左遞歸

在電腦科學裡面，左遞歸是一種遞歸的特殊狀況。

在上下文無關文法內裡的說法，若一個非终结符號（non-terminal）r有任何直接的文法規則或者透過多個文法規則，推導出的句型（sentential form）其中最左邊的符號 又會出現r，則我們說這個非终结符號r是左遞歸的。

使用類似的方式我們可以定義出某文法本身是左遞歸的。

 定義 
"一個文法是左遞歸的，若我們可以找出其中存在某非终结符號A，最終會推導出來的句型(sentential form)裡面包含以自己為最左符號(left-symbol)的句型" Notes on Formal Language Theory and Parsing , James Power, Department of Computer Science National University of Ireland, Maynooth Maynooth, Co. Kildare, Ireland.JPR02

 直接左遞歸 
直接左遞歸（Immediate left recursion）以下面的句型規則出現：

這裡跟代表不同的非终结符號跟终结符號組成的序列，並且不一定要包含。舉例來說，以下規則

就是一個直接左遞歸的例子。 這規則的遞歸下降分析器(recursive descent parser)可能會像這樣：
function Expr()
{  
    Expr();  match('+');  Term();
}
然後這個遞歸下降分析器在嘗試去解析包含此規則的文法時，會陷入一個無窮的遞歸。

 間接左遞歸 
間接左遞歸(indirect left recursion)最簡單的形式如下：

這規則可能產生  這種生成。

簡單的說，間接左遞歸就是，並非在一條規則內完成左遞歸，而是在許多條規則之後，於產生的句子最左邊出現了一開始的非终结符號。

更一般化的說法，對非终结符號，間接左遞歸被定義為以下的型態：

這裡的都是一堆終端與非终结符號的序列。

 在由上而下語法分析(top-down parsing)裡容納左遞歸 
一個包含左遞歸的形式文法不能以簡易的 遞歸下降分析器進行語法分析，除非將文法轉變為weakly equivalent 的右遞歸形式 (相對的，在LALR分析器裡面則比較偏好左遞歸，因為比起右遞歸來說會使用比較少的堆疊)；然而，比較複雜的由上而下(top-down)語法分析器裡面可以藉由使用縮減(by use of curtailment)來實做一般的上下文無關文法。 在2006年, Frost 和 Hafiz 提出一個演算法，可以容納包含直接左遞歸生成規則的 (ambiguous grammers)。 在2007年，Frost，Hafiz和Callaghan 將此演算法延伸為一個完整的，可以適用並在多項式時間內處理直接或間接左遞歸，而且可以為高度模糊文法接近指數數目的分析樹，產生小一些多項式空間的表示法。這些人後來在Haskell程式語言裡面以這個演算法實做了一個的分析器組合(parser combinator)的集合。

 移除左遞歸 
 移除直接左遞歸 
一個一般化後移除直接左遞歸的演算法如下所述。 這個方法已經有過許多的改進，包括Robert C. Moore所撰寫，名為"Removing Left Recursion from Context-Free Grammars"的改進。

對於每個規則如下

(注意這裡：

 A 是一個有左遞歸的非終端符號
  是一個終端與非終端符號的序列，而且不為空字串 ()
  是一個不以A開頭的，以終端與非終端符號組成的序列)

將A的規則改成以下規則：

然後對新創造出來非終端符號的規則

這個新創造出來的符號常被稱為"尾巴"(tail)，或者"rest"(剩餘)

舉例，考慮以下規則

我們可以改寫為

然後最後一個規則可以縮短改寫為

來避免掉左遞歸的出現

 移除間接左遞歸 
如果文法內不存在 (代表空字串)的生成 (不存在這樣的規則)，而且不是循環(cyclic)的文法(對所有非終端符號A，不存在像是這種形式的規則)，以下這個一般化的演算法可以用來去除文法的間接左遞歸：

將所有非終端符號以某個固定的順序排列

 從 i = 1 到 n {
從 j = 1 到 i – 1 {
 設的生成規則為

 將所有規則 換成

移除規則中的直接左遞歸
}
}

 陷阱 
上面的轉換使用右遞歸的文法來避免掉左遞歸的出現；但是這樣會改變規則的結合律。左遞歸會創造出向左的結合律；但是右遞歸則會創造出向右的結合律。

範例 :

一開始我們拿到以下文法：

在我們使用上面的轉換方式來移除掉左遞歸之後，我們取得了以下文法：

我們將字串 'a + a + a'用一個LALR分析器(這種分析器可以處理左遞歸的文法)使用原先的文法來分析，會得到下面的分析樹(parse tree)：
                             Expr
                          /   |   \
                        Expr   +   Term
                      /  |  \        \
                    Expr  + Term      Factor
                     |      |       |
                    Term    Factor    Int
                     |      |
                   Factor    Int
                     |
                    Int  
整個分析樹是往左邊長，代表在這裡的規則，'+'這個符號是左結合(left associative)的，或者說這規則代表(a + a) + a。 

但是我們改變了文法之後，那這個分析樹會變成：
                             Expr ---
                            /        \
                          Term      Expr' --
                           |       /  |     \ 
                         Factor   +  Term   Expr' ------
                           |          |      |  \       \
                          Int       Factor   +  Term   Expr'
                                      |           |      |
                                     Int        Factor   
                                                  |
                                                 Int

我們可以看出這棵樹現在是往右邊成長，意思上代表了a + ( a + a)。我們將'+'的結合律改變了, 變成是右結合的規則。 在處理加法的文法時這不是甚麼問題，但是如果我們現在處理的是減法，這就會變成是很嚴重的問題。

問題的關鍵在於有很多常用的算術規則要求左結合的規則。我們有幾種解決辦法： (a) 將規則重新改為左遞歸，(b) 使用更多的非終端符號來改寫規則，以強迫文法合乎正確的結合(c) 如果使用YACC 或者Bison，他們有所謂算符宣告(operator declarations)， %left, %right and %nonassoc，這一些算符可以告訴語法分析器產生程式(parser generator)應該遵從哪一種結合。

 相關條目 
 尾部遞歸

 參考資料 

 外部連結 
 CMU lecture on left-recursion 
 Practical Considerations for LALR(1) Grammars 
 X-SAIGA  - eXecutable SpecificAtIons of GrAmmars

Category:控制流程
Category:形式語言
Category:分析演算法
Category:递归