图论术语

图论中有许多专有名词，此处总结了一些名词的一般意义和用法。

 基本术语 

一个图（一般记作）由两类元素构成，分别称为“顶点”（或节点、结点）和“边”。每条边有两个顶点作为其端点，我们称这条边“连接”了它的两个端点。因此，边可定义为由两个顶点构成的集合（在有向图中为有序对，见下文“方向”一节）。

图也可以用其他模型来表示，如定义在顶点集合上的二元布尔函数，或者方形(0,1)-矩阵。

顶点或边上有标号的图称为有标号的，否则为无标号的。它们的区别在于，无标号的图并没有为顶点或边指定一个特定的顺序。

图的标号一般指按某一规则为图的顶点或边指定一个标号。标号通常是自然数，且一般互不相同。


一个超边是允许连接任意多个（可以多于两个）顶点的“边”。含有超边的“图”称为超图。边可视为恰连接两个顶点的超边，因此图可视为一种特殊的超图。

空图或秃图是没有边的图。

如果一个图有无穷多的顶点和/或边，则称其为无穷的，否则为有穷的。如果一个图是无穷的，但每个顶点的度（见下）是有限的，则称为局部有穷的。一般假定“图”指有穷图。

两个图和，如果存在与之间的一一对应，使得图中两个顶点相连当且仅当它们在图中的对应顶点相连，则称图和 同构，记作。类似地，如果仅仅是到的映射而不一定是一一对应，则称此映射是到的同态。

 彼得森图 
图论中最有名图之一。

 边 

一条边一般表示为连接其两个端点的曲线。以两个顶点、为端点的边一般记作、或。一条边连接两个顶点、时，称与相邻。图的边集一般记作，当不发生混淆时可简记为。

 补图 
图的补图是一个图，它的点集与相同，而每条边存在于中当且仅当它不存在于中。

 顶点 

一个顶点一般表示为一个点或小圆圈。一个图的顶点集（点集）一般记作，当不发生混淆时可简记为。图的阶为其顶点数目，亦即||。

 度 
若两个点之间有一条边，则这两个点相邻。关联一个点的边的条数称为是度数（degree）或价（valency）。特别的，若不是多重图时，它等于这一点的邻点个数。

一个顶点被称作孤立顶点，当它的度数为。

的最小度记为

的最大度记为

的平均度记为

称为k-正则的，当的所有顶点都有相同的顶点度k。特别的，3-正则图被称作立方图。

独立集
一個圖的獨立集是圖中一些兩兩不相鄰的頂點所形成的集合。

 二分图 
图是二分图当且仅当它的点集能被划分成两块和，使得对于中的任意一条边，它有一个端点属于而另一个端点属于。

 哈密尔顿图 

 环 
看环（图论）。

 结 

 距离 
距离是两个顶点之间经过最短路径的边的数目，通常用表示。

顶点的偏心率（eccentricity），用来表示连接图中的顶点到图中其它顶点之间的最大距离，用符号表示。

图的直径（diameter），表示取遍图的所有顶点，得到的偏心率的最大值，记作。相对于直径的一个概念是图的半径（radius），表示图的所有点的偏心率的最小值，记作。这两者间的关系是：

 柯尼斯堡七桥问题 
图论中著名的问题。

 立方图 

 连通图／连通性 
称是连通的，如果非空图的任意两个顶点之间均有一条路相连。

称是k-连通的，如果非空图的任意两个顶点之间都有条独立路相连。k-连通的的另外一个定义是：若,且对任意满足的子集均有是连通的，则称是k-连通的。由门格尔定理，易知这两个定义是等价的。通过k-连通的概念，定义使得是k-连通的最大整数称作的连通度。

