1 + 2 + 4 + 8 + …

在数学领域，1 + 2 + 4 + 8 + … 是一个无穷级数，它的每一项都是2的幂。作为几何级数，它以 1 为首项，2 为公比。

作为实数级数，他发散到无穷，所以在一般意义下它的和不存在。

如果以代數運算的方式來計算這個數列的和，雖然可以得到∞以及-1這兩個值，但這必須在更廣泛的意義中才能成立。

在历史和数学教育，是正项发散几何级数的一个基本例子。许多结果和争论引出了许多类似级数，其他的例子如。

 求和 
1 + 2 + 4 + 8 + … 的部分和数列是 ，由于该数列发散到无穷，所以部分和数列也发散到无穷。因此任何通常求和方法得到的和将是无穷，包括切萨罗求和法和阿贝尔求和法。Hardy p.10

另一方面，有一种广义方法使得  的和为有限值 -1。相应的幂级数

的收敛半径为 1/2，因此它在  时不收敛。然而，这样定义的函数 f 在去掉点  后，具有到复平面唯一的解析开拓，并且具有相同的形式 。由于 ，原级数  是可求和的 (E)，其和为 −1，并且 -1 是级数的(E)和。（此標識方式是由戈弗雷·哈羅德·哈代參考萊昂哈德·歐拉在无穷級數上的研究而得）Hardy pp.8, 10

用几乎完全相同的方法可以考虑系数为 1 的幂级数，例如：

并用 y = 2 代入。当然这两个级数可由关系式 y = 2x 等价转换。

事实上(E)和为分配了一个有限值，这表明广义方法不是完全符合惯例的。另一方面，他具有某些求和法可取的性质，包括稳定性和线性性质。这些后面的两个公理实际上强制级数的和为 -1，因此它令下面的操作有效：

在某种意义下，s = ∞ 是方程 的一个解（例如∞是黎曼球上莫比乌斯变换 的两个不动点之一）。如果某种已知的求和方法返回一个常数s，例如不是∞，那么这是容易确定的。在这种情形下s可能由方程的两边消去，得到 ，所以 。The two roots of  are briefly touched on by Hardy p.19.

 注释 

 参考文献 



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