特殊酉群

在数学中， 阶特殊酉群（），记作 ，是行列式为 1 的  酉矩阵组成的群（一般酉矩阵的行列式是绝对值为1的复数）。群运算是矩阵乘法。特殊酉群是由  酉矩阵组成的酉群  的一个子群，酉群又是一般线性群 ) 的一个子群。

群  在粒子物理中标准模型中有广泛的应用，特别是  在电弱相互作用与  在量子色动力学中。

最简单的情形 ，是平凡群，只有一个元素。群  同构于範數为  的四元数，从而微分同胚于三维球面。因为单位四元数可表示三维空间中的旋转（差一个符号），我们有一个满同态从  到旋转群 ，其核为 。

性质

特殊酉群 SU(n) 是一个 n2-1 维实矩阵李群。在拓扑上是紧及单连通的。在代数上，它是一个单李群（意为它的李代数是单的，见下）。SU(n) 的中心同构于循环群 Zn。当 n ≥ 3，它的外自同构群是 Z2，而 SU(2) 的外自同构群是平凡群。

SU(n) 代数由 n2 个算子生成，满足交换关系（对 i, j, k, l = 1, 2, ..., n）：

另外，算子

满足

这意味着 SU(n) 独立的生成元个数是 n2-1R.R. Puri, Mathematical Methods of Quantum Optics, Springer, 2001.。

生成元
一般地，SU(n) 的无穷小生成元（infinitesimal generator） T，由一个无迹埃尔米特矩阵表示。即

以及

基本表示
在定义或基本表示中，由  矩阵表示的生成元是：

这里系数  是结构常数，它对所有指标都是反对称的，而系数  对所有指标都是对称的。
从而

我们也有

作为一个正规化约定。

伴随表示
在伴随表示中，生成元表示由  矩阵表示，其元素由结构常数定义：

 SU(2) 
 一个一般矩阵元素形如

这里  使得 。我们考虑如下映射 ，（这里  表示 2×2 复矩阵集合），定义为

考虑到  微分同胚于  和  同胚于 ，我们可看到  是一个实线性单射，从而是一个嵌入。现在考虑  限制在三维球面上，记作 ，我们可发现这是三维球面到  的一个紧子流形的一个嵌入。但显然有 ，作为一个流形微分同胚于 ，使  成为一个紧连通李群。

现在考虑李代数 ，一个一般元素形如

这里  以及 。易验证这样形式的矩阵的迹是零并为反埃尔米特的。从而李代数由如下矩阵生成

易见它具有上面提到的一般元素的形式。它们满足关系  和 。从而交换子括号由

确定。上述生成元与泡利矩阵有关，,  及 。

SU(3)
SU(3) 的生成元 T，在定义表示中为

这里  为盖尔曼矩阵，是 SU(2) 泡利矩阵在 SU(3) 之类比：

{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0"
| 
| 
| 
|-
| 
| 
| 
|-
| 
|
|
|}

注意它们都是无迹埃尔米特矩阵。

它们服从关系

这里 f 是结构常数，如上所定义，它们的值为

d 的取值：

李代数

 对应的李代数记作 。它的标准数学表示由无迹反埃尔米特  复矩阵组成，以通常交换子为李括号。粒子物理学家通常增加一个因子 ，从而所有矩阵成为埃尔米特的。这只不过是同一个实李代数一个不同的更方便的表示。注意  是  上一个李代数。

例如，下列量子力学中使用的矩阵组成  在  上的一组基：


（这里  是虚数单位。）

这个表示经常用于量子力学（参见泡利矩阵以及盖尔曼矩阵）表示基本粒子比如电子的自旋。它们也作为我们三维空间量子相对论描述中的单位向量。

注意任意两个不同生成元的乘积是另一个生成元，以及生成元反交换。与单位矩阵（乘以 ）一起

它们也是  的生成元。

当然这里它取决于我们最终处理的问题，比如在非相对论量子力学中为 2-旋量；或在相对论狄拉克理论中，我们需要到 4-旋量的一个扩张；或在数学中甚至是克利福德代数。

注：在矩阵乘法下（在此情形是反交换的），生成克利福德代数 ，而在交换子括号下生成李代数 。

回到一般的 ：

如果我们选择（任意）一个特定的基，则纯虚数无迹对角  矩阵子空间组成一个  维嘉当子代数。

将这个李代数复化，从而现在允许任何无迹  矩阵。权本征向量是嘉当子代数自己，只有一个非零元素的矩阵不是对角的。尽管嘉当子代数  只是  维，但为了化简计算，经常引入一个辅助元素，与所有元素交换的单位矩阵（它不能视为这个李代数的一个元素）。故我们有一个基，其中第  个基向量是在第  个对角元素为  而在其它处为零的矩阵。则权由  个坐标给出，而且在所有  个坐标求和为零（因为单位矩阵只是辅助的）。

故  的秩是 ，它的邓肯图由  给出，有  个顶点的链。

它的根系由  个根组成，生成一个  欧几里得空间。这里，我们使用  冗余坐标而不是  坐标来强调根系的对称（ 坐标之和为零）。换句话说，我们是将这个  维向量空间嵌入 -维中。则根由所有  置换 。两段以前的构造解释了为什么。单根的一个选取为
,
,
…,
.

它的嘉当矩阵是
.

它的外尔群或考克斯特群是对称群 ，-单形的对称群。

广义特殊酉群
对一个域 F，F 上广义特殊酉群 SU(p,q;F)，F 上一个秩为 n=p+q 的向量空间上使得一个符号为 (p,q) 的非退化埃尔米特形式不变的所有行列式为 1 线性变换组成的群。这个么正群经常称为 F 上符号为 (p,q) 的特殊酉群。域 F 可以换为一个交换环，在这种情形向量空间换为自由模。

特别地，固定 GL(n,R) 中一个符号为 (p,q) 的埃尔米特矩阵，则所有

满足

经常可以见到记号  略去环或域，在这种形式环或域是指 C，这给出一个典型李群。当 F=C 时，A 的标准选取是

对某些维数 A 可能有更好的选择，当限制为 C 的一个子环时有更好表现。

例子
这类群的一个重要例子是皮卡模群 SU(2,1;Z[i])，（射影地）作用在二度复双曲空间上，同样地 SL(2,Z) （射影地）作用在二维实双曲空间上。2003年，Gábor Francsics 与彼得·拉克斯算出了这个群在  上作用的基本-{域}-，参见 。

另一个例子是 SU(1,1;C)，同构于 SL(2,R)。

重要子群
在物理学中，特殊酉群用于表示波色对称。在对称性破缺理论中寻找特殊酉群的子群很重要。在大一统理论中 SU(n) 重要的子群是，对 p>1，n-p>1：

为了完整性，还有正交与辛子群：

因为 SU(n) 的秩是 n-1，U(1) 是 1，一个有用的检验是看子群的秩是小于还是等于原来群的秩。SU(n) 是多个其它李群的子群：

（参见自旋群）

（关于 E6, E7 与 G2 参见单李群）。
有同构 SU(4)=Spin(6)，SU(2)=Spin(3)=USp(2) 以及 U(1)=Spin(2)=SO(2)。

最后值得指出的是 SU(2) 是 SO(3) 的二重覆叠群，这个关系在非相对论量子力学 2-旋量的旋转中起着重要的作用。

 相关条目 

 SU(2)的表示论
 射影特殊酉群 PSU(n)
埃尔米特矩阵
辛矩阵
酉群
酉算子
矩阵分解

 注释 

 参考文献 

Maximal Subgroups of Compact Lie Groups  

外部链接
Physics 558 - Lecture 1, Winter 2003 

Category:李群