四維頻率

在電磁學裏，平面電磁波的四維頻率  以公式定義為
 ；

其中， 是電磁波的頻率， 是朝著電磁波傳播方向的單位矢量。

四維頻率與自己的內積永遠等於零：
 。

類似地，四維角頻率  以公式定義為
 ；

其中， 是電磁波的角頻率。

顯然地，
 。

四維波向量  與四維角頻率有密切的關係，定義為
 ；

其中， 是電磁波的波向量。

在本篇文章裏，閔可夫斯基度規的形式被規定為  ，這是参考了約翰·傑克森（）的著作《經典電動力學》中所採用的形式；並且使用了經典的張量代数以及愛因斯坦求和約定。

勞侖茲變換
給予兩個慣性參考系   、 ；相對於參考系   ，參考系   以速度  移動。對於這兩個參考系，相關的勞侖茲變換矩陣  是
 ；

其中， 是勞侖茲因子， 是貝他因子， 、 、 分別是參考系   對於參考系    的 x-軸、y-軸、z-軸方向的相對速度  、 、 的貝他因子。 

設定一個朝著   方向傳播於真空的平面電磁波，對於參考系   ，這平面電磁波以公式表達為
 、
 ；

其中， 、 分別是電磁波的電場、磁場， 、 分別是其波幅， 是四維波向量， 是四維位置， 是位置， 、 分別垂直於   ，而且  。

那麼，對於參考系   ，這平面電磁波以公式表達為
 、
 。

四維波向量  與  之間的關係為
 。

經過一番運算，可以求得
 ；

其中， 是參考系   相對於參考系   的四維速度， 是參考系   相對於參考系   的速度。

在真空裏，四維頻率與四維波向量之間的關係為
 。

所以，
 。

這也是參考系   的觀察者所觀察到的頻率。

參閱
四維向量
電磁張量

參考文獻




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Category:狹義相對論