右连左极函数

在数学中，右连左极函数（càdlàg，RCLL）是指定义在实数集或其子集上的处处右连续且有左极限的函数。这类函数在研究有跳跃甚至是需要跳跃的随机过程时很重要，这类随机过程不像布朗运动具有连续的样本轨道。给定定义域上的右连左极函数的集合称为斯科罗霍德空间（Skorokhod space）。

定义
令为度量空间，并令。函数称为右连左极函数。若对于每一，都有
 左极限存在；且
 右极限存在并等於，
即 是右连续的且有左极限。

例子
 全部连续函数都是右连左极函数。
 由累积分布函数的定义知所有的累积分布函数都是右连左极函数。

斯科罗霍德空间
从到的所有右连左极函数的集合常记为或简记为，称为斯科罗霍德空间，是以乌克兰数学家阿纳托利·斯科罗霍德（Anatoliy Skorokhod）的名字命名。斯科罗霍德空间可以被指派一个拓撲結構，这一拓扑直觉上能使我们“稍微蠕动空间和时间”（而传统的一致收斂拓扑仅允许我们“稍微蠕动空间”）。为了简化说明，取，（Billingsley的书中描述了更一般的拓扑）

首先我们必须定义连续性模的一个模拟。对於任意，使

且对於，将右连左极函数模（càdlàg modulus）定义为

其中最大下界对所有划分，都存在，且。这一定义对於非右连左极函数是有意义的（就如通常的连续性模对於不连续函数是有意义的）且可以说明是右连左极函数当且仅当时。

这是令表示从到自身的所有严格递减的连续双射函数的集合（这些函数是“对时间的蠕动”）。令

表示上的函数的一致范数。将 上的斯科罗霍德度量（Skorokhod metric）定义为

其中是恆等函數。以“蠕动”这种直观感觉来看，度量了“时间的蠕动”，而度量了“空间的蠕动”。

我们可以证明斯科罗霍德度量度量的确是度量。由生成的拓扑称为上的斯科罗霍德拓扑（Skorokhod topology）。

斯科罗霍德空间的性质
一致拓扑的一般化
E 上的连续函数空间C 是D 的一个子空间。相对应於C 斯科罗霍德拓扑与这里所述的一致拓扑相一致。

完备性
虽然D 不是关於斯科罗霍德度量σ 的一个完备空间，但是可以证明存在具完备性的关於D 的拓扑等价度量 σ0 。

分离性
关於σ 或σ0 的D 是可分空间，因此斯科罗霍德空间是波蘭空間。

斯科罗霍德空间中的胎紧性
通过应用阿尔泽拉－阿斯科利定理，我们可以证明斯科罗霍德空间D 上概率测度的一个序列是胎紧的当且仅当同时满足下列两个条件：

和

代数结构与拓扑结构
在斯科罗霍德拓扑和函数的逐点加法下，D 不是一个拓扑群。

参考文献


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