拿破崙問題

拿破崙問題（Napoleon's problem）是著名的圓規作圖問題，原題如下：

給定一圓和其圓心，只用圓規將此圓四等分。（此圓指的是圓周而不是圓面積）

此題目是由義大利數學家洛倫佐·馬斯凱羅尼向拿破崙·波拿巴提出的問題，但我們不知道他是否有解出這個問題。此題目後來又更加進化，變成只給定一圓，只用圓規將此圓四等分，在這種情況必須先用圓規作圖找到圓心。以上兩種都被稱為拿破崙問題。

1672年，證明只要使用圓規就可以解決所有的尺規作圖Georg Mohr, Euclides Danicus (Amsterdam: Jacob van Velsen, 1672).，但此證明直到1928年才被發現。 Schogt, J. H. (1938) "Om Georg Mohr's Euclides Danicus," Matematisk Tidsskrift A , pages 34-36.

找出圓心
作法
在已知的圓上找任意一點 A，以任意半徑畫弧 （必須和圓有交點，长度最好差不多有半圆那么长，方便第三步作图），交圓於 B'、B 兩點。
分别以B'、B為圓心，   、 為半徑，畫兩条弧 ，兩弧线相交於 A 点和 C 點。
再以 C 点為圓心、 為半徑，畫弧  ，交弧於 D'、D兩點。
以D'、D為圓心，  、 為半徑，畫兩条弧  ，兩弧线相交於A点和O点。（O点即圓的圓心）

證明
設圓的半徑為，圓的半徑為，我們知道：

因為，所以

由於，可以得出

根據對稱性，通過圓心，又，所以是圓的圓心。

四等分圓
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作法
由前面我們已經知道圓心的位置
在已知的圓上找任意一點 ，以為半徑畫弧 ，交圓於 、 兩點。
以  為圓心，為半徑畫弧 ，交圓於  点（和  點）。
（继续分别以 、 為圓心，、 為半徑畫弧，即可將圓六等分，）、、、 為四个六等分點（如圖）。
以  為圓心，為半徑畫弧 ；以  為圓心，為半徑畫弧 ，兩弧交於  點。
以  為圓心，取的长度  為半徑畫弧 ，交圓於 、 兩點。
、、、 四點將圓四等分。

證明
設圓的半徑為，容易得出、、、、、、的長度都是，可以得出，根據畢氏定理可以得出，因此、、、四點將圓四等分。

參見
拿破崙定理
尺規作圖
圓規作圖

註解

參考資料
Napoleon's Problem MathWorld
拿破崙分圓

Category:圆
Category:数学问题