五邊形數定理

五邊形數定理是一個由歐拉發現的數學定理，描述歐拉函數展開式的特性原文為
英文翻譯版為Bell, J在2004-12-4翻譯的《The Expansion of the Infinite Product  etc. into a Single Series》， https://www.arxiv.org/abs/math.HO/0411454/. 。歐拉函數的展開式如下：

亦即

歐拉函數展開後，有些次方項被消去，只留下次方項為1, 2, 5, 7, 12, ...的項次，留下來的次方恰為廣義五邊形數。

若將上式視為幂級數，其收斂半徑為1，不過若只是當作形式冪級數來考慮，就不會考慮其收斂半徑。

和分割函數的關係
歐拉函數的倒數是分割函數的母函數，亦即：

其中為k的分割函數。

上式配合五邊形數定理，可以得到

考慮項的係數，在 n>0 時，等式右側的係數均為0，比較等式二側的係數，可得

因此可得到分割函數p(n)的递归式

以n=10為例

參考資料

外部連結
 Euler and the pentagonal number theorem
 On Euler's Pentagonal Theorem at MathPages
 Number Theorem. at MathWorld
The Pentagonal Number Theorem and All That from Dick Koch. 

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