交错级数判别法

交错级数审敛法（Alternating series test）是证明无穷级数收敛的一种方法，最早由戈特弗里德·莱布尼茨发现，因此该方法通常也称为莱布尼茨判别法或莱布尼茨准则。

具有以下形式的级数

其中所有的an 非负，被称作交错级数，如果当n趋于无穷时，数列an的极限存在且等于0，并且每个an小于或等于an-1（即，数列an是单调递减的），那么级数收敛．如果L是级数的和

那么部分和

逼近L有截断误差

证明
我们假设级数具有形式．当趋于无穷时，数列的极限等于0，并且每个  小于或等于（即是单调递减数列）．

收敛性证明

给定数列前  项的部分和 ．由于每个括号内的和非正，并且  ，那么前  项的部分和不大于 .

并且每个部分和可写做 ．每个括号内的和非负．因此，级数  单调递增：对任何  均有：.

结合以上两段论述，由单调收敛定理可得，存在数  使得  .

由于  并且  ，那么 ．给定数列的和为  ，其中  为有限数，从而数列收敛．

部分和截断误差的证明
在收敛性的证明过程中，我们发现是单调递增的．由于，并且括号中的每一项是非正的，这样可知是单调递减的．由先前的论述，，因此．类似的，由于是单调递增且收敛到，我们有．因此我们有对所有的n均成立．

因此如果k是奇数我们有，而如果k是偶数我们有．

 参阅 
狄利克雷判别法

 图书资料 

 Knopp，Konrad，"Infinite Sequences and Series"，Dover publications，Inc.，New York，1956．(§ 3.4) ISBN 0-486-60153-6

 Whittaker，E．T.，and Watson，G．N.，A Course in Modern Analysis，fourth edition，Cambridge University Press，1963．(§ 2.3) ISBN 0-521-58807-3

 Last，Philip，"Sequences and Series"，New Science，Dublin，1979．(§ 3.4) ISBN 0-286-53154-3
参考文献

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