特征函数 (概率论)

在概率论中，任何随机变量的特征函数（缩写：ch.f，复数形式：ch.f's）完全定义了它的概率分布。在实直线上，它由以下公式给出，其中是任何具有该分布的随机变量：

，

其中是一个实数，是虚数单位，表示期望值。

用矩母函数来表示（如果它存在），特征函数就是的矩母函数，或在虚数轴上求得的矩母函数。

与矩母函数不同，特征函数总是存在。

如果是累积分布函数，那么特征函数由黎曼－斯蒂尔杰斯积分给出：

。

在概率密度函数存在的情况下，该公式就变为：

。

如果是一个向量值随机变量，我们便取自变量为向量，为数量积。

或上的每一个概率分布都有特征函数，因为我们是在有限测度的空间上对一个有界函数进行积分，且对于每一个特征函数都正好有一个概率分布。

一个对称概率密度函数的特征函数（也就是满足）是实数，因为从所获得的虚数部分与从所获得的相互抵消。

性質

连续性

勒维连续定理说明，假设为一个随机变量序列，其中每一个都有特征函数，那么它依分布收敛于某个随机变量：
当
如果
当
且在处连续，是的特征函数。

勒维连续定理可以用来证明弱大数定律。

反演定理

在累积概率分布函数与特征函数之间存在双射。也就是说，两个不同的概率分布不能有相同的特征函数。

给定一个特征函数φ，可以用以下公式求得对应的累积概率分布函数：

。

一般地，这是一个广义积分；被积分的函数可能只是条件可积而不是勒贝格可积的，也就是说，它的绝对值的积分可能是无穷大。P. Levy, Calcul des probabilités, Gauthier-Villars, Paris, 1925. p. 166

博赫纳-辛钦定理/公理化定義

任意一个函数是对应于某个概率律的特征函数，当且仅当满足以下三个条件：

是连续的；
；
是一个正定函数（注意这是一个复杂的条件，与不等价）。

計算性质
特征函数对于处理独立随机变量的函数特别有用。例如，如果、、……、是一个独立（不一定同分布）的随机变量的序列，且

其中是常数，那么的特征函数为：

特别地，。这是因为：

。

注意我们需要和的独立性来确立第三和第四个表达式的相等性。

另外一个特殊情况，是且为样本平均值。在这个情况下，用表示平均值，我们便有：

。

 特征函数举例 
 分布 特征函数  退化分布     伯努利分布     二项分布     负二项分布     泊松分布     连续均匀分布     拉普拉斯分布     正态分布     卡方分布     柯西分布     伽玛分布     指数分布     多元正态分布     多元柯西分布  Kotz et al. p. 37 using 1 as the number of degree of freedom to recover the Cauchy distribution   
Oberhettinger (1973) 提供的特征函数表.

特征函数的应用

由于连续定理，特征函数被用于中心极限定理的最常见的证明中。

矩
特征函数还可以用来求出某个随机变量的矩。-{只}-要第n个矩存在，特征函数就可以微分n次，得到：

例如，假设具有标准柯西分布。那么。它在处不可微，说明柯西分布没有期望值。另外，注意到个独立的观测的样本平均值具有特征函数，利用前一节的结果。这就是标准柯西分布的特征函数；因此，样本平均值与总体本身具有相同的分布。

特征函数的对数是一个累积量母函数，它对于求出累积量是十分有用的；注意有时定义累积量母函数为矩母函数的对数，而把特征函数的对数称为第二累积量母函数。

一个例子
具有尺度参数和形状参数k的伽玛分布的特征函数为：
。
现在假设我们有：
且
其中和相互独立，我们想要知道的分布是什么。和特征函数分别为：

根据独立性和特征函数的基本性质，可得：
。
这就是尺度参数为、形状参数为的伽玛分布的特征函数，因此我们得出结论：
，
这个结果可以推广到个独立、具有相同尺度参数的伽玛随机变量：
。

多元特征函数

如果是一个多元随机变量，那么它的特征函数定义为：

。

这裡的点表示向量的点积，而向量位于的对偶空间内。用更加常见的矩阵表示法，就是：

。

例子
如果是一个平均值为零的多元高斯随机变量，那么：

其中表示正定矩阵 Σ的行列式。

矩阵值随机变量

如果是一个矩阵值随机变量，那么它的特征函数为：

在这裡，是迹函数，表示与的矩阵乘积。由于矩阵XT一定有迹，因此矩阵X必须与矩阵T的转置的大小相同；因此，如果X是m × n矩阵，那么T必须是n × m矩阵。

注意乘法的顺序不重要（但）。

矩阵值随机变量的例子包括威沙特分布和矩阵正态分布。

相关概念
相关概念有矩母函数和概率母函数。特征函数对于所有概率分布都存在，但矩母函数不是这样。

特征函数与傅里叶变换有密切的关系：一个概率密度函数的特征函数是的连续傅里叶变换的共轭复数（按照通常的惯例）。

其中表示概率密度函数的连续傅里叶变换。类似地，从可以通过傅里叶逆变换求出：

。

确实，即使当随机变量没有密度时，特征函数仍然可以视为对应于该随机变量的测度的傅里叶变换。

参考文献

Lukacs E. (1970) Characteristic Functions. Griffin, London. pp. 350
Bisgaard, T. M., Sasvári, Z. (2000) Characteristic Functions and Moment Sequences, Nova Science

Category:与概率分布相关的函数