射影线性群

射影线性群是代数学里群论中的一类群的称呼。射影线性群也叫射影一般线性群（一般记作 PGL），是某个系数域为的向量空间V上的一般线性群在射影空间  P(V) 上诱导的群作用。具体来说，射影线性群是商群：

其中的是V上的一般线性群，而是由V上的所有数乘变换构成的的子群。之所以在中约去，是因为它们在射影空间上的作用是平凡的（所以构成群作用的核）。 有时也被记作 ，因为它是一般线性群的中心。

与射影线性群类似的还有射影特殊线性群，一般记作PSL。它的定义与射影线性群相似，只不过不是在一般线性群而是在特殊线性群上。

其中的是V上的特殊线性群，而是在中的子群（即行列式等于1的数乘变换构成的子群）。显然  是  的中心。若（n 维空间），则  同构于由n 次单位根构成的群。

射影线性群与射影特殊线性群都是群论和几何中最常研究的群，即所谓的“经典群”。射影线性群中的元素称为射影线性变换。（n 维空间），那么这个射影线性群也记作 或 。

当且仅当  中每一个元素的n 次根都在  中，例如在  代数封闭（比如是复数域 ）的时候，射影线性群与射影特殊线性群等同。。但是系数域为实数的时候，就有Gareth A. Jones and David Silverman. (1987)  Complex functions: an algebraic and geometric viewpoint.  Cambridge UP.  Discussion of PSL and PGL on page 20 in google books 。几何的解释是：实射影直线是有向的，而实射影特殊线性群只包括保持定向的变换。

射影线性群与射影特殊线性群也可以在环上定义，一个重要的例子是模群。

参考来源

Category:李群
Category:射影几何

de:Allgemeine lineare Gruppe#Projektive lineare Gruppe