雅可比多项式

在数学中，雅可比多项式 （，有时也被称为超几何多项式）是一类正交多项式。它的名称来自十九世纪普魯士数学家卡爾·雅可比。

定义
雅可比多项式是从超几何函数中获得的，这个多项式列实际上是有限的：

其中的是阶乘幂符号（这里是指上升阶乘幂），（Abramowitz & Stegun p561 ）因此实际上的表达式是：

当z等于1的时候，上式中的无穷级数只有第一项非零，这时得到：

这里对于每一个整数

而 是通常定义的伽马函数，其中约定，当整数n为小于零的时候：

这个多项式列满足正交性条件：

其中而且。

这个多项式列还满足对称性的关系：

因此在z等于-1的时候也可以直接算出多项式值：

对于实数 ，雅可比多项式也可以写成另一种形式：

其中  并且 。

有一个特殊的情形，是当以下四个量：
、、 以及
 都是非负的实数的时候，雅可比多项式可以写成如下形式：

其中的求和是对所有使得求和项为非负实数的整数求和。

在这种情形下，以上表达式使得维纳d-矩阵（）可以写成用雅可比多项式表达的形式L. C. Biedenharn and J. D. Louck,
Angular Momentum in Quantum Physics, Addison-Wesley, Reading, (1981)：

导数
身为多项式的一种，雅可比多项式也是无限连续可微（可导）的函数。雅可比多项式的第k次导函数为：

微分方程
雅可比多项式是以下的二阶齐次线性常微分方程的解：

参见
比贝尔巴赫猜想
勒让德多项式
切比雪夫多项式
盖根鲍尔多项式
雅可比过程

注释
<div class="references">

参考来源
 Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "Chapter 22 ", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, pp. 773, ISBN 978-0486612720, MR0167642, http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_773.htm  .

Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Orthogonal Polynomials ", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255

Category:超几何函数
Category:正交多项式