正规扩张

正规扩张是抽象代数中的概念，属于域扩张中的一类。體的正規擴張為它的一個代數擴張，使得中每一個在中有根的不可約多項式，其所有根也都包含在中；換句話說，我們要求中元素的共軛元也都在中。

 定义 
正规扩张的定义不止一种，以下三个准则都可以刻画正规扩张，是三个等价的定义。域扩张是正规扩张当且仅当它满足以下三个等价条件中任意一个：

 是多项式环中的某一族多项式的分裂域。
 设是一个包含了的的代数闭包。对于L在上的每一个嵌入，只要它限制在上的部分是平凡的（即为恒等映射：()），那么就有。换句话说，在上的每一个嵌入都是一个上的自同构。
 任意一个上的不可约多项式，只要它在中有一个根，那么就可以在分解成一次因式的乘积（或者说全部的根都在中）。

例子
是的一个正规扩张，因为它是上的多项式的分裂域。然而，并不是的一个正规扩张，因为上的不可约多项式有一个根：在里面，但它的另外两个根：和都是複數，不在里面。只有在加入了三次单位根：后的扩域才是一个正规扩张。

也可以用正规扩张的第二个定义来证明不是的正规扩张。设域是由所有复代数数生成的扩域，则是的一个代数闭包，并且在里面。另一方面，

并且，如果记是的复根之一，那么映射：

是在上的一个嵌入，并且它限制在上的部分是平凡的（将中元素映射到自己）。但是并不是上的自同构。

更一般地，对每一个素数，域扩张都是的一个正规扩张，扩张的次数是(1)。是上的多项式的分裂域。其中的是任意一个复数次单位根。

 性质 

设有域扩张，那么：

 如果是的正规扩张，并且是一个子扩张（也就是说有扩张⊂⊂）那么也是的正规扩张。
 如果的子域和都是的正规扩张，那么两者的复合扩张（指的子域中同时包含和的最小者）以及两者的交∩也都是的正规扩张。

 正规闭包 
设有域扩张，那么总存在域扩张，使得是正规扩张。在同构意义上，“最小”的这样的扩张是唯一。即是说，其他的域扩张如果使得是正规扩张，那么总存在的子扩张，使得同构于。这个唯一的“最小”正规扩张称为域扩张的正规闭包。

如果是有限扩张，那么它的正规闭包也是有限扩张（因此也是有限扩张）。

 参见 

 伽罗瓦扩张

 参考来源 




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