类似的，还可以引入k-边连通的概念：称一个的图是k-边连通的，如果对任意一个满足的边的集合，均是连通的。同样，的边连通度是使得是k-边连通的最大整数。

旅行推销员问题
计算机科学中最有名的问题之一。

 欧拉路径 
一笔画问题、也看哈密尔顿环。

 匹配 

 平面图 
库拉托夫斯基定理描述關於平面圖的等價判定定理。由欧拉公式可知：V-E+F=2，其中的2即為球面的欧拉示性数。

 嵌入 

 强连通分量 

 桥 

 路径 
路径（walk），又译作途径。一个长度为的路径是一个非空的顶点和边的交错序列，使得对于所有均有。特别的，当时，称这个路径是闭的（closed）；当路径中的顶点互不相同，得到的一条路。

 树 

连通无圈图称为树，一般记为T。其中，度数为1的顶点称为叶子，否则称为内点。有时我们会从树中选出一个顶点作为特殊顶点，称之为根以示区分，此时称此树为有根树。有根树常作为有向无环图来处理。

树T的连通子图称为T的子树。

树也是一个团的森林。

 森林 
无环（不一定连通）图称为森林，森林F的子图称为F的子森林。

如果图G的一个生成子图是树，则称该子图为生成树。

星是仅有一个顶点不是叶子的树。星也可以表示为完全二分图K1,n。

 缩图 

 随机图 

 团 


图中的团是由图中两两相邻的顶点构成的集合。

 三間小屋問題 

 完全图 
完全图是所有顶点两两相邻的图。n阶完全图，记作Kn。如图所示为K5。n阶完全图有n(n-1)/2条边。

 网络流 
重要的计算机科学、最优化理论、与算法学的题目。也看最大流最小割定理。

 围长 
圍長定義為圖所包含的最短環長，也被称为"girth"。

 线图 

 相邻 
兩頂點相鄰，意思是之間有一條邊。

 叶子 
看以上的树术语。

 正则图 

 自环 
一个自环是两个端点为同一顶点的边。如果有多于一条边连接同一对顶点，则它们均被称为重边。一个图的重数是重复次数最多的边的重复次数。如果一个图不含自环或重边，则称为简单图。多数情况下，如无特殊说明，可以假定“图”总是指简单图。

 着色 
图着色问题包含四色定理，数学中最有名的问题之一。现代的证明用电脑、文章很长。

 子图 

两个图G和H，如果V(H)是V(G)的子集且E(H)是E(G)的子集（当然，E(H)中只能包含将V(H)中的顶点相连的边）则称H是G的子图。如果图G和H不相等，即V(H)是V(G)的真子集或E（H）是E（G）的真子集，则称H是G的真子图。如果H是G的子图或者存在一个G的子图与H同构，则称G包含H。

如果图G的子图H满足V(H)=V(G)，即图H包含图G的所有顶点，则称H是G的支撑子图或生成子图。

如果图G的子图H满足边(u,v)在图H中当且仅当边(u,v)在图G中，即图H包含了图G中所有两个端点都在V(H)中的边，则称H是G的导出子图。

对于图的某个性质而言，如果图G具有此性质而G的任一真子图都不具有此性质，则称G是具有该性质的极小图。类似地，如果图G具有此性质而任一以G为真子图的图都不具有此性质，则称G是具有该性质的极大图。

 最短路问题 
重要的计算机科学、与算法学的题目。也看Dijkstra算法、Kruskal算法、A*搜尋演算法等。

 定理术语 
握手引理
友誼定理
彼得森定理
布鲁克斯定理
柯尼格引理

库拉托夫斯基定理
拉姆齐定理（而且看拉姆齐理论）
门格尔定理（Menger's Theorem）
图特定理
Vizing定理
最大流最小割定理
圖蘭定理
艾狄胥-斯通定理

 图的方向 

 有向无环图 

 代数图论 
代数图论

 不变量 

 亏格（几何、拓扑） 
看以上的平面图。

 譜圖論 

 参考来源 

 参见 
图
图论
图论话题列表
数学
离散数学
组合数学
算法
计算机科学
最优化
人工智能（神经网格）
连接组（承现峻，connectome）
网格科学
费曼图（Feynman diagram、物理、量子力学、统计力学）

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