可分扩张

可分扩张是抽象代数之域扩张理论中的概念。如果一个代数扩张满足：任何一个中元素在基域上的极小多项式都是可分多项式，那么这个扩张就称作可分扩张。由于特征为0的域（包括常见的有理数域）以及有限域都是完美域，任何这些域上的代数扩张都是可分扩张，因此可分扩张在域论研究中十分重要。可分扩张还是伽罗瓦扩张的条件之一，因此它在伽罗瓦理论中也扮演了重要的角色。

简介
域扩张理论和多项式有紧密的关系。给定一个基域并固定其某个代数闭包，所有多项式（即以中元素为系数的多项式）都在中有根，即存在，使得0。考虑集合。包含了所有的相异的根，它的元素个数不会超过多项式的次数，但也不总等于多项式的次数。例如有理数系数的三次多项式有三个不同的根：1、0和-1，相异根的个数等于多项式次数。但同样是三次多项式就只有两个根：0和1。

尽管随着代数闭包变化，多项式的根的形式可以不一样，但多项式相异根的个数是它的内禀属性。这个属性对应着域扩张理论中的可分扩张与不可分扩张。

多项式的重根与可分多项式

给定域扩张以及多项式。如果某个中元素是的根，那么可以分解为两个多项式的乘积：
.
其中是一个次数比少1的多项式。如果也是的根，那么就被称作是多项式的重根。有重根的多项式，相异根的个数必然严格小于它的次数。这样的多项式称为不可分多项式。反之称为可分多项式。

在的分裂域中，可以更清楚的看到重根。给定的分裂域後，由于在中可以完全分解为一次因式的乘积：
.
因此可以看出是否有两个根相同。

尽管的根常常在扩域中，但“是否有重根”的判断可以直接在中进行。考虑的形式导数多项式。如果和互素，则没有重根。否则，和的公因子就是由的重根组成的多项式。互素的具体判别方式为：
如果存在多项式和，使得1，则和互素。

 定义 
一个代数扩张是可分扩张，当且仅当对中任一给定元素，在上的极小多项式没有重根。

可分元素与可分次数
给定一个域扩张，如果中某个元素在上的极小多项式没有重根，就称它为上的可分元素。显然所有中元素都是上的可分元素。所有可分元素构成一个域，记作是域扩张的中间域。子扩张的次数称为的可分次数，记作。如果，则是可分扩张。

当是有限扩张时，可以定义不可分次数。是可分扩张等价于说不可分次数等于1。

 性质 
 如果、都是代数扩张，那是可分扩张当且仅当和都是可分扩张。
 假设是可分扩张，是任意扩张，并且存在，那么也是可分扩张。
 由以上两个性质可以推出，对于任何域，在它的代数闭包里，所有在上可分的元素可以构成一个域。称这个域为的可分闭包，记作。
 如果是有限可分扩张，那之间只存在有限多个中间域，由本原元定理得出，存在本原元，即存在使得。

 参见 
 完美域
 本原元定理

 参考文献 

G
G

de:Körpererweiterung#Separable Erweiterungen