芬斯拉不等式

芬斯拉不等式（Finsler's Inequality）是一条反映了三角形三边与其面积之间的关系的几何不等式。

设△ABC的三边长分别为, , ，面积为，则

  （当且仅当时，等号成立）……（1）

证明一：如图，因任意△ABC的三条高至少有一条在△ABC内，不妨设BC边上的高AD在△ABC内，设，，，则有

，，，，

∵  ……（2）

等号当且仅当，且时，即△ABC为正三角形时成立。展开（2）式并整理可得

，

∴ 。（当时，等号成立）

注：证明的关键是巧妙在构造不等式（2），为此必须首先猜想到当时，正三角形的面积最大，此时有，，利用这两个公式就可造出不等式（2）。

证明二：由余弦定理及三角形面积公式，

当且仅当，∠C=60°，即时，等号成立。

芬斯拉不等式的推广

1、若a、b、c、d为四边形的四条边，S为其面积，则有

等号当且仅当四边形为正方形时成立。

2、若、、……、为n边形的边长，S为其面积，则有

……

等号当且仅当这个n边形为正n边形时成立。

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