总变差

在数学中，总变差（）就是一函数其数值变化的差的总和。

定义
矢量空间
实值函数定义在区间的总变差是一维参数曲线的弧长。
连续可微函数的总变差，可由如下的积分给出

任意实值或虚值函数定义在区间上的总变差，由

定义。其中为区间中的所有分划.

定义在有界区域上的实值可积函数的总变差,定义为

其中  是Ω中的紧支集上全体连续可微向量函数构成的集合,  是本质上确界范数。

若可微，上式可简化为

度量空间
在一个度量空间上，集函数，其总变差为：

其中为的划分。
如果是符号测度，通过汉分解定理可知：

可微定义的证明
首先需要利用高斯散度定理证明一个等式.

引理
在假设条件下，下面的等式成立：

 引理证明 

由高斯散度定理.
将代入，可得



由于在的边界上,从而



注意到代入上式，移项即得

 .

如果函数的总变差有限，则称函数为有界变差函数.

 参阅 

 有界变差

 总变差规则化
 二次变差

 外部链接 
 理论 

单变量
 Boris I. Golubov (and comments of Anatolii Georgievich Vitushkin) "Variation of a function ", Springer-Verlag Online Encyclopaedia of Mathematics.
 "Total variation" on Planetmath.

多变量
 Comments of Anatolii Georgievich Vitushkin on the preceding article of Boris I. Golubov "Variation of a function ", Springer-Verlag Online Encyclopaedia of Mathematics.
 Boris I. Golubov "Arzelà variation ", "Fréchet variation ", "Hardy variation ", "Pierpont variation ", "Tonelli plane variation ", "Vitali variation ", voices from the Springer-Verlag Online Encyclopaedia of Mathematics.

测度论
 Rowland, Todd. "Total Variation ". From MathWorld—A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein.
 "Jordan decomposition " on Planetmath.

概率论
 M. Denuit and S. Van Bellegem "On the stop-loss and total variation distances between random sums", discussion paper 0034 of the Statistic Institute of the "Université Catholique de Louvain".

 应用 
 (a work dealing with total variation application in denoising problems for image processing).

Tony F. Chan and Jackie (Jianhong) Shen (2005), Image Processing and Analysis - Variational, PDE, Wavelet, and Stochastic Methods, SIAM, ISBN 089871589X (with in-depth coverage and extensive applications of Total Variations in modern image processing, as started by Rudin, Osher, and Fatemi).

Category:数学分析
Category:概率论