马尔可夫网络

马尔可夫网络，（马尔可夫随机场、无向图模型）是关于一组有马尔可夫性质随机变量的全联合概率分布模型。

马尔可夫网络类似贝叶斯网络用于表示依赖关系。但是，一方面它可以表示贝叶斯网络无法表示的一些依赖关系，如循环依赖；另一方面，它不能表示贝叶斯网络能够表示的某些关系，如推导关系。马尔可夫网络的原型是易辛模型，最初是用来说明该模型的基本假设Ross Kindermann and J. Laurie Snell, 马尔可夫随机场及其应用 （1980）美国数学协会, ISBN 0-8218-5001-6。

 形式化定义 
形式上，一个马尔可夫网络包括：
 一个无向图G = (V,E)，每个顶点v ∈V表示一个在集合的随机变量，每条边{u,v} ∈ E表示随机变量u和v之间的一种依赖关系。
 一个函数集合（也称为因子或者团因子有时也称为特征），每一个的定义域是图G的团或子团k.  每一个是从可能的特定联合的指派（到元素k）到非负实数的映射。

 联合分布函数 
联合分布（吉布斯测度）用马尔可夫网络可以表示为：

其中是向量，是随机变量在第k个团的状态（是在第k个团中包含的节点数。），乘积包括了图中的所有团。注意马尔可夫性质在团内的节点存在，在团之间是不存在依赖关系的。这里，是配分函数，有

.

实际上，马尔可夫网联络经常表示为对数线性模型。通过引入特征函数，得到

和

以及划分函数 
。

其中，是权重，是势函数，映射团到实数。这些函数有时亦称为吉布斯势；术语势源于物理，通常从字面上理解为在临近位置产生的势能。

对数线性模型是对势能的一种便捷的解释方式。一个这样的模型可以简约的表示很多分布，特别是在领域很大的时候。另一方面，负的似然函数是凸函数也带来便利。但是即便对数线性的马尔可夫网络似然函数是凸函数，计算似然函数的梯度仍旧需要模型推理，而这样的推理通常是难以计算的。

 马尔可夫性质 
马尔可夫网络有这样的马尔可夫性质：图的顶点u在状态的概率只依赖顶点u的最近临节点，并且顶点u对图中的其他任何节点是条件独立的。该性质表示为 

顶点u的最近临节点集合也称为顶点u的马尔可夫链。

 推理 
在贝叶斯网络中，计算节点集合对给出的另外节点集合的条件分布可以通过的所有可能的指派值求和，这是精确推理。精确推理是NP-hard问题，一般相信不存在快速计算方法。近似推理技术如马尔科夫蒙特卡洛和置信度传播通常更加可行。一些马尔可夫随机场的子类，如树，有多项式时间复杂度的推理算法，发现这样的子类也是活跃的研究课题。也有一些马尔可夫随机场的子类允许有效最大后验概率估计，或者最可能的指派值；应用的例子包括关联网络。

 条件随机场 
一个马尔可夫网络的重要变体是条件随机场，每个随机变量可以条件依赖于一组全局的观察。这个模型中，每个函数是从指派值到团k和从观察到非负实数的映射。这样的马尔可夫网络更适于不对观察建立分布模型的区分性模型，不是生成性模型。

 参见 
 圖模式
 马尔可夫链
 马尔可夫逻辑网络

参考

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Category:圖模式