X²+1素数

x²+1素数问题是一個未解决的数学问题，其陳述如下：是否存在无穷个正整数x，使得x²+1為素数？

這個問題得到许多数论学者的關注，有學者認為這個問題比孪生素数猜想更加困难，因为在正整数中，x²+1的数比p+2稀少，故x²+1为素数的概率更小。

10000以內的x²+1素数為（）：2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 1601, 2917, 3137, 4357, 5477, 7057, 8101, 8837。

 歷史 
在1912年的国际数学家大会上，愛德蒙·蘭道就素數理論的發展和黎曼ζ函數作演說，當中他提及四個“以目前的科學狀況無法攻克”的關於素數的問題之中，第四個問題便是：“函數u²+1在u取整數值時是否給出了無窮多個質數？”

 推論 
一般地說，設f(x)=ax^2+bx+c為整系數二次函數可以證明，若f(x)能取無窮多次的質數值，那麼a, b, c須符合以下條件：
a, b, c的最大公约数為1，
a+b和c不能都是偶数，
b²-4ac不是完全平方数。

一個廣義化的猜想便是，若a為正數且a, b, c符合上述3個條件，那麼f(x)便能取無窮多次的質數值（見布尼亚科夫斯基猜想）。

進展
1923年，英國數學家哈代和李特爾伍德猜測：

根據，存在無窮多個形如的質數。

在1978年，亨里克·伊萬尼克證明了存在無窮多個x，使得至多是兩個質數的積。

註釋

参考文献
Kaisa Matomäki, Approaches to primes of the form aq2 + 1 , Department of Mathematics, University of London, 2008. section 1.

参见
素数判定法则
蘭道問題
布尼亞科夫斯基猜想
欣策爾假設H

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