可去奇点

在复分析中，一个全纯函数的可去奇点（），有时称为装饰性奇点（）是这样的点，在此处函数表面上没有定义，但是通过细致地分析，函数的定义域可以扩大到该奇点，使得延拓后的函数仍然全纯。

例如函数：

对  有一个奇点 。藉由定义 ，可將此奇点消去，並得到全純的 sinc函數。

确切地，如果  是复平面  的一个开集， 是  中一点， 是一个全纯函数，如果存在一个在  与  相等的全纯函数 ，则  称为  的一个可去奇点。如果这样的  存在，我们说  在  是可全纯延拓的。

 黎曼定理 
黎曼关于可去奇点的定理指出了何时一个奇点是可去的：

定理： 设  是复平面中的一个开集， 是其内的一个点，并且  是定义在集合  上的一个全纯函数。则下列情形是等价的：

i)   可全纯延拓到 。

ii)   可连续延拓到 。

iii) 存在  的一个邻域，在它上面  有界。

iv)  。

蕴含关系 i) ⇒ ii)  ⇒ iii)  ⇒ iv) 是平凡的。为了证明 iv) ⇒ i)，我们首先回忆到一个函数在一点的全纯性等价于解析，即有一个幂级数表示。

定义：

显然，  在  上是全纯的，并且由 iv)有

因此  在整个  上都全纯，从而有在  的泰勒级数：

所以

是  在  的全纯延拓，这就证明了先前的断言。

 其它类型奇点 
不像实变量函数，全纯函数有足够的刚性使得其孤立奇点可完全分类。一个全纯函数的奇点要么其实不是真正的奇点，即可去奇点，要么是如下两类居其一：

 受黎曼定理启示，给定一个不可去奇点，我们可能问是否存在一个自然数  使得  。如果存在， 称为  的一个极点，这样最小的  称为  的阶数。所以可去奇点恰好是零阶极点。一个全纯函数在极点附近一致发散到无穷远点。
 如果  的一个孤立奇点  既非可去奇点也非极点，则称本性奇点。皮卡定理指出  将任意穿孔开邻域  映满整个复平面，至多少一个可能的例外点。

参见
 解析容度
 可去不连续点

K

ja:リーマンの定理 (除去可能な特異点)