哈爾函數的離散小波轉換

離散小波轉換的技術有很多種，哈爾(Haar)函數的離散小波轉換是為較簡單的方法。

將影像的所有像素分別視為各自獨立的數值，對這些數值做相加、相減的運算，即為相鄰像素的值相加，該值會越來越大，也就是蘊藏著重要的資訊，並將每一個相鄰像素的加總值存放在低頻頻帶；而相鄰像素的值相減，在圖平滑的部分，相鄰像素的值差異不大，所以相減之後的值並無太大的變化，如果是物面交界邊緣的部分，相鄰像素相減之後差異很大，而這些相鄰像素相減的值會存放在高頻頻帶。

 哈爾函數的離散小波轉換方法步驟 
哈爾函數離散小波轉換主要可以分成兩個步驟，一為水平分割，另一為垂直分割。

 水平分割 
沿著水平方向由左至右取出影像的相鄰兩像素做相加、相減，分別存放在低頻頻帶(L)與高頻頻帶(H)。

下圖表示著4*4的影像，圖中 A～P 代表該圖各部分的像素值，而在第一個步驟裡面，先由左至右取出水平方向相鄰的 A 及 B ，將兩者分別作相加（A＋B）及相減（A－B）運算，再將結果分別存入低頻頻帶(L)及高頻頻帶(H)。接著取出C、D相加為（C＋D）以及相減為（C－D），同樣的將結果，分別存入低頻頻帶(L)及高頻頻帶(H)。第一列做完後，再至第二列進行同樣的動作直到整張影像完成為止。

 垂直分割 
將水平分割所產生的結果，沿著垂直方向由上至下的方式取出相鄰像素做相加相減，分別存放在低頻頻帶(L)與高頻頻帶(H)。

如下圖所示，在水平低頻中，垂直方向由上至下取出相鄰像素的值分別為（A＋B）、（E＋F）做相加（A＋B）+（E＋F）與相減（A＋B）-（E＋F）結果分別放在水平低頻(L)垂直低頻(L)以LL表示及水平低頻(L)垂直高頻(H)以LH表示；再取出（I＋J）、（M＋N）做相同動作，將結果分別放在水平低頻(L)垂直低頻(L)以LL表示及水平低頻(L)垂直高頻(H)以LH表示。第一行完成後，繼續下一行進行同樣動作，直到整張影像完成為止。

左上角做了兩次相加動作的部份，即能量最為集中的部份稱為 LL ，人類視覺對此部份最為靈敏。
右上角相減後再相加部份分稱為 HL ，代表此影像之水平細節。
左下角先加後減部分稱為 LH ，表示此影像之垂直細節。
右下角作兩次相減部分稱為 HH ，代表此影像的對角細節。

 應用 
圖片Fig.1完成了水平切割與垂直切割兩個步驟之後，所產生出來的LL、HL、LH、HH四個頻帶，為一階Haar函數轉換的結果Fig.2，在四個頻帶之中最重要的頻帶為LL，它大小為原圖的四分之一，保留原始影像的特性，針對LL頻帶再做一次Haar函數轉換，稱為二階Haar函數轉換，如此一來會從LL頻帶又得到四個頻帶，分別為LL2、HL2、LH2、HH2，其中最重要的頻帶依然是低頻的LL2，同樣的LL2也保留了原始影像的特性而圖片的大小是原始影像十六分之一，可擴展成三階Fig.3、四階…n階Haar函數轉換。

 參考 
Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note,the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2009
R. C. Gonzales and R. E. Woods, Digital Image Processing. Reading, MA, Addison-Wesley, 1992.
Gargour, C.; Gabrea, M.; Ramachandran, V.; Lina, J.-M., "A short introduction to wavelets and their applications," Circuits and Systems Magazine, IEEE , vol.9, no.2, pp.57-68, Second Quarter 2009
Antonini, M.; Barlaud, M.; Mathieu, P.; Daubechies, I., "Image coding using wavelet transform," Image Processing, IEEE Transactions on , vol.1, no.2, pp.205-220, Apr 1992
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