狄利克雷函数

狄利克雷函数（）是一个判别自变量是有理数还是无理数的函数。定义在实数范围上、值域为  的函数，用  或者  表示。這是一個典型的處處不連續函數。該函數以德國數學家約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷的名字命名。

狄利克雷函数是一个处处不连续的可测函数，其图像关于  轴成轴对称，是一个偶函数。它处处不连续、处处极限不存在、不可积分。

在數學領域，這是一個病態函數。作为很多事情的反例，这个函数在任意一点都不存在极限，並且以任意有理数为周期的周期函数（有理数相加得有理数，无理数加有理数还是无理数）。该函数黎曼不可积，而在其它一些积分中是可积的。

 定義 
在實數域上，狄利克雷函数  定義為
 自变量  为有理数时，；
 自变量  为无理数时，。同濟大學數學系，「高等數學」第七版 上冊，第九頁 例10

狄利克雷函数也可以表达为一个连续函数序列的双重点极限：

其中  和  为整数。

 性质 
 定义在整个数轴上。
 无法画出图像。
 以任何正有理数为其周期（从而无最小正周期）。
 处处无极限、不连续、不可导。
 在任何有界区间上黎曼不可积。另一方面也作為反例說明了對於黎曼積分，單調收斂定理不成立。
 是偶函数。
 它在  上勒贝格可积。

 證明 

 處處不連續 
 若  為有理數則 。為證明函數在  處不連續，問題轉化為對任意 ，無論  多麼小，在包含  的長度為  的區間內一點 ，。試取 ，由於無理數為實數域上的稠密集，無論  取何值，總有  滿足 ，讓 。
 若  為無理數，同理，因為有理數為實數域上的稠密集，無論  取何值，總有  滿足 ，讓 。

 参考资料 

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