質數階乘

質數階乘（又稱：-{zh-cn:质数;zh-tw:素數;zh-hk:素數;}-階乘）是所有小於或等於該數的質數的積，自然數n的質數階乘，寫作n#。例如10以下的質數有：2、3、5、7，所以10# = 7×5×3×2 = 210。第n個質數階乘的值，寫作pn#。例：第三個質數為5，所以p3# = 5# = 5×3×2 = 30。
質數階乘與階乘不同於，質數階乘是質數乘積而階乘是自然數乘積。
質數階乘由定義並命名。

用質數定義
第n個質數pn的質數階乘pn#定義為前n個質數的積：

其中pk是第k個質數。

例如，p5#代表前五個質數的乘積：

前幾個質數階乘pn#是：
...

並定義p0# = 1 為空積。

質數階乘pn#的漸進遞增為：

其中：
"exp"是指數函數ex
 "o"是大O符號

用自然數定義
一般情況下，對於正整數n的一質數階乘n#（或稱作自然質數階乘）也可以被定義為： 

其中，π(n)是質數計數函數，表示小於或等於某個實數n的質數的個數。

它等於：

prime指質數，composite指合成數
例如，12# 代表質數≤ 12：

因為π(12) = 5，所以這個算式也可以寫成：

前幾個自然質數階乘n#是：
1、 2、 6、 6、 30、 30、 210、 210、 210、 210、 2310、 2310
不難發現當n為合成數時，n#的值總是與(n-1)#相同。例如上面提及的12#  =  p5#  =  11#，因為12為合成數。

n#的自然對數是第一個切比雪夫函數，记為 或 。換句話說，若是不大於n的質數的質數階乘，則，或等價地，

質數階乘n#的漸進遞增為：

質數階乘的概念可以用於證明素數是無限的。（參見證明黎曼ζ函數的歐拉乘積公式）

 恆等式 

黎曼ζ函數在超過1的正整數可以質數階乘與 Jordan's totient function 表示：

質數階乘列表（部分）
 n n# pn pn# 0 1 無質數 1 1 1 2 2 2 2 3 6 3 6 5 30 4 6 7 210 5 30 11 2310 6 30 13 30030 7 210 17 510510 8 210 19 9699690 9 210 23 223092870 10 210 29 6469693230 11 2310 31 200560490130 12 2310 37 7420738134810 13 30030 41 304250263527210 14 30030 43 13082761331670030 15 30030 47 614889782588491410
參見
質數（-{zh-cn:质数;zh-tw:素數;zh-hk:素數;}-）
階乘
歐幾里得數
邦泽不等式
切比雪夫函數

 參考文獻 

 Harvey Dubner, "Factorial and primorial primes".  J. Recr. Math., 19, 197–203, 1987.

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Category:階乘與二項式主題
Category:素數
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