亥姆霍茲線圈

亥姆霍茲線圈（）是一種製造小範圍區域均勻磁場的器件。由於亥姆霍茲線圈具有開敞性質，很容易地可以將其它儀器置入或移出，也可以直接做視覺觀察，所以，是物理實驗常使用的器件。因德國物理學者赫爾曼·馮·亥姆霍茲而命名。

簡介
亥姆霍茲線圈是由一對完全相同的圓形導體線圈組成。採用直角坐標系，這兩個半徑為的圓形線圈的中心軸都與z-軸同軸。兩個圓形線圈的z-坐標分別為與。每一個導體線圈載有同向電流。

設定可以使得在兩個線圈中心位置O（即原點）的磁場，其不均勻程度極小化。這動作促使，也意味著領先的非零微分項目是，稍後會對這論點做更詳細解釋。但是，這樣做仍舊會在線圈平面跟z-軸相交處與O點之間遺留大約7%磁場數值的差別。

在某些应用中，亥姆霍茲線圈可以用來抵消地磁場，製造出接近零磁場的區域。<ref>地磁場磁力儀：亥姆霍茲線圈"]  by Richard Wotiz 2004</ref>

數學描述
關於在空間任意位置的精確磁場計算，需要應用到貝索函數或橢圓函數與其相關技巧。沿著線圈的中心軸（z-軸），涉及到的計算比較簡單，可以應用泰勒展開，將磁場展開為的冪級數。採用直角坐標系，以亥姆霍茲線圈的中心位置為z-軸的原點O。由於對於xy-平面的對稱性，奇數冪項目必等於零。經過調整兩個線圈之間的距離，可以使得O點成為拐點，則可以保證級項目為零，因此領先不均勻項目是級項目。

在中心位置O點，磁場為
；

其中，是磁常數。

推導
採用直角坐標系，設定單匝線圈的中心軸為z-軸，線圈平面與z-軸相交處為原點，則在z-軸的磁場以方程式表示為喬治亞州州立大學（）線上物理網頁：（這方程式可以從必歐-沙伐定律推導出來）
；

其中，是磁場數值大小，是磁常數，是電流，是線圈半徑，是檢驗位置的z-坐標。

對於匝線圈，磁場為
。

現在改變系統為亥姆霍茲線圈，其中心位置為原點。原點與線圈平面之間的垂直距離為，注意到每一個亥姆霍茲線圈有一對線圈，所以，總磁場為
。

進階推導
更詳細地計算，沿著z-軸的磁場為兩個線圈的貢獻的疊加：
。

在原點附近的磁場，經過一番運算，可以泰勒展開成的冪級數：
；

其中，。

現在設定，則項目為零，在原點附近的磁場更加均勻：
。

磁場不均勻率與的關係式為
。

在，線圈平面與z-軸相交處，磁場數值的差別為
。

參閱
麦克斯韦线圈（）

螺線管
磁振造影

參考文獻

外部連結

 [http://demonstrations.wolfram.com/HelmholtzCoilFields/ Helmholtz-Coil Fields '' by Franz Kraft, The Wolfram Demonstrations Project.
加州大學洛杉磯分校的高中電漿實驗室網頁：單獨載流迴圈的磁場精確解 。


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