貝爾特拉米等式

貝爾特拉米等式是變分法中的一等式，由貝爾特拉於1868年發現。它所表達的是，若函數u是以下積分的極值

則符合以下微分方程：

若L是力學系統中的拉格朗日量，且L並非x的顯函數，即拉格朗日量並非時間的顯函數，那麼，貝爾特拉米等式表明其哈密頓量是一守恆能量。

 証明 

定義共軛動量p為L的偏微分

則歐拉-拉格朗日方程給出

即

再定義哈密頓量H為L之勒壤得轉換：

則

其中第二及第三項相抵，根據p之定義及歐拉-拉格朗日方程，第一及第四項亦相抵，所以給出貝爾特拉米等式：

此亦是諾特定理的特例。

 應用 

若L獨立於x，則貝爾特拉米等式說明H為一常數：

此可用作求歐拉-拉格朗日方程的解，如同用能量守恆律解牛頓力學一樣。H為常數給出u的一階導數方程，而歐拉-拉格朗日方程則為u的二階導數方程。

例如最速降線問題，求最小化以下積分之曲線：

其中，將積分最小化的函數L與時間無關，

故此相關之哈密頓量為常數：

所以前述方程轉化為擺線之微分方程。

外部連結
 http://mathworld.wolfram.com/BeltramiIdentity.html 

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