終端速度

在流體動力學中，當物體在流體中運動時，在流體向物體運動反方向所施的力下，物體的運動速度因而不變，這時物體所移動的速度就是終端速度。

當向下的重力（Fg）相等於向上的阻力（Fd）時，自由落體中的物體會達到終端速度。此時物體的淨力為零，因此物體的速度保持不變。

當物體加速的時候（一般是因為重力而向下加速），施向物體的抗力也在增加，使得加速度慢下來。在某一個速度下，所產生的抗力會相等於物體的重量（）。這時候物體停止加速，並持續以不變的速度下落，這個速度就是終端速度（也叫沉降速度）。終端速度直接隨着重量與阻力的比值而變。更大的抗力代表較低的終端速度，而更大的重量則代表較高的終端速度。若一向下移動物體的速度大於終端速度（比方說它受一向下的力影響，或它掉進了較薄的大氣層區域，或它的形狀改變），它的速度會慢下來，直至達到終端速度為止。

例子
舉例說，基於風阻，一個採取俯伏向下自由落體姿勢的跳傘員，其終端速度約為。這個速度是整個加速過程的漸近極限值，因為作用在身體上的有效力在接近終端速度的過程中，愈來愈接近互相平衡的狀態。在這個例子中，要達到終端速度的50%只需要3秒，達到90%則需要8秒，而達到99%就需要15秒，如此類推。

如果跳傘員把四肢收起來的話，終端速度會提高。在這個例子中，終端速度會提昇至，幾乎到達游隼向下追捕獵物時的速度；一粒典型的.30-06步槍子彈在垂直下墜時也會達到這樣的終端速度——垂直下墜可能是因為被向上射擊後要回到地面，又或是從高樓上掉下——其速度是來自於一份1920年的美軍軍械研究報告 。

競速跳傘員會使用頭向下俯衝的姿勢來達到更高的速度，2012年之前的世界紀錄由約瑟夫·基廷格在1960年所創下，速度為988 km/h，當時位於海拔較高的地方，因此大氣層較為稀薄，空氣阻力較小 。菲利克斯·保加拿為了打破此紀錄，在2012年10月15日從39公里高的同溫層跳下，最高時速高達1357.6 km/h，是目前的世界紀錄保持人。

一向着地球表面下墜物體的速度，每秒鐘會增加每秒鐘9.806米（即加速度為9.806m‧s-2）。物體會達到終端速度的原因是，阻力的大小與速度的平方成正比。在低速時，阻力比重力要小得多，所以物體加速。當物體在加速時，阻力增加，直至與重量相等。阻力同時亦取決於投影面積。就是因為這個原因，相對於質量有着大投影面積的物體，如降落傘，比其他這方面小的物體，如子彈，有着更低的終端速度。

數學上，無視浮力的終端速度可用下式表示：


其中
為終端速度， 
為物體重量， 
為地球所引起的加速度， 
為阻力係數，
為物體落下時所處的流體密度，
為物體的投影面積。

數學上，一物體漸近地到達終端速度。

由周遭流體向物體所施的向上力所造成的浮力效應，可用阿基米德定律來描述：質量必須減去所排開的流體質量，其中為物體的體積。所以不使用，在各方程中改用約化質量。

在地球上，一物體的終端速度取決於流體的性質、物體的質量及其橫截表面積的投影大小。

空氣密度隨着海拔減少而增加，海拔每減少80米，密度就增加約1%（使用氣壓公式）。若物體下降時穿越大氣層，每下降160米，終端速度就會減少1%。當物點達到所處點的終端速度後，若持續下降，則物體會因為新位置的終端速度而減速。

終端速度的推導
數學上，把向下定義為正方向，物體在接地球表面落下是所受的淨力Fnet為（根據牛頓第二運動定律）：
。
其中：
a為加速度，
FD為阻力。

根據阻力公式：
。

將上兩式結合可得
。

在平衡時，淨力為零（F=0）：
。

解v可得，
。

速度v作為時間t函數解的推導阻力方程為
。

取'k = ρACd，此時方程的形式較為實用。

兩邊一起除以m得
。

整理方程得
。

取兩邊積分得
，

其中α = (  ).

積分後，得

或簡化形式

反雙曲正切函數（arctanh）的定義為:
.

故方程解的積分為
，

上式可簡化成
，

其中tanh為雙曲正切函數。設g為正數（它的定義確實是正數），然後把α的值代入，得

，

代入k = ρACd，得v所需的形式
，

當時間趨向無限（t'' → ∞），雙曲正切趨向1，得終端速度
。

由能量守恒推導能量守恒方程为
。
分离v得到
。
当时间趋近无限，即高度趋近于无限( h = vt , v 始终为正), h → ∞ ， 故以上式子取极限得
。

有浮力情況下的終端速度
當考慮浮力效應時，因自身質量而在流體中下沉的物體，若其淨力為零，就會達到終端速度（沉降速度）。當達到終端速度時，物體的重量會正好等於向上的浮力與阻力之和。即：

其中

為物體的重量， 
為作用於物體上的浮力，及
 為作用於物體上的阻力。

若下沉的物體是球狀的，則三種力的表示式如下：



其中

為球體的直徑， 
為重力加速度， 
為流體的密度， 
為球體的密度， 
為球體投影面積， 
阻力係數，及
為特徵速度（即終端速度，）。

將方程(2)至(4)代入至方程(1)，求解的值，得下式：

。

蠕流下的終端速度
對流體內非常慢的運動而言，相對於其他力，流體的慣性力是無關重要的（假設流體無質量）。這樣的流被稱為蠕流，而蠕流需要滿足雷諾數的條件。蠕流的運動方程（簡化後的納維-斯托克斯方程）如下：

其中：

為速度向量場，
為壓力場，及
 為流體黏度。

流過球體的蠕流解析解最早由喬治·斯托克斯於1851年提出。從斯托克斯的解可得作用於球體的阻力

 或 

其中雷諾數。方程(6)中表示阻力的式子又被稱為斯托克斯定律。

把的值代入至方程(5)，可得球狀物體在蠕流條件下的終端速度表示式：

。

應用
蠕流的計算結果可被用於研究近海底沉積粒子的沉降，及大氣層中下降的水滴。其原理被應用於落球式黏度計，一種量度高黏度流體黏度的實驗裝置。

另見
斯托克斯定律
自由落體

 参考文献 

外部連結
終端速度——美國太空總署頁面
終端速度與物體的大小尺度 物理動畫

分類:流體動力學
分类:物理学术语