伊藤引理

在随机分析中，伊藤引理（Ito's lemma）是一条非常重要的性质。發現者為日本數學家伊藤清，他指出了对于一个随机过程的函数作微分的规则。

伊藤引理较早版本
 第一引理 
对于布朗运动和二次可导函数，以下等式成立：

其中過程：

其主要可通过对多项式环到形式幂级数的拓展，例如：

 第二引理 
对于伊藤过程和二次可导函数，以下等式成立

第三引理
定义伊藤过程为满足下列随机微分方程的随机过程

对于伊藤过程和二次可导函数，以下等式成立：

类似地，定义多维伊藤过程使得

其中为n维向量，为n阶方块矩阵；有如下等式：

其中，是关于的梯度， 是关于的黑塞矩陣，是跡的符号。

到半鞅的拓展

 连续半鞅 

 不连续半鞅 

 泊松过程 
我们也可以定义非连续随机过程的函数。

定义跳跃强度h，根据跳跃的泊松过程模型，在区间上出现一次跳跃的概率是 加上的高阶无穷小量。h可以是常数、显含时间的确定性函数，或者是随机过程。在区间上没有跳跃的概率称为生存概率，其变化是：

因此生存概率为：

定义非连续随机过程，并把记为从左侧到达t时S的值，记是一次跳跃导致的非无穷小变化。有：

是跳跃幅度z的概率分布，跳跃幅度的期望值是：

定义补偿过程和鞅： 

因此跳跃的非无穷小变化，也就是随机过程的跳跃部分可以写为：

因此如果随机过程同时包含漂移、扩散、跳跃三部分，可以写为：

考虑其函数。跳跃的幅度，会导致跳跃幅度。取决于g的跳跃分布，有可能依赖于跳跃前的函数值，函数微分dg以及跳跃前的自变量值。的跳跃部分是：

函数的伊藤引理是：

可以看到，漂移-扩散过程与跳跃过程之和的伊藤引理，恰恰是各自部分伊藤引理的和。

应用例子
布莱克-舒尔兹模型
伊藤引理可以用于推导布莱克-舒尔兹模型。假设一支股票的价格服从几何布朗运动，且其期权的价格是股票价格和时间的函数。根据伊藤引理，有

整理可得

式中项表明期权价格的波动等于持有单位股票时的波动。在这个对应下，现金的部分应该以无风险利率增长，即

比较两式项的系数，可得

参看
 费曼－卡茨公式

 參考資料 
 Ito, K. (1944): Stochastic integral. Proc. Imp. Acad. Tokyo 20, 519-524.
 PROTTER, P. (1990): Stochastic Integration and Differential Equations. Springer-Verlag, Berlin.
 Black, F. & Scholes, M. (1973) :The pricing of options and corporate liabilities. J. Polit. Economy 

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