墨卡托級數

在數學內，墨卡托級數（）或者牛頓-墨卡托級數（）是一個自然對數的泰勒級數：


使用大寫sigma表示則為

當 −1 < x ≤ 1時，此級數收斂於自然對數（加了1）。

歷史
這級數被尼古拉斯·墨卡托、艾薩克·牛頓和格雷戈里·聖文森（Gregory Saint-Vincent）分別獨立發現。首先被墨卡托出版於其1668年時的著作Logarithmo-technica。

推導
這級數可以由泰勒公式導出，藉由不斷地計算第n次ln x在x = 1時的微分，一開始是

或者，我們可以從有限的等比數列開始(t ≠ −1)

這可以導出

然後得到

接著逐項積分，

若−1 < x ≤ 1，餘項會在時趨近於零。

這個表示法可以重複積分k次，得到

這裡的

和

都是x的多項式。

特例
令墨卡托級數裡面的x = 1，則我們會得到交錯調和級數

複數級數

下面的複數冪級數



是ln(1 + z)的泰勒級數，這裡ln代表複對數（）的主要分支（）。這個級數收斂於一個開放的單位圓盤 |z| < 1 以及圓 |z| = 1 ， z = -1除外 (根據阿貝爾判別法)，而且這裡的收斂對每個半徑小於一的圓盤是一致的 。

 參考資料


 Eriksson, Larsson & Wahde. Matematisk analys med tillämpningar, part 3. Gothenburg 2002. p. 10.
 Some Contemporaries of Descartes, Fermat, Pascal and Huygens  from A Short Account of the History of Mathematics (4th edition, 1908) by W. W. Rouse Ball

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