开世定理

在几何学中，开世定理是欧几里得几何学中的一个定理，可以看做是托勒密定理的一个推广结果。开世定理得名于爱尔兰数学家约翰·开世。

 叙述 
开世定理的背景是圆的内切圆。设有半径为 的一个圆，圆内又有四个圆 内切于圆（如右图）。如果将圆 的外公切线的长度设为，那么开世定理声称，有下列等式成立。

可以注意到，如果四个内切的圆都退化成点的话，就会变成圆 上的四个点，而开世定理中的等式也会化为托勒密定理。

证明
设大圆的圆心是点；四个圆的圆心分别是点，半径分别是。每个圆与大圆 的切点分别是。

首先，根据勾股定理可以推出：对于任意的i 和j，都有

接下来的思路是将这个公式右边的各个长度用 来表示。

考虑三角形，根据三角形的余弦定理：

由于每个圆 都和大圆相切，所以：

设点 为大圆 上的任意一点，根据三角形的正弦定理，在三角形之中，有：

所以，余弦式

将以上 与 代入式子中，就可以得到：

再代入式子中，就得到的表达式：

以上等式对所有的i 和j 都成立，因此只要注意到四边形  是圆内接四边形，那么对其应用应用托勒密定理就可以得到开世定理：

证明完毕。

推广

可以用类似的方法证明，只要当圆 与大圆 相切（不论是外切还是内切），就会有类似开世定理的等式成立。这是需要注明，对任意的i 和j：
如果圆 是与大圆 以同样的方式相切（都是外切或者都是内切）的话，则表示两个圆的外公切线的长度；
如果圆 是与大圆 以不同的方式相切（一个是外切而另一个是内切）的话，则表示两个圆的内公切线的长度。
另一个特点是：这定理的逆定理也成立。也就是说，如果开世定理的等式成立，那么这些圆必定以规定的方式与大圆相切。Roger A. Johnson. Advanced Euclidean Geometry, p.123-125

应用

在欧几里得几何学中，开世定理可以用来证明多种不同的结论。比如说费尔巴哈定理的一个简洁证明中就用到了它。

注释

参考书籍
  ，p.123-125 （1929年曾以《现代几何学》（modern geometry）之名出版。）.


外部链接

 Shailesh Shirali: On a generalized Ptolemy Theorem

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