三角函數精確值

三角函數精確值是利用三角函數的公式將特定的三角函數值加以化簡，並以數學根式或分數表示。

用根式或分數表達的精確三角函數有時很有用，主要用於簡化的解決某些方程式能進一步化簡。

根据尼云定理，有理数度数的角的正弦值，其中的有理数仅有0，，±1。

+ 相同角度的轉換表 角度單位  值 轉         角度         弧度          梯度        

計算方式
基於常識
例如：0°、30°、45°

經由半角公式的計算

例如：15°、22.5°

利用三倍角公式求角

例如：10°、20°、7°......等等，非三的倍數的角的精確值。

把它改為

把當成未知數，當成常數項
解一元三次方程式即可求出

例如：

同樣地，若角度代未知數，則會得到三分之一角公式。

经由欧拉公式的计算

例如：

由Wolfram Alpha验算： 

經由和角公式的計算
例如：21° = 9° + 12°

經由托勒密定理的計算

例如：18°

根據托勒密定理，在圓內接四邊形ABCD中，

 三角函数精确值列表 
由于三角函数的特性，大于45°角度的三角函数值，可以经由自0°～45°的角度的三角函数值的相关的计算取得。

 0°：根本




 1°：2°的一半

使用Mathematica驗算，代碼為N[ArcSin[(1 + Sqrt[3] I)/16 Power[4 Sqrt[30] - 8 Sqrt[15 + 3 Sqrt[5]] + 8 Sqrt[5 + Sqrt[5]] + 4 Sqrt[10] - 4 Sqrt[6] - 4 Sqrt[2] + (4 Sqrt[30] + 8 Sqrt[15 + 3 Sqrt[5]] + 8 Sqrt[5 + Sqrt[5]] - 4 Sqrt[10] - 4 Sqrt[6] + 4 Sqrt[2]) I, (3)^-1] + (1 - Sqrt[3] I)/16 Power[4 Sqrt[30] - 8 Sqrt[15 + 3 Sqrt[5]] + 8 Sqrt[5 + Sqrt[5]] + 4 Sqrt[10] - 4 Sqrt[6] - 4 Sqrt[2] - (4 Sqrt[30] + 8 Sqrt[15 + 3 Sqrt[5]] + 8 Sqrt[5 + Sqrt[5]] - 4 Sqrt[10] - 4 Sqrt[6] + 4 Sqrt[2]) I, (3)^-1]], 100]/Degree結果為1與原角度無誤差

 1.5°：正一百二十边形

 1.875°：正九十六边形

 2°：6°的三分之一

 2.25°：正八十边形 

 2.8125°：正六十四边形 

 3°：正六十边形 




 3.75°：正四十八边形 

 4°：12°的三分之一 

 4.5°：正四十边形 

 5°：15°的三分之一、正三十六边形 


 5.625°：正三十二边形

 6°：正三十边形







 7.5°：正二十四边形 







 9°：正二十边形






 10°：正十八边形 

 11.25°：正十六边形 

 12°：正十五边形 





 15°：正十二边形 






 18°：正十边形 





 20°：正九边形、60°的三分之一 






 21°：9°与12°的和 




 360/17°，，：正十七边形

 22.5°：正八边形 





 24°：12°的二倍 




 180/7°，，：正七边形



 27°：12°与15°的和




 30°：正六边形 





 33°：15°与18°的和 





 36°：正五边形 





 39°：18°与21°的和 




 42°：21°的2倍 







 45°：正方形 





 48° 


54°：27°与27°的和

60°：等边三角形

67.5°：7.5°与60°的和

72°：36°的二倍

 75°: 30°与45°的和 

 81° 

 90°：根本 

列表

在下表中，為虛數單位，。

12345678910111213141516 1718192021222324

相關

參見
可作图多边形

十七邊形

參考文獻


 π/3 (60°)—π/6 (30°)—π/12 (15°)—π/24 (7.5°)
 π/4 (45°)—π/8 (22.5°)—π/16 (11.25°)—π/32 (5.625°)
 π/5 (36°)—π/10 (18°)—π/20 (9°)
 π/7—π/14
 π/9 (20°)—π/18 (10°)
 π/11
 π/13
 π/15 (12°)—π/30 (6°)
 π/17
 π/19
 π/23







注释

Category:三角學
Category:三角函数