哈斯圖

哈斯圖（英語：Hasse , 德語: ）、在數學分支序理論中，是用來表示有限偏序集的一種數學圖表，它是一種圖形形式的對偏序集的傳遞簡約。具體的說，對於偏序集合(S, ≤)，把S的每個元素表示為平面上的頂點，然後若元素y覆蓋x（就是說，x ≤ y且沒有z使得 x ≤ z ≤ y），則繪製從x到y向上的線段或弧線。這些弧線可以相互交叉但不能觸及任何非其端點的頂點。帶有標註的頂點的這種圖唯一確定這個集合的偏序。

哈斯圖得名於德國數學家赫爾穆特·哈斯；依據，這麼叫是因為哈斯有效的利用了它們。但是哈斯不是第一個使用它們的人，它們早就出現在如中。儘管哈斯圖被設計為手工繪製偏序集合的技術，圖繪製技術已經可以被使用來自動來生成哈斯圖。E.g., see  and .

術語“哈斯圖”還可以稱呼作為抽象有向無環圖的傳遞簡約，獨立於這個圖的任何繪製形式，但是這裡不採用這種用法。

例子

 { x, y, z }的冪集按包含偏序排序，有哈斯圖:


所有60的除數的集合A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 }，按整除性排序，有哈斯圖:


集合{ 1, 2, 3, 4 }的所有15個劃分，按精細度（就是更細劃分小於更粗劃分）排序，有哈斯圖:


 一个“良好”的哈斯圖 

儘管哈斯圖是簡單的處理有限偏序集的直觀工具，繪製出好的哈斯圖是非常困難的。原因是對於給定偏序集有任意多種可能的繪圖方式。簡單的技術就是開始於這個次序的最小元並逐步增加上更大的元素，這經常產生非常窘迫的結果：很容易丟失了這個次序的對稱性和內部結構。

下面的例子展示這個問題。考慮集合S = {a, b, c, d}的冪集，就是說S的所有自己的集合，按照子集包含來排序。下面是這個偏序的三個不同哈斯圖:

{| style="background:transparent"
| 215px| ||   || 315px| ||   || 229px|
|}

通過使得在這個冪集中每個集合的y坐標成比例於集合的勢，最左圖示展示了這個冪集是等級偏序集。中間圖示有相同的等級結構，但使得某些邊比其他邊長，它把這個冪集的結構強調為兩個三維立方體的聯合：在兩個立方體中下面的那個中的頂點表示不包含S的某個特定元素比如d的集合，而上面立方體的頂點表示包含d的集合。最右圖示展示了這個結構的某種內部對稱性。

註釋

引用

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. An extended preprint is available online: .
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外部連結

Hasse diagrams of divisors
How to draw hasse diagrams of binary relations
"Hasse Diagram" on MathWorld

Category:序理論
Category:圖表