个与n次旋转轴平行的镜面。
字母T（四面体）表示这个群有四面体的对称性。Td则包括了旋转反映操作，T群本身则不包含旋转反映操作，Th则是T群加上与旋转轴垂直的镜面。
字母O（八面体）表示该群具有八面体或者立方体的对称性，可能包括（Oh）或不包括（O）旋转反映操作。

根据晶体局限定理，在二维或三维空间中n的取值只有1、2、3、4和6。

 n 1 2 3 4 6 Cn C1 C2 C3 C4 C6 Cnv C1v=C1h C2v C3v C4v C6v Cnh C1h C2h C3h C4h C6h Dn D1=C2 D2 D3 D4 D6 Dnh D1h=C2v D2h D3h D4h D6h Dnd D1d=C2h D2d D3d D4d D6d S2n S2 S4 S6  S8  S12
D4d和D6d实际上是不存在的，因为它们分别包含了n=8和12的旋转反映轴。表格中剩下的27种点群与T、Td、Th、O和Oh共同组成32种晶体学点群。

 赫尔曼–莫甘记号 

赫尔曼–莫甘记号的一种简略形式广泛用于表示空间群，也用于描述晶体学点群。群的名称列在下表中；点群间相互之关系可见右图。

1 2  2⁄m222 m mm2 mmm3   32 3m m4 4⁄m 422 4mm 2m 4⁄mmm6  6⁄m 622 6mm 2m 6⁄mmm23 m 432 3m mm

不同记号之间的对应关系

晶族  晶系 赫尔曼–莫甘（完整记号） 赫尔曼–莫甘（简写记号） 舒勃尼科夫   熊夫利 轨形记号考克斯特记号  阶 三斜 1  1   C1  11  [ ]+  1      Ci = S2   x  [2+,2+] 2 单斜 2  2   C2  22  [2]+  2 m  m   Cs = C1h  *  [ ]  2   2/m    C2h   2*  [2,2+]  4 正交   222 222  D2 = V  222  [2,2]+  4 mm2  mm2   C2v  *22  [2]  4   mmm   D2h   *222  [2,2]  8 四方  4  4   C4   44  [4]+  4      S4  2x  [2+,4+] 4    4/m   C4h   4*  [2,4+]  8422  422    D4  422  [4,2]+  84mm  4mm   C4v   *44  [4]  8 2m  2m    D2d   2*2  [2+,4]  8   4/mmm    D4h  *422  [4,2]  16 六方 三方  3  3    C3   33  [3]+  3     S6 = C3i   3x  [2+,6+] 6 32  32    D3   322  [3,2]+  6 3m  3m    C3v   *33  [3]  6  m    D3d  2*3  [2+,6]  12 六方6  6    C6   66  [6]+  6       C3h   3*  [2,3+]  6   6/m    C6h   6*  [2,6+]  12 622  622    D6   622  [6,2]+  12 6mm  6mm   C6v   *66  [6]  12 m2  m2    D3h   *322  [3,2]  12   6/mmm    D6h   *622  [6,2]  24 立方 23  23    T   332  [3,3]+  12   m    Th   3*2  [3+,4]  24 432  432     O    432  [4,3]+  24 3m  3m    Td   *332  [3,3]  24   mm    Oh   *432  [4,3]  48

参见
 分子对称性
 点群
 空间群
 三维点群
 晶系

 参考资料 

外部链接
Point-group symbols in International Tables for Crystallography (2006). Vol. A, ch. 12.1, pp. 818-820
Names and symbols of the 32 crystal classes in International Tables for Crystallography (2006). Vol. A, ch. 10.1, p. 794
Pictorial overview of the 32 groups
Point Groups - Flow Chart

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