圆内接四边形

在几何中，圆内接四边形（英文：Cyclic quadrilateral）是四边形的一种。顾名思义，圆内接四边形的四个顶点都在同一个圆上。

 性质 
在一个圆内接四边形中，相对的两内角是互补的，它们度数之和为180度欧几里得，《几何原本》第三章，命题22 。与此等价的说法是，圆内接四边形的一个内角等于其相对面的角的外角。一個四邊形為圓內接四邊形的充分必要條件是其相对的两内角互补，即，圆内接四边形相对的两内角互补，且相对的两内角互补的四邊形是圓內接四邊形（四邊形四頂點共圓或說有四邊形有外接圓）。

托勒密定理指出，圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积（如右图）。对于非退化的四边形，如果两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积，那么必定是圆内接四边形樂嗣康，托勒密(Ptolemy) 定理與“三弦定理”的關係 ，《數學傳播》26卷1期。

凸四边形的两条对角线将自身分成四个三角形。如果这个四边形是圆内接四边形，那么相对的两个三角形是相似的。如右图中，是圆内接四边形的两对角线交点，则，。一个与此等价的说法是所谓的相交弦定理：设凸的圆内接四边形的两条对角线相交于一点(图中的），那么其中一条对角线被点所分成的两段的长度之乘积等于另一条对角线被点所分成的两段的长度之乘积：。相应的逆命题也成立：如果一个四边形ABCD的两条对角线交于点，且（或，或），那么四边形是圆内接四边形。
与其它四边形的关系
在四边形中，矩形、正方形都是，鳶形和梯形可能是。的对偶多边形是圆外切四边形。
如果一个四边形既是菱形又是，那么它是一个正方形。
如果一个四边形既是平行四边形又是，那么它是一个矩形。
如果一个四边形既是梯形又是，那么它是一个等腰梯形。
如果一个四边形既是箏形又是，那么它是一个直角箏形。
如果一个四边形既是正交四边形又是，那么它是一个婆罗摩笈多四边形。
如果一个四边形既是等对角线四边形又是，那么它是一个等腰梯形或矩形。
如果一个四边形既是圆外切四边形又是，那么它是一个双心四边形。

 面积 
在已知四边的边长时，圆内接四边形的面积可通过婆羅摩笈多公式给出。若圆内接四边形的四边边长分别是, , , ，则其面积为：


其中為半周长：


可以证明，在所有周长为定值的圆内接四边形中，面积最大的是正方形。

 参见 
 圆内接多边形
 婆羅摩笈多公式
 婆羅摩笈多定理：关于对角线相互垂直的圆内接四边形的一个定理。
 外接圆

 参考来源 

 外部链接 
 体验圆内接四边形
 关于圆内接四边形的一个定理

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