歐拉函數 (複變函數)

在數學上，歐拉函數的定義如下

此函數得名由萊昂哈德·歐拉。歐拉函數是典型的q級數及模形式函數，也是描述组合数学及複分析之間關係的典型範例。

性質
歐拉函數的的倒數展開成形式幂級數，其對應的係數恰好是k的分割函數，亦即

其中為k的分割函數。

五邊形數定理是一個有關歐拉函數的恆等式，其定理如下：

其中為廣義五邊形數。

依拉馬努金恆等式（Ramanujan identity），歐拉函數和戴德金η函數有以下的關係：


上述二個函數都有下的對稱性。

歐拉函數可以用q阶乘幂表示：

歐拉函數的对数是其各乘項對數的和，每一項可以在q = 0處展開，得到

是係數為-1/n。因此歐拉函數的对数可以表示為

其中 -[1/1, 3/2, 4/3, 7/4, 6/5, 12/6, 8/7, 15/8, 13/9, 18/10, ...]（參照OEIS A000203 ）

由於恆等式（其中為除數函數），上式可以寫成

.

另外，若且，則Berndt, B. et al. "The Rogers–Ramanujan Continued Fraction"

特殊值

以下的恆等式是來自斯里尼瓦瑟·拉马努金的筆記 p. 326：









利用五邊形數定理，將求和积分對調，再利用複數解析方式，可以得到：


參照
 歐拉函數（也稱為歐拉商數）

參考資料


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