梅滕斯函數

梅滕斯函數（Mertens function）為一數論中的函數，針對所有正整數n定义，得名自弗朗茨·梅滕斯，梅滕斯函數定义如下

，

其中μ是默比乌斯函数。

上述定義也可以延伸到實數：

以較不嚴謹的說法來看，M(n)是計算到n為止的无平方数因数的数，其中有偶數個質因數的個數，減去有奇數個質因數的個數。

梅滕斯函數的值及其零點
前160個梅滕斯函數的值為

n1234567891011121314151617181920M(n)10-1-1-2-1-2-2-2-1-2-2-3-2-1-1-2-2-3-3n2122232425262728293031323334353637383940M(n)-2-1-2-2-2-1-1-1-2-3-4-4-3-2-1-1-2-100n4142434445464748495051525354555657585960M(n)-1-2-3-3-3-2-3-3-3-3-2-2-3-3-2-2-10-1-1n6162636465666768697071727374757677787980M(n)-2-1-1-10-1-2-2-1-2-3-3-4-3-3-3-2-3-4-4n81828384858687888990919293949596979899100M(n)-4-3-4-4-3-2-1-1-2-2-1-101221111n101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120M(n)0-1-2-2-3-2-3-3-4-5-4-4-5-6-5-5-5-4-3-3n121122123124125126127128129130131132133134135136137138139140M(n)-3-2-1-1-1-1-2-2-1-2-3-3-2-1-1-1-2-3-4-4n141142143144145146147148149150151152153154155156157158159160M(n)-3-2-1-1011100-1-1-1-2-1-1-2-100

梅滕斯函數緩慢的增長及減少，不論其平均值或是峰值都有類似特性，其函數以類似混沌的方式,在零的上下變化，梅滕斯函數在以下幾點的數值為零：
2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, ... .

 實際計算 
利用類似質數計算的埃拉托斯特尼筛法，可以隨著n的增加，計算梅滕斯函數

 計算者  年份  上限 Mertens  1897  104 von Sterneck  1897  1.5 von Sterneck  1901  5 von Sterneck  1912  5 Neubauer  1963  108 Cohen and Dress  1979  7.8 Dress  1993  1012 Lioen and van de Lune  1994  1013 Kotnik and van de Lune  2003  1014

所有不大於N正整數的梅滕斯函數可以在用O(N2/3+ε)時間內算出來，不過已知有更好的演算法。有基本的演算法可以計算單獨的M(N)，時間複雜度為O(N2/3*(ln ln(N))1/3)。

為10的冪下的梅滕斯函數。

梅滕斯猜想和黎曼猜想
因為默比乌斯函数的數值只有-1、0及+1，因此梅滕斯函數緩慢的變化，不存在正整數n使得|M(n)| > n。梅滕斯猜想更進一步，認為不存在正整數n使得梅滕斯函數的絕對值超過數值的平方根。梅滕斯猜想是由汤姆斯·斯蒂尔吉斯在一封于1885年写给夏尔·埃尔米特与弗朗茨·梅滕斯的信中提出的，已在1985年被與證否。

黎曼猜想等價於較弱型式的梅滕斯猜想M(n) = O(n1/2 + ε)。因為較高的M(n)成長的速度至少和n的平方根一様快，因此可以對成長速率定出上下限。此處的O為大O符号。

 参见 
梅滕斯猜想
 劉維爾函數

 參考資料 

 F. Mertens, "Über eine zahlentheoretische Funktion", Akademie Wissenschaftlicher Wien Mathematik-Naturlich Kleine Sitzungsber, IIa 106, (1897) 761–830.





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