李余代数

数学中，李余代数（）是与李代数对偶的结构。 

在有限维情形，它们是对偶的对象：李代数的对偶向量空间上自然有一个李余代数结构，反之亦然。
定义
设 E 是域 k 上一个向量空间，上有一个线性映射   从 E 到 E 与自身的外积。可将 d 惟一扩张成 E 的外代数上一个度数为 1 的分次导子这意味着，对任何齐次元素 a, b ∈ E，。：

那么二元组 (E,d) 称为李余代数如果 d2 = 0，即外代数的分次分量与导子一起  构成一个上链复形：

与德拉姆复形的关系
就像流形上向量场的外代数（张量代数也是）构成一个（基域 K 上的）李代数，流形上微分形式的德拉姆复形形成一个李余代数。进一步，在向量场与微分形式之间有一个配对。

但形式要微妙些：李代数不是光滑函数  上线性的（误差是李导数），外导数也不是：（它是一个导子，但不是函数线性的），它们不是张量。它们不是在函数上线性的，但它们有一种一致的表现，不能简单地由李代数与余代数刻画。

进一步，在德拉姆复形中，导子不仅对  有定义，而且对  有定义。

对偶的李代数
向量空间上李代数结构是一个映射 ，反对称，且满足雅可比恒等式。等价地，一个映射  满足雅可比恒等式。

对偶地，向量空间上李余代数结构是一个映射 ，满足上闭链条件。李括号的对偶诱导一个映射（余交换子）

这里同构  对有限维成立；对偶是李乘积的对偶。在这种情形下，雅可比恒等式对应于上闭链条件。

更明确地，令 E 是一个李余代数。对偶空间 E* 上带有
α([x, y]) = dα(x∧y)，对所有 α ∈ E 与 x,y ∈ E*
定义的括号结构。

我们证明 E* 上所赋予的是一个李括号。只需验证雅可比恒等式。对任意 x, y, z ∈ E* 与 α ∈ E， 

这里最后一步是楔积的对偶与对偶的楔积的标准等同。最后，给出

因 d2 = 0，从而
 对任意 α, x, y, 与 z。
这样，由双对偶同构雅可比恒等式成立。

特别地，注意到证明指出了上闭链条件 d2 = 0 是雅可比恒等式在某种意义下的对偶。

注释

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