黑格纳数

黑格纳数（Heegner number）指滿足以下性質，非平方數的正整數：其虚二次域Q(√−d)的類数为1，亦即其整數環為唯一分解整環Q(√−d)的整數環為唯一分解整環，也就表示Q(√−d)的數字都只有一種因數分解方式，例如Q(√−5)的整數環不是唯一分解整環，因為6可以以兩種方式在  中表成整數乘積： 和 。。

黑格纳数-{只}-有以下九個：
1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163。

高斯曾猜測符合上述特性的數只有九個，但未提出證明，1952年提出不完整的證明，後來由哈羅德·斯塔克提出完整的證明，即為。

歐拉的質數多項式
歐拉的質數多項式如下：

在n = 1, ..., 40時會產生不同的40個質數，這相关于黑格纳数163 = 4 · 41 − 1.

歐拉公式，取值為1,... 40和以下的多項式

讓取值0,... 39時等效，而RabinowitzRabinowitz, G. "Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern." Proc. Fifth Internat. Congress Math. (Cambridge) 1, 418–421, 1913.證明了

在時，多項式為質數的充份必要條件為其判別式等於負的黑格纳数。

（若代入會得到一定不是質數，因此最大值只能取到）

1, 2和3不符合要求，因此符合條件的黑格纳数為，也就表示可以讓歐拉公式產生質數的p為，這些數字被稱為Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, pp. 88 and 144, 1983.。

拉马努金常数
拉马努金常数是的值，是超越數 gives , based on
Nesterenko, Yu. V. "On Algebraic Independence of the Components of Solutions of a System of Linear Differential Equations." Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 38, 495–512, 1974. English translation in Math. USSR 8, 501–518, 1974.，但非常接近整数：

這個數字是在1859年由數學家夏爾·埃爾米特發現，在1975年愚人節的《科学美国人》，《數學遊戲》的專欄作家马丁·加德纳故意聲稱這個數字其實是整數，而印度數學天才斯里尼瓦瑟·拉马努金也預測了這個數很接近整數，因此以他的名字來命名。

這個巧合可以用的及q展開來表示。

註解

參考資料

外部連結


 Gauss' Class Number Problem for Imaginary Quadratic Fields, by Dorian Goldfeld : Detailed history of problem.


Category:代数数论