本原元定理

在数学中，本原元定理精确刻画了什么时候对于一个域扩张E/F，E可以表示为的形式，即E可以由单个元素生成。

 定理 
一个有限扩张E/F有本原元，即存在使得，当且仅当E和F之间只有有限个中间域。

 证明 
如果是有限域，由于是有限扩张，推得也是有限域。但是由于有限域的乘法群是循环群，任取这个乘法群的一个生成元，可以由这个生成元生成。所以在是有限域的情况下，定理左右两边恒为真。

如果是无限域，但是只有有限个中间域。
先证明一个引理：假设并且和之间只有有限个中间域，那么存在一个使得。引理的证明如下：当取遍的时候，对于每一个可以做一个中间域。但是由假设，只有有限个中间域，因此必定存在使得。由于都在这个域里，推得也在这个域里。由于，推得在这个域里，于是也在这个域里，因此，于是。引理证毕。

由于有限扩张总是有限生成的，推得（对于）。利用归纳法以及引理可以得出，如果之间只有有限个中间域，那么可以由单个元素生成。

而如果，假设是在上的极小多项式，是任意一个中间域，是在上的极小多项式。显然。由于域上的多项式环是唯一分解环，只有有限个因子。而对于每一个，如果写作，并令。显然是的一个子域，因此在上依然是不可约的。而同时，因此可以得到。这样立即推，于是任何一个中间域对应唯一的一个的因子。于是中间域个数小于因子的个数。但因子个数是有限的，因此中间域个数有限。证毕。

 推论 
 由于有限可分扩张只有有限个中间域，由本原元定理立刻推出这个扩张有单个生成元

 参见 
 可分扩张
 有限扩张
 极小多项式

 参考文献 

G
B