增乘开平方法

增乘开平方法是北宋数学家贾宪发明的开方算法，原收《释锁算书》一书。贾宪原作已佚，但他对数学的重要贡献，被南宋数学家杨辉引用，被抄入《永乐大典》卷一万六千三百四十四，幸得以保存下来吴文俊主编 《中国数学史大系》第五卷 第二编第一章贾宪 30-40。现存英国剑桥大学图书馆。
杨辉在所著《详解九章算法》《开方作法本元》一章中作贾宪开方作法图，并说明“杨辉详解开方本源，出《释锁算书》，贾宪用此术”。吴文俊主编 中国数学史大系第五卷 第六编第一章杨辉 565。

术文
增乘开平方法，以商数乘下法递增求之。

商第一位。上商得数以乘下法为乘方。命上商除实。上商得数以乘下法入乘方。一退为廉，下法再退。

商第二位。商得数以乘下法为隅。命上商除实讫。以上商乘下法入隅，皆名曰廉。一退，下法再退，以求第三位商数。

商第三位。用法如第二位求之。

算筹十进位制布位
算筹的布位。贾宪在纸上用书写方式将算筹码按十进位制布位。七万一千八百二十四分写两行：

 七 一 八 二 四 万 千 百 十 步

下行的步、十、百、千、万分离出来变为算筹的位值标签；上行七一八二四成为十进位制数码。

然后将算筹码依次排在相应的位值标签步、十、百、千、万之下：
 七 一 八 二 四 万 千 百 十 步 20px 20px 20px 20px 20px

杨辉算草
杨辉以七万一千八百二十四为例，列出详细算草。
算草分四行，被除数放在第二行，称为实，第一行是商，第四行为下法，第三行是廉。
将算筹15px放在第四行万字之下。

                 商 20px 20px 20px 20px 20px 实                廉 
  icon       下法
第一步先估计第一个商数得2，将icon安置在第一行百位置之上。
将上商2乘下法1，得数2，放在第三行。命上商除实，二二得四，从icon万减去四万得icon万。

       12px          商 20px 20px 20px 20px 20px 实 12px               廉 icon       下法
求第二个商数：将上商乘下法二一得二，加入廉二，成为icon。
将廉数icon（万）退一位成为icon（千）；将下法icon退二位。

作减根变换 ，得

       12px          商 20px 20px 20px 20px 20px 实   12px             廉       icon    下法

估第二位商数得6，将新商数6乘下法1（百）得6（百）并入廉。
       12px   12px        商 20px 20px 20px 20px 20px 实   12px    12px         廉       icon    下法

从实除去商6乘廉46
       12px   12px        商  20px 20px 20px 20px 实   12px    12px         廉       icon    下法

商数6乘下法1，并入廉
       12px   12px        商  20px 20px 20px 20px 实   12px    12px         廉       icon    下法

廉数退一位，下法退二位，估第三位商得8；商乘下法并入廉
       12px   12px    12px    商  20px 20px 20px 20px 实    12px    12px     12px    廉           icon  下法

从实除去商乘廉；净除。七万一千八百二十四的平方根是二百六十八。

             12px   12px    12px    商                               实          12px    12px     12px    廉                         icon  下法

用增乘开平方法可解得 。

 参考文献 
 引用 

 来源 
 钱宝琮：《增乘开方法的历史发展》，《李俨钱宝琮科学史全集》卷9 479-488页

 参见 

 平方根
 贾宪
 贾宪三角形
 增乘开立方法

Category:宋朝數學
Category:数学近似