偏度

偏度（），亦稱歪度，在機率論和統計學中衡量實數隨機變數概率分布的不對稱性。偏度的值可以為正，可以為負或者甚至是無法定義。在數量上，偏度為負（負偏態；左偏）就意味着在概率密度函數左側的尾部比右側的長，絕大多數的值（不一定包括中位數在內）位於平均值的右側。偏度為正（正偏態；右偏）就意味着在概率密度函數右側的尾部比左側的長，絕大多數的值（不一定包括中位數）位於平均值的左側。偏度為零就表示數值相對均勻地分布在平均值的兩側，但不一定意味着其為對稱分布。


介紹
偏度分為兩種：
負偏態或左偏態：左側的尾部更長，分布的主體集中在右側。。
正偏態或右偏態：右側的尾部更長，分布的主體集中在左側。。

如果分布對稱，那麼平均值=中位數，偏度為零（此外，如果分布為單峰分布，那麽平均值=中位數=眾數）。

定義
隨機變量的偏度為三階標準矩，可被定義為：

其中是三階主動差，是標準差。是期望算子。等式的最後以三階累積量與二階累積量的1.5次方的比率來表示偏度。這和用四階累積量除去二階累積量的平方來表示峰度的方法向類似。

偏度有時用來表示。老教科書過去常常用來表示偏度，可是由於偏度可為負，這樣的表示法較為不便。

對上面的等式進行擴展可導出用非中心矩E[X3]來表示偏度的公式：


樣本偏度
具有個值的樣本的樣本偏度為：

其中是樣本平均值，是三階樣本中心矩，是二階樣本中心距，即樣本方差。

性質
當：
 時，偏度可以是無窮大的。

或者當：
（為負）及

（為正）時，偏度無法定義。

在後面的這個例子中，三階累積量是無法定義的。
其他分布形式比如：

二階和三階累積量是無窮大的，所以偏度也是無法定義的。

如果假定為個獨立變量之和並且這些變量和具有相同的分布，那麽的三階累積量是的倍，的二階累積量也是的倍，所以：
。根據中心极限定理，當其接近高斯分布時變量之和的偏度減小。

參見
峰度
主動差

註釋

參考資料

Johnson, NL, Kotz, S, Balakrishnan N (1994) Continuous Univariate Distributions, Vol 1, 2nd Edition Wiley ISBN 0-471-58495-9

Category:统计偏差和离散度