項測試

第n項測試（the n-th term test for divergence）是數學上測試無窮級數是否發散的一個方式Kaczor p.336。

若  或極限不存在，則  發散。

許多數學書籍的作者沒有為上述的測試方式命名如Rudin (p.60)只提到其相反位置（contrapositive）的形式，沒有命名。Brabenec (p.156)稱此測試為nth term test。Stewart (p.709)稱此測試為Test for Divergence。 

用途
項測試和其他較強的收斂測試不同，此測試方式只能確認級數是否發散，不能確認級數是否收斂。若不符合此測試的條件，無法判定級數是收斂或是發散。例如：
若  則  可能收斂也可能發散，此條件下無法用此測試判定級數是否收斂。

調和級數就是不符合此測試的發散條件，卻又是發散級數的典型範例。調和級數是以下p級數的特例：

配合項測試及其他測試，可得到以下的結果：
若p ≤ 0，根據項測試可知此級數發散。
若0 < p ≤ 1，根據項測試無法判定級數發散或收斂，根據積分判別法可判定此級數發散。
若1 < p，根據項測試無法判定級數發散或收斂，根據積分判別法可判定此級數收斂。

證明
要證明此測試法，一般都會證明其逆否命题（contrapositive）形式；
若收斂，則

利用極限證明
若 sn 是級數的部份和，則上述對數列的假設可推得

因此可得Brabenec p.156; Stewart p.709

柯西判別法
級數收斂的假設表示級數可以滿足柯西判別法的測試：對任意均存在一數字N使得

在所有n > N及p ≥ 1的條件下均成立。令p = 1，即可得到Rudin (pp.59-60)也使用此證明的概念，但用另一種陳述柯西判別法的方式

應用範圍
項測試最簡單的版本可以用在實數的無窮級數中。上述的二個證明也可以在適用在賦範向量空間中Hansen p.55; Șuhubi p.375。

腳註

參考資料

Category:级数