概周期函数

在数学中，概周期函数（或殆周期函数）是一类有近似于周期性质的函数，是连续週期函數的推廣。不同的周期函数由于周期不尽相同，其和、差或乘积不一定再是周期函数。概周期函数尽管未必有严格的周期性，但可拥有一些比周期函数更好的性质。这一概念首先于1925年被丹麦数学家哈那德·玻尔引進，后来赫曼·外尔、贝西科维奇等人也有研究和推广。因概周期函数方面的贡献获得了1931年剑桥大学的A.S. Besicovitch (1932),   Almost periodic functions , Cambridge Univ. Press。

定义
概週期函數有若干個等價定義。根据哈那德·玻尔引进的分析學上的定义，一个定义域在实数域上的连续函数 如果满足：对任意正实数，都存在实数，使得任意长度为 的区间里至少存在一个数，使得对于任意的，都有：

在高维欧几里得空间中，也可以定义类似的概周期向量函数。

按照定义，所有周期函数都是概周期函数。

值域在復平面上的概周期函数与三角多项式函数有密切关系。哈那德·玻尔首先注意到這類型的函數是在研究有限項狄利克雷級數的時候。當把黎曼ζ函数：ζ(s) 截出有限項后，得到的是一些形如

的項。其中的。如果只考慮復平面上的一條豎直的直線（也就是說固定s 的實數部份，而實數 在正負無窮大之間變動），那麼實際上每一項變成：

如果只觀察有限個這樣的函數的和（以避免 時的解析开拓的問題），那麼由於對不同的n，是線性獨立的，這個和不再是一個週期函數。

在相關研究中，哈那德·玻尔開始注意形如：

的三角多项式函數。它是若干個週期互不相同的週期函數的和。於是概週期函數的另一個定義出現了：如果对每个，都存在三角多项式函数：，使得对于任意的，都有：

可以證明，這個定義與第一個定義是等價的。

例子
考虑若干三角多项式函数：

其中 是复数。每一个 都是周期函数，因此有限个 的和仍然是概周期函数。然而，对于某些和函数，比如说：

不是周期函数，但仍然是概周期函数。

性质
如同周期函数一样，任何概周期函数都是有界的, 且一致连续。
如果 是概周期函数，那么对于任意实数，、、、 也是概周期函数。
如果 和 都是概周期函数，那么、 和 都是概周期函数。
如果 是概周期函数，是 的值域到上的一致连续函数, 则也是概周期函数。
如果概周期函数的序列在实轴上一致收敛于函数 ，则 也是概周期函数。
如果 是概周期函数, 则 为概周期函数的充分必要条件是 的导函数 一致连续。
如果 是概周期函数，，则 为概周期函数的充要条件为 有界。

参看
 伪概周期函数
 准周期函数
 非周期函数
 傅里叶级数


参考书籍

A.S. Besicovitch,   "On generalized almost periodic functions"  Proc. London Math. Soc. (2) , 25  (1926)  pp. 495-512

H. Bohr,   "Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen I"  Acta Math., 45  (1925)  pp. 29–127
 H. Bohr,   "Almost-periodic functions" , Chelsea, reprint  (1947) 

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