奇偶檢驗矩陣

在编码理论裡，線性區塊碼 C 的奇偶檢驗矩陣（）是描述的成分间必须满足的线性关系的一个矩阵。它可以用来决定一个特定向量是否为码字，也用在译码算法中。

定义
形式上，线性码 C 的奇偶檢驗矩陣 H 是对偶码 C⊥ 的生成矩阵。这就意味着当且仅当矩阵-向量乘积 （一些作者比如会写成其等价形式cH⊤ = 0）时，码字 c 才会在 C  中。

奇偶檢驗矩陣的行是奇偶检验方程的系数。也就是說，它們表示每个碼字中的某些數字（成分）如何線性組合可以等於零。例如，奇偶檢驗矩陣

,

紧凑表示了向量  要成为 C 的码字必须满足的奇偶检验方程，
.

根据定义，奇偶检验矩阵直接遵循该码的最小距离为，使得奇偶检验矩阵 H 的任意 d - 1 列都线性无关并且存在 d 列线性相关的最小数 d。

建立奇偶檢驗矩陣

某一给定碼的奇偶校驗矩陣可以从其生成矩阵导出（反之亦然）。若一 [n,k] 码的生成矩陣是標準形式 
 ,
则奇偶檢驗矩陣为
 ,
因為
 .
取反是在有限域 Fq 内进行的。注意如果所处的域的特征为 2（即在这个域中 1 + 1 = 0），如在中一样，因此 -P = P，所以取反是不需要的。

例如，如果一个二元码的生成矩阵

 ,

则其奇偶檢驗矩陣就是

 .

伴随式

对向量空间环境中的任意（行）向量 x，s = Hx⊤ 称为 x 的。当且仅当 s = 0 时向量 x 为码字。计算伴随式是算法的基础。

参见
汉明码

注释

參考文獻





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