狄拉克場

在量子場論中，狄拉克場用於描述自旋-1/2的費米子，如：電子、質子、夸克等粒子。並且狄拉克場遵守反正則對易關係，數學上可以表示成有四的分量的旋量或一對兩個分量的外爾旋量。

雖然都用於描述自旋-1/2的費米子，其與馬約拉那場不同。狄拉克場描述的粒子存在反粒子，然而馬約拉那場描述的粒子即為自身的反粒子。

 基本性質 

自由（沒有交互作用）的狄拉克場遵守反正則對易關係，數學上使用到反交換子而非交換子。其中的反對易關係就暗示了費米-狄拉克統計，並且也能推導出泡利不相容原理：兩個相同的費米子不能處於相同的量子態。

 數學公式 
狄拉克場表示成。其自由場的運動方程式為狄拉克方程式：

其中為γ矩陣（或稱作狄拉克矩陣），m代表質量。這個方程式最簡單的解為平面波和。平面波組成了一個的傅立葉基底。我們能以此基底作展開，如下：

、標示了旋量的指標，表示自旋，s = +1/2或s=−1/2。前面係數中的能量是為了勞倫茲積分的協變性。由於可以視作一個算符，每個傅立葉基底的係數也必須是算符。因此，以及為作用子。這些算符的性質可以從這些場的性質中得知。
和遵守反對易關係：

藉由將和作展開，我們可以得到係數間的反對易關係：

於非相對論系統中的創造與湮滅算符相類似，從這個代數關係得到了這樣的物理詮釋：
產生一個動量自旋為s的粒子，而產生一個動量自旋為r的反粒子。因此，廣義的現在看作產生所有可能動量、自旋之粒子的總合，而其共軛與其相反，看作湮滅所有動量、自旋之反粒子的總合。

有了對於場及其共軛的瞭解，我們便能試著架構出勞侖茲協變性的場。最單純的量為，當中。其他可能的勞侖茲協變性量。

由於這些量的線性組和同樣符合勞侖茲協變性，很自然地得到了狄拉克場的拉格朗日密度，並且其歐拉－拉格朗日方程必須回到狄拉克方程式。

這樣的表示將指標隱藏了起來。完整的表示如下：

由，我們可以建構出狄拉克場的費曼傳播子：

我們定義狄拉克場的時間排序如下，當中的負號來自於其反對易關係的性質：

。

對上列的式子作平面波的展開，得到：

在此我們用上了費曼斜線標記。這個式子相當合理，因為係數



即為狄拉克方程式中作用在的相反算符。
純量場的費曼傳播子也具有相同的性質。由於所有合理的觀測量（例如能量、電荷、粒子數等）都由偶數的狄拉克場所構成，兩個觀測量的對易關係在光錐外為零。就如同我們從量子力學中學習到的，兩的可交換的觀察量可以同時被觀測。因此，我們確定了狄拉克場的勞侖茲協變性，並維持了因果律。

而更複雜、包含交互作用的場論（湯川理論（Yukawa theory）或量子電動力學）同樣可以微擾或非為擾方法作分析。

在粒子物理標準模型中，狄拉克場扮演很重要的要素。

 參閱 
狄拉克方程式
狄拉克旋量

 參考資料 
 Edwards, D. (1981). The Mathematical Foundations of Quantum Field Theory: Fermions, Gauge Fields, and  Super-symmetry, Part I: Lattice Field Theories, International J. of Theor. Phys., Vol. 20, No. 7.
 Peskin, M and Schroeder, D. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory, Westview Press. (See pages 35-63.)
 Srednicki, Mark (2007). Quantum Field Theory , Cambridge University Press, ISBN 978-0521864497.
 Weinberg, Steven (1995). The Quantum Theory of Fields, (3 volumes) Cambridge University Press.

Category:量子場論
Category:旋量