索霍茨基-魏尔斯特拉斯定理

索霍茨基－魏尔斯特拉斯定理 (亦作Sokhotsky–Weierstrass 定理,  Sokhotski–Plemelj formula, Example 3.3.1 4. 或 魏尔斯特拉斯定理（勿与其他同名魏尔斯特拉斯定理混淆）是複分析中的一个定理，用于计算很多问题中出现的柯西主值。物理学问题中很多见，但鲜有其命名的引用。该定理源自Julian Sokhotski, Karl Weierstrass和Josip Plemelj。

 定理陈述 

令ƒ为定义在实数轴上的连续函数，a与b为实常数，满足a < 0 < b。则

其中表示柯西主值。

 实轴版本 

在实轴上积分的版本尤其重要。



其中  是狄拉克δ函数， 表示柯西主值。将这两式作差，得到



这些式子应该理解为积分等式：令  是一个在实轴上有定义且连续的复值函数，且令  和  是满足  的实数。那么



且



注意这个版本无需用到解析性。

 定理证明 

简单证明如下：

注意到第一项  为狄拉克δ函数之先趨函數，在此极限下趋近狄拉克δ函数。 因此第一项等于 .

第二项，注意到因子在当 |x| >> ε时，趋近于1；当|x| << ε时趋近于0并关于零对称。 因此极限下为柯西主值积分。

 物理应用 

在量子力学和量子场论中，经常需要计算如下形式的积分：

其中E为能量，t为时间。 上式对时间积分不收敛，因此一般需为t加入一个负的常系数，然后再令其趋于0。

其中最后一步用到了该定理。

在等离子体物理中，推导朗道阻尼的过程中使用到该定理，从而揭示了波在无碰撞过程中亦存在阻尼现象。

 参考文献 

  Chapter 3.1.
  Appendix A, equation (A.19).

提及该定理名称的引用
 Quantum Theory of Many-body Systems: Techniques and Applications by Alexandre M. Zagoskin, p60
 Relativistic effects in proton-induced deuteron break-up at intermediate energies with forward emission of a fast proton pair
 Two-dimensional Coulomb Liquids and Solids, Yuriy Monarkha, p259

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