格朗沃尔不等式

在数学中，格朗沃尔不等式（Grönwall's inequality）或格朗沃尔引理（Grönwall's lemma）说明了对于满足一定的微分方程或积分方程的函数，有相应的关于此微分方程或积分方程的不等式。格朗沃尔不等式有两种形式，分别是积分形式和微分形式。积分形式下的不等式可以有几种不同的写法。

格朗沃尔不等式常常被用来估计常微分方程的解的取值范围。比如，它可以用来证明初值问题的解的唯一性（见柯西-利普希茨定理）。

格朗沃尔不等式的名称来自。格朗沃尔是一位瑞典的数学家，后来移居美国。

格朗沃尔不等式的微分形式首先由格朗沃尔在1919年证明T. H. Gronwall: Note on the derivative with respect to a parameter of the solutions of a system of differential equations, Ann. of Math 20 (1919), 292–296.。而积分形式则是由理查德·贝尔曼在1943年证明Richard Bellman, The stability of solutions of linear differential equations, Duke Math. J. 10 (1943), 643–647.。

 微分形式 

设 I 是一个实数区间，记为：[a, ∞) 或 [a, b] 或 [a, b)，其中 a < b。又设β 和 u 为定义在 I 上的实数值的连续函数。假设 u 是一个在 I 的内部（也就是不包括端点）可微的函数，并且满足如下的微分不等式：

那么对于所有的，函数 u 都小于等于以下微分方程的解：

注意：不等式对函数 β 和 u 的符号没有任何要求。 

 证明 

如果设

是以下微分方程 

其中 v(a) = 1 的解，那么对所有的 t 都有 v(t) > 0， 因此根据复合函数求导法则中的除法定则：

对所有的 t > a 成立，因此 

于是格朗沃尔不等式得证。

 积分形式 
设 I 是一个实数区间，记为：[a, ∞) 或 [a, b] 或 [a, b)，其中 a < b。又设  α、β 和 u 为定义在 I 上的实数值的函数。假设 β 和 u 是连续的，则有：

(a) 如果 β 是非负函数并且 u 满足如下的积分不等式：
，
那么
。
(b) 如果在之前的条件下， α 还是一个常数，那么

注意：
 不等式的成立条件里并没有限制 α 和 u 的符号；
 相比于微分形式，积分形式中对函数 u 的可微性没有做要求；

 证明 
(a) 定义

则运用复合函数求导法则中的乘積法則、链式法则、指数函数的求导法则以及微积分基本定理，可以得到：

，

由于注意到括号中的部分小于 α，可以得到相应的不等式，并进行积分。由于函数 β 以及其指数都是非负函数，不等号保持不变。然而 v(a) = 0，因此积分式等价于：

再运用第一步里 v(t) 的定义，就得到：

。

最后将原来条件里的不等式带入上式左边，就可以得到格朗沃尔不等式了。

(b) 如果函数 α 为常数函数，那么命题 (a) 中不等式的右边可以进行积分。由微积分基本定理可以获得：

。

参见
全局解

参考来源

楼红卫，林伟，《常微分方程》，复旦大学出版社，2007年，ISBN：978-7-309-05590-0/O.400
李荣华，刘播，《微分方程数值解法(第4版)》，高等教育出版社，2009年。
Jan A. Sanders, Ferdinand Verhulst, James A. Murdock, Averaging methods in nonlinear dynamical systems, Springer,2007.

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