开普勒三角

开普勒三角形是特殊的直角三角形，它的三边之比等于，其中是黄金比，.德国数学家及天文学家开普勒最早提出三边满足此比例的三角形。这种三角形将黄金比的性质与勾股定理巧妙地结合在了一起.


与代数的关系
给定两个正实数a、b，若他们的算术平均数、几何平均数、调和平均数能够构成一个直角三角形，那么这个直角三角形一定是开普勒三角形。
作开普勒三角形
开普勒三角形可通过尺规作图法作出。方法是先作出黄金矩形。
用尺规作图法作一个正方形
作出其中一边的中点
连接这一中点与与之相对的正方形的顶点
以这一中点为圆心，已作出的线段的长为半径作弧。并作出长方形的长边。
补全作出的黄金矩形
以黄金矩形的一个顶点为圆心，一条长边的长为半径作弧交另一长边于一点，连接该点与顶点，即作出了开普勒三角形。

數學巧合

若繪製一個三邊為的开普勒三角形，並且考慮
 其外接圓
 邊長等於（三角形中數值介於中間的邊長）的正方形
則正方形的周長（）和圓的周長（）相當接近，誤差小於0.1%。

這是因為的數學巧合，上述的圓和正方形其周長不可能相同，若是相同，就可以求解化圓為方的不可能問題了。換句話說，因為是超越數。

一些資料指出，埃及金字塔設計時有用到开普勒三角The Great Pyramid, The Great Discovery, and The Great Coincidence, Mark Herkommer, June 24, 2008 (Web archive)。不過古埃及人可能不知道有關和黃金比例之間的數學巧合。

參考資料

参见
黄金菱形
黄金三角形

KT
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Category:约翰内斯·开普勒