巴尼斯G函数

巴尼斯G函数是超级阶乘函数在复数上的扩展。它与Γ函数、K函数以及格莱舍常数（Glaisher constant）有关。以数学家欧尼斯特·巴尼斯（Ernest William Barnes）的名字命名。 E.W.Barnes, "The theory of the G-function", Quarterly Journ. Pure and Appl. Math. 31 (1900), 264-314.

巴尼斯G函数可以通用魏尔施特拉斯分解定理的形式定义为：

其中，γ表示欧拉-马歇罗尼常数。

差分方程、函数方程与特殊值

巴尼斯G函数满足差分方程

特殊地，G(1)=1. 从此方程可推出G取整数自变量时有：

因此，

其中，表示Γ函数，表示K函数。

另外，在满足条件时，差分方程唯一确定一个G函数。M. F. Vignéras, L'équation fonctionelle de la fonction zêta de Selberg du groupe mudulaire SL, Astérisque 61, 235-249 (1979)..

由G函数的差分方程和Γ函数的函数方程可以得到（由Hermann Kinkelin提出）：

乘法公式

与Γ函数一样，G函数也有其乘法公式：

其中K是一个常数，定义为：

其中表示黎曼ζ函数的导函数，则表示为格莱舍常数。

可渐近展开为（由巴尼斯提出）：

其中为伯努利数，为格莱舍常数。（需要注意的是，在巴尼斯的时代，伯努利数习惯写成。）

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参考

Category:数论
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