電磁場的動力學理論

《電磁場的動力學理論》（）是一篇詹姆斯·馬克士威發於1864年的論文，這篇論文是他所寫的第三篇關於電磁學的論文。在這篇論文裏，他首次系統性地陳列出馬克士威方程組。馬克士威又應用了先前在他的1861年論文《論物理力線》裏提出的位移電流的概念，來推導出電磁波方程式。由於這導引將電學、磁學和光學聯結成一個統一理論。這創舉現在已被物理學術界公認為物理學史的重大里程碑。

這篇論文明確地闡明，能量儲存於電磁場內。因此，它在歷史上首先建立了場論的基礎概念。

馬克士威原本的方程式
在這篇論文的標題為電磁場一般方程式的第三章裏，馬克士威列出了涉及二十個未知量的二十個方程式，在那時期，稱為馬克士威方程組。由於向量微積分尚在發展中，這二十個方程式都是以分量形式表示，其中，有十八個方程式可以用六個向量方程式集中表示（對應於每一個直角坐標，有一個方程式），另外剩下的兩個是純量方程式。所以，以向量標記，馬克士威方程組可以表示為八個方程式。1884年，從這八個方程式，奧利弗·黑維塞重新編排出四個方程式，並且稱這一組方程式為馬克士威方程組。今天廣泛使用的馬克士威方程組就是黑維塞編成的這一組方程式。

黑維塞版本的馬克士威方程組是以現代向量標記法寫出。在原先版本的八個方程式裏，只有一個方程式，高斯定律的方程式(G)，完整不變地出現於黑維塞版本。另外一個在黑維塞版本的方程式，乃是由總電流定律的方程式(A)與安培環路定理的方程式(C)共同湊合而成。這方程式包含了馬克士威的位移電流，是安培環路定理的延伸。

以向量標記，馬克士威方程組的原先版本的八個方程式，分別寫為
(A) 總電流定律   
 、

(B) 磁場方程式   
 、

(C) 安培環路定理   
 、

(D) 勞侖茲力方程式
 、

(E) 電彈性方程式   
 、

(F) 歐姆定律
 、

(G) 高斯定律
 、

(H) 連續方程式
 。

標記符號：
 是磁場強度，
 是傳導電流密度， 
 是總電流密度（包括位移電流密度），
 是電位移，  
 是自由電荷密度， 
 是磁向量勢，
 是電場， 
 是電勢，  
 是磁導率，
 是電容率，  
 是電導率 。

關於介質的性質，馬克士威並沒有試着處理比較複雜的狀況。他表述的主要是線性、均向性、非色散性物質；他也稍微談到一些有關異向性的晶體物質的問題。

值得注意的是，馬克士威將  項目包括於他的合勢方程式(D)。這項目表達一個以速度  移動的導體所感受到的單位電荷的磁場力而產生的動生電動勢。這意味著合勢方程式(D)表達了勞侖茲力。這方程式最先出現為論文《論物理力線》的方程式(77)，比勞侖茲想到這問題早了很多年。現在，勞侖茲力方程式列為馬克士威方程組之外的額外方程式，並沒有被包括在馬克士威方程組裏面。

光波是電磁波

在論文《電磁場的動力學理論》裏，馬克士威應用了的1861年論文《論物理力線》第三節裏對於安培環路定理的修正，將位移電流與其它已成立的電磁方程式合併，因而得到了描述電磁波的波動方程式。最令人振奮的是，這方程式所描述的波動的波速等於光波的速度。他於是說：

馬克士威在對於光波是一種電磁現象的推導裏，並沒有使用法拉第電磁感應定律，而是使用方程式(D)來解釋電磁感應作用。由於不考慮導體的運動，項目  可以被刪除。事實上，他的八個方程式裏，並沒有包括法拉第電磁感應定律方程式在內。

由於馬克士威的推導比較冗長，現代的教科書已不再採用這推導，改而選擇另一種比較簡易了解的推導，這推導主要是使用馬克士威-安培定律（安培環路定理的延伸）與法拉第電磁感應定律。

馬克士威的推導
假設電磁波是一個平面波，以波速  向正z-軸的方向傳播於某介質，則描述此電磁波的每一個函數都擁有參數  。根據磁向量定義式(B)，
 ；

其中， 是磁感應強度的定義式。

注意到  ， 還有， 垂直於平面波的傳播方向，這電磁波是個橫波。

根據安培環路定理(C)，
 ；

假設介質是個絕緣體，傳導電流密度  等於零，則根據總電流定律(A)和電彈性方程式(E)，
 ；

假設導體的速度等於零，即動生電動勢項目等於零，則根據合勢方程式(D)，
 、
 。

再應用磁向量定義式(B)，就可以得到磁場的波動方程式：
 、
 。

鏈式法則要求
 、
 。

所以，
 、
 。

傳播的速度為
 。

設定磁導率為磁常數  ，電容率為電常數  ，則傳播速度是電磁波傳播於自由空間的速度。

類似地，應用合勢方程式(D)，可以得到電場的波動方程式：
 、
 、
 。

注意到， 可能不等於零。在尚未更清楚了解電荷密度的性質之前，馬克士威不排除電場波為縱波的可能性。

現代推導
在自由空間裏，黑維塞版的馬克士威方程組的四個微分方程式為
 、(1)
 、(2)
 、(3)
 ；(4)

其中， 是磁常數， 是電常數。

分別取公式 (2) 、(4) 的旋度，
 、
 。

應用一則向量恆等式
； 

其中， 是任意向量函數。

將公式 (1) 、(3) 代入，即可得到波動方程式：
 、(5)
 ；(6)

其中， ［公尺／秒］是電磁波傳播於自由空間的速度。

參閱
《論法拉第力線》
電磁波方程式
弯曲时空中的麦克斯韦方程组
非齊次的電磁波方程
馬克士威應力張量
麦克斯韦方程组的历史
電磁學與經點光學時間表()

參考文獻




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