電荷密度

在電磁學裏，電荷密度是一種度量，用以描述空間中連續電荷的分布狀況。依据討論電磁模型的維度而定，電荷密度可以是線電荷密度、面電荷密度或體電荷密度。

假設電荷分佈於一條曲線或一根直棒子，則其線電荷密度是每單位長度的電荷密度，單位為庫侖／公尺 (coulomb/meter) 。假設電荷分佈於一個平面或一個物體的表面，則其面電荷密度是每單位面積的電荷密度，單位為庫侖／公尺2。假設電荷分佈於一個三維空間的某區域或物體內部，則其體電荷密度是每單位體積的電荷密度，單位為庫侖／公尺3。

由於在大自然裏，有兩種電荷，正電荷和負電荷，所以，電荷密度可能會是負值。電荷密度也可能會跟位置有關。特別注意，不要將電荷密度與電荷載子密度 () 搞混了。

電荷密度與電荷載子的體積有關。例如，由於鋰陽離子的半徑比較小，它的體電荷密度大於鈉陽離子的體電荷密度。

 古典電荷密度 
假設，一個體積為  的載電體，其電荷密度  是均勻的，跟位置無關，那麼，總電荷量  為
。

假設，在某一區域內有  個離散的點電荷，像電子。那麼，電荷密度可以用狄拉克δ函數來表達為
 ；

其中，  是檢驗位置， 是位置為  的第  個點電荷的電量。

 量子電荷密度 
在量子力學裏，類氫原子的中心有一個正電性的原子核，環繞著原子核四週的一個電子的軌域，其電荷密度可以用波函數  表達為

 ；

其中， 是電子的電荷量。

注意到  是找到電子的機率。經過歸一化，在全部空間找到電子的機率是
 ；

例如，氫原子的波函數  是
 ；

其中， 是徑向函數， 是球諧函數， 是主量子數， 是角量子數， 是磁量子數。

相對論性電荷密度
從相對論的角度來論述，導線的長度與觀察者的移動速度有關，所以電荷密度是一種相對論性觀念。安東尼·法蘭碁（）在他的著作中表明A. French (1968) Special Relativity, chapter 8 Relativity and electricity, pp 229–65, W. W. Norton.，移動中的電荷密度會產生磁場力，會吸引或排斥其它載流導線。。使用閔可夫斯基圖，法蘭碁闡明，一條中性的載流導線，對於處於移動參考系的觀察者而言，為什麼會貌似載有淨電荷密度。通過時空坐標，研究電磁現象的領域稱為相對論性電磁學（）。

 電荷守恆的連續方程式 
電荷密度與電流密度之間的關係式為：
 ；

其中， 是位置， 是時間， 是電流密度。

在電磁理論裏，從馬克士威方程組，可以推導出電荷守恆的連續方程式。根據加入位移電流項目後的安培定律，
 ；

其中， 是磁場， 是電場， 是磁常數， 是電常數。

取散度於方程式的兩邊：
 。

由於旋度的散度等於零，再根據高斯定律，可以得到想要的關係式
 。

換另外一種比較直覺的推導方法。流入某體積  的淨電流為
 ； 

其中， 是電流， 是包圍體積  的閉曲面， 是微小面向量元素，垂直於  從體積內朝外指出。

應用散度定理，將這方程式寫為
 。

總電荷量  與體積  內的電荷密度  的關係為
 。

電荷守恆要求，流入體積  的淨電流，等於體積  內總電荷量  的變率：
 。

所以，
 。

對於任意體積  ，上述方程式都成立。所以，可以將被積式提取出來：
 。

 電勢和電場 
在一個體積區域  內，源位置  的電荷密度為  的電荷分佈，所產生在場位置  的電勢為
 ；

其中， 是微小體積元素。

電場  是電勢的負梯度：
 。

應用向量關係式
 ，

取散度於電場，
 ，

可以得到高斯定律的微分形式
 ，

和帕松方程式
 。

 參閱 
 拉普拉斯方程式
 恩绍定理
 格林互反定理 ()

參考文獻

Category:電荷
Category:密度
D
D

es:Carga eléctrica#Densidad de carga eléctrica