置信域方法

置信域方法（Trust-region methods）又称为信赖域方法，它是一种最佳化方法，能够保证最佳化方法总体收敛。

 算法发展 
置信域方法的历史可以追溯到Levenberg(1944)，Marquardt(1963)，Goldfeld，Quandt and Trotter(1966)，但现代置信域方法由 Michael J. D. Powell 提出 (1970)。他明确提出了置信域子问题，接受方向步的准则，校正置信域半径的准则，及收敛性定理。这些措施使置信域方法比线搜索方法具有更大的优越性。

 思想框架 
考虑，其中ƒ(x)是定义在Rn上的二阶连续可微函数。
定义当前点的邻域

这里称为置信域半径。假定在这个邻域中，二次模型是目标函数ƒ(x)的一个合适的近似，则在这个邻域（称为置信域）中极小化二次模型，得到近似极小点，并取 ，其中。

置信域方法的模型子问题是

其中，，，是一个对称矩阵，它是黑塞矩阵或其近似，为置信域半径，为某一范数，通常我们采用范数。

选择的方法：根据模型函数对目标函数ƒ(x)的拟合程度来调整置信域半径。
对于置信域方法的模型子问题的解，设目标函数的下降量

为实际下降量，设模型函数的下降量

为预测下降量。
定义比值
,
它用来衡量模型函数与目标函数ƒ 的一致性程度。

 置信域算法 
步1. 给出初始点x0 ，置信域半径的上界，，，，，
步2. 如果，停止
步3. （近似地）求解置信域方法的模型子问题，得到 sk
步4. 计算ƒ(xk+sk) 和 rk。令

步5. 校正置信域半径，令

步6. 产生Bk+1，校正q(k) ，令k:=k+1 ，转步2。

基于信赖域的优化软件
Powell 无导数优化求解器 (Michael J. D. Powell)
LANCELOT  (Andrew Conn, Nick Gould, Philippe Toint)

 应用 
现今，置信域算法广泛应用于应用数学、物理、化学、工程学、计算机科学、生物学与医学等学科。相信在不远将来，信赖域方法会在更广泛多样的领域有着更深远的发展。

 参考文献 
 Andrew R. Conn,Nicholas I. M. Gould,Philippe L. Toint."Trust-region methods".Philadelphia, Pa. : SIAM [u.a.], 2000. ISBN 978-0-898714-60-9

Category:数学最佳化