冪數

冪數（）也稱為幂次数，是指一正整数，其所有質因數的平方亦是的因數，換言之，若存在一質因數，則也是的因數。

冪數可表示為一個平方數及立方數的乘積，若及為正整數（包括1在內），即為冪數。而平方數及立方數本身（及整數的更高次方）也是冪數。

保羅·艾狄胥及喬治·塞凱賴什都曾針對這類數字進行研究，而數學家Solomon W. Golomb將這類的數命名為「powerful number」，「powerful」應該是指數字由許多冪所組成，但此詞恰巧也有「強大的」、「有力的」的意思。

以下是1000以內冪數的列表：
1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000 。

 數學性質 
冪數的質因數分解中，各質因數指數均大於1。

冪數的倒數和收斂，其值為：

其中
p為所有的質數
為黎曼ζ函數
為阿培里常數。

若用k(x)來表示當1≤n≤x時，冪數n的個數，則k滿足以下的不等式

。

佩爾方程x2-8y2=1有無限多個正整數解，因此存在無限多組連續的冪數（若x、y為正整數解，則x2及8y2即為二個連續的冪數），其中最小的是8和9S. W. Golomb, Powerful numbes, Amer. Math. Monthly 77(1970), 848--852.。而8和9恰好也是唯一一組連續的次方數（卡塔蘭猜想，後來已被數學家普雷達·米哈伊列斯庫證明）。

冪數的和與差
每一個奇數都可以表示為二個連續數字的平方的差：(k + 1)2 = k2 + 2k +12，因此 (k + 1)2 - k2 = 2k + 1。而每一個4的倍數都可以表示為二個彼此差2的正整數，其平方的差：(k + 2)2 - k2 = 4k + 4。以上數字均可表示為二平方數的差，因此可就是二個冪數的差。

但無法被4整除的偶數（即）無法表示為二個平方數的差，但不確定是否可表示為二個冪數的差，然而Golomb發現以下的等式

2=33-52
10=133-37
18=192-73=32(33-52)

以上的等式未包括6，Golomb猜想有無窮多個奇偶數無法表示為二個冪數的差，不過後來Narkiewicz發現6也可以表示為二個冪數的差：

6=5473-4632

而且可以找到無限多組的冪數，二個冪數之間的差為6。而McDaniel證明每個整數都有無限多組表示為二個冪數的差的方法Wayne L. McDaniel, Representations of every integer as the difference of powerful numbers, Fibonacci Quart. 20(1982), 85--87.。

保羅·艾狄胥猜想每一個足夠大的整數均可表示為最多三個冪數的和，後來由羅傑·希斯-布朗證實了保羅·艾狄胥的猜想D. R. Heath-Brown, Sums of three square-full numbers, in Number Theory, I(Budapest, 1987), Colloq. Math. Soc. János Bolyai 51(1990), 163--171.
Brown, 1987)。

 一般化 
冪數的質因數分解中，所有的指數均不小於2。以此概念再延伸，若一整數的質因數分解中，所有的指數均不小於k，可稱為k-冪數。

(2k+1}-1)k, 2k(2k+1-1)k, (2k+1-1)k+1

是由k-冪數所組成的等差數列，若a1, a2, ..., as是由k-冪數所形成的等差数列，公差為d，則

 a1(as+d)k, a2(as+d)k, ..., as(as+d)k, (as+d)k+1

則是由s+1個項k-冪數所組成的等差数列。

以下是一個有關k-冪數的恆等式：

ak(an+...+1)k+ak+1(an+...+1)k+...+ak+n(an+...+1)k=ak(an+...+1)k+1

因此可以找到無窮多組的k-冪數，其個數為n+1個，而這些k-冪數的和也是k-冪數。Nitaj證明了存在無窮多組互質的3-冪數x、y、z，滿足x+y=z的形式*A. Nitaj, On a conjecture of Erdös on 3-powerful numbers, Bull. London Math. Soc. 27 (1995), 317--318.。Cohn找到一個可產生無窮多組互質，且非立方數的3-冪數x、y、z，可滿足x+y=z的方法：以下的數組

X=9712247684771506604963490444281, Y=32295800804958334401937923416351, Z=27474621855216870941749052236511

是方程式32X3 + 49Y3 = 81Z3的解（因此32X3、49Y3及81Z3即為上述的3-冪數數組）。令X′=X(49Y3 + 81Z3), Y′ = −Y(32X3 + 81Z3), Z′ = Z(32X3 − 49Y3)，再除以其最大公因數即為一組新的解。

 関連項目 
阿喀琉斯數
次方數

 註解 

 延伸閱讀 
J. H. E. Cohn, A conjecture of Erdös on 3-powerful numbers, Math. Comp. 67 (1998), 439–440.  
P. Erdös & G. Szekeres, Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem, Acta Litt. Sci. Szeged 7(1934), 95–102.
Richard Guy, Section B16 in Unsolved Problems in Number Theory, Springer-Verlag, 3rd edition, 2004; ISBN 0-387-20860-7.
D. R. Heath-Brown, Ternary quadratic forms and sums of three square-full numbers, Séminaire de Théorie des Nombres, Paris, 1986-7, Birkhäuser, Boston, 1988.

 外部連結 
Powerful number in mathworld 

Category:数論
Category:整数数列