狄利克雷定理 (傅里叶级数)

在数学分析中，狄利克雷定理（或若尔当—狄利克雷定理,狄利克雷条件）是关于傅里叶级数逐点收敛的一个结果。这个定理的最初版本是由德国科学家狄利克雷在公元1829年证明的狄利克雷, Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données, Journal de Crelle 4 (1829) p. 157-169。由于当时还没有出现适合的积分理论，狄利克雷的证明只能适用于足够规则的函数（除了在有限点以外都单调的函数）。

定理的推广版本则是由法国数学家卡米尔·若尔当在1881年的证明的，适用于所有局部有界变差函数若尔当, Sur la série de Fourier, C. R. Acad. Sci. Paris, 92 p 228-230。

 定理的叙述 

设  为一个在上的周期性的局部可积函数，其周期为。给定 ，假设有以下条件成立：
函数  在  处有左极限和右极限，分别记为  和 。
存在正实数：，使得以下的两个积分收敛：

那么，函数  的傅里叶级数在 处收敛，并且有：


定理成立的一个特例是当函数  在 处有左导数和右导数的时候，又或者是当函数是分段函数（见光滑函数）的时候。

 证明 

定理的证明是基于以下事实：傅里叶函数可以通过卷积以及拥有良好性质的三角多项式：狄利克雷核来计算。


这里使用的是狄利克雷核的第二种形式：


这种写法接近于使用黎曼-勒贝格定理所需的条件，唯一需要考虑的地方是函数  在0附近并不一定可积。但是由于：

存在，可以考虑将区间上的积分用换元，这样  就变成：

因此：

而由于狄利克雷核在区间上的积分平均值是1，也就是说：


因此：


由条件二，以上的积分中可以使用黎曼-勒贝格定理，因此可以对两边求极限，得到：

 参见 

 傅里叶级数
 狄利克雷核
 费耶核

 注释与参考 

 参考书籍 
p.46-52.

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