馬可夫過程

在概率論及統計學中，馬可夫過程（）是一個具備了馬可夫性質的隨機過程，因為俄國數學家安德雷·馬可夫得名。馬可夫過程是不具備記憶特質的（memorylessness）。換言之，馬可夫過程的条件概率僅僅與系统的當前狀態相關，而與它的過去歷史或未來狀態，都是獨立、不相關的Markov process (mathematics)  - Britannica Online Encyclopedia。

具備離散狀態的馬可夫過程，通常被稱為馬可夫鏈。馬可夫鏈通常使用離散的時間集合定義，又稱離散時間馬可夫鏈Everitt,B.S. (2002) The Cambridge Dictionary of Statistics. CUP. ISBN 0-521-81099-x。有些學者雖然採用這個術語，但允許時間可以取連續的值Dodge, Y. The Oxford Dictionary of Statistical Terms, OUP. ISBN 0-19-920613-9。

概論
  可數或有限的狀態空間 連續或一般的狀態空間 離散時間在可數且有限狀態空間下的馬可夫鏈  Harris chain (在一般狀態空間下的馬可夫鏈)連續時間 Continuous-time Markov process 任何具備馬可夫性質的連續隨機過程，例如维纳过程

數學模型

对于某些类型的随机过程，很容易通过状态定义列方程推导出是否具有马尔可夫性质，但对于另外一些，需要使用马尔可夫性质中描述的一些更加复杂的数学技巧。举一个简单的例子，设某个随机过程他的状态X可取到一个离散集合中的值，该值随时间t变化，可将该值表示为X(t)。在这里，时间变量是离散或连续不影响讨论的结果。考虑任意一个“过去的时间”集合(...,p2, p1), 任何“当前时间”s, 以及任何“未来时间” t, 同时所有这些时间全都在X的取值范围之内，若有

则马尔可夫性质成立, 并且该过程为马尔可夫过程, 如果式

对于所有的取值( ... ,x(p2), x(p1), x(s), x(t) ), 以及所有的时间集合成立。 则可用条件概率计算得出

与任何过去的取值( ... ,x(p2), x(p1) )不相关，这恰好就是所谓的未来的状态与任何历史的状态无关，仅与当前状态相关。
二阶马尔可夫过程
在某些情况下，如果将“现在”和“未来”的概念扩展，某些明显的非马尔可夫过程仍然可能具有某些马尔可夫过程的性质。举例来说，令X是一个非马尔可夫过程，现在构造一个过程Y，使其每个状态对应于X的一个时段的状态。从而有如下形式：

如果Y具有马尔可夫性质，则称X为二阶马尔可夫过程，据此也可定义更高阶马尔可夫过程。一个高阶马尔可夫过程的例子是移动平均的时间序列

马尔可夫性质
馬可夫性质是概率论中的一个概念。当一个随机过程在给定现在状态及所有过去状态情况下，其未来状态的条件概率分布仅依赖于当前状态；换句话说，在给定现在状态时，它与过去状态（即该过程的历史路径）是条件独立的，那么此随机过程即具有马尔可夫性质。具有马尔可夫性质的过程通常称之为马尔可夫过程。

数学上，如果为一个随机过程，则马尔可夫性质就是指

马尔可夫过程通常称其为（时间）齐次，如果满足

除此之外则被称为是（时间）非齐次的。齐次马尔可夫过程通常比非齐次的简单，构成了最重要的一类马尔可夫过程。

某些情况下，明显的非马尔可夫过程也可以通过扩展“现在”和“未来”状态的概念来构造一个马尔可夫表示。设为一个非马尔可夫过程。我们就可以定义一个新的过程，使得每一个的状态表示的一个时间区间上的状态，用数学方法来表示，即，

如果具有马尔可夫性质，则它就是的一个马尔可夫表示。
在这个情况下，也可以被称为是二阶马尔可夫过程。更高阶马尔可夫过程也可类似地来定义。

具有马尔可夫表示的非马尔可夫过程的例子，例如有移动平均时间序列。

最有名的马尔可夫过程为马尔可夫链，但不少其他的过程，包括布朗运动也是马尔可夫过程。

 参考文献 

 参见 
 圖模式
 马尔可夫链
 马尔可夫逻辑网络

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