模糊集

模糊集是模糊数学上的一个基本概念，是数学上普通集合的扩展。
 定义 
给定一个论域 ，那么从到单位区间的一个映射称为上的一个模糊集，或的一个模糊子集要注意，严格地说，模糊集或子集是映射所确定的序对集，但由于模糊子集完全由其隶属函数所确定，因而我们不区分映射和映射所确定的序对集，而总是直接把模糊子集定义为一个满足上述定义的映射。。
表示
模糊集可以记为。映射（函数）或简记为叫做模糊集的隶属函数。对于每个， 叫做元素对模糊集的隶属度。

模糊集的常用表示法有下述几种：
 解析法，也即给出隶属函数的具体表达式。
 Zadeh记法，例如。分母是论域中的元素，分子是该元素对应的隶属度。有时候，若隶属度为0，该项可以忽略不写。
 序偶法，例如，序偶对的前者是论域中的元素，后者是该元素对应的隶属度。
 向量法，在有限论域的场合，给论域中元素规定一个表达的顺序，那么可以将上述序偶法简写为隶属度的向量式，如。

 和传统集合的关系 
和傳統的集合一樣，模糊集也有它的元素，但可以談論每個元素屬於該模糊集的程度，其從低至高一般用 0 到 1 之間的數來表示。模糊集理論是由盧菲特·澤德（1965）所引進的，是經典集合論的一種推廣L. A. Zadeh (1965) "Fuzzy sets" . Information and Control 8 (3) 338–353.。在經典的集合論中，所謂的二分條件規定每個元素只能屬於或不屬於某個集合（因此模糊集不是集合）；可以說，每個元素對每個集合的歸屬性（membership）都只能是 0 或 1。而每模糊集則擁有一個歸屬函數（membership function），其值允許取閉區間（單位區間）中的任何實數，用來表示元素對該集的歸屬程度。比如設某模糊集的歸屬函數為 ，而、、為三個元素；如果，，，則可以說 「完全屬於」，「完全不屬於」，「對的歸屬度為」（注意没有說「有一半屬於」，因為尚未規定的歸屬度具有甚麼特殊含義）。作為特例，當歸屬函數的值只能取 0 或 1 時，就得到了傳統集合論常用的指示函数（indicator function）D. Dubois and H. Prade (1988) Fuzzy Sets and Systems. Academic Press, New York.。傳統集合在模糊集理論中通常稱作「明確集」（crisp set）。

 截集与截积 
设 为 上的模糊集（记作 ），任取 ，则
 ，

称为的截集，而称为阈值或置信水平。将上式中的替换为，记为，称为强截集。

截集和强截集都是经典集合。此外，显然为的核，即；如果，则称为正规模糊集，否则称为非正规模糊集。

截积是数与模糊集的积：

设，，则，与的截积（或称为截集的数乘，记为）定义为：



根据定义，截积仍是上的模糊集合。

 分解定理与表现定理 

分解定理：

设，则


即任一模糊集都可以表达为一族简单模糊集的并。也即，一个模糊集可以由其自身分解出的集合套而“拼成”。

表现定理：

设为上的任何一个集合套，则


是上的一个模糊集，且，有

（1）

（2）

即任一集合套都能拼成一个模糊集。

 模糊度 
一个模糊集的模糊度衡量、反映了 A 的模糊程度，一个直观的定义是这样的：

设映射满足下述5条性质：
 清晰性：当且仅当。（经典集的模糊度恒为0。）
 模糊性：当且仅当有。（隶属度都为0.5的模糊集最模糊。）
 单调性：，若，或者，则。
 对称性：，有。（补集的模糊度相等。）
 可加性：。

则称是定义在上的模糊度函数，而为模糊集的模糊度。

可以证明符合上述定义的模糊度是存在的陈水利等，模糊集理论及其应用，科学出版社，2005年，第20页。，一个常用的公式（分别针对有限和无限论域）就是其中是参数，称为 Minkowski 模糊度。特别地，当的时候称为 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指标，当的时候称为 Euclid 模糊度。

模糊測度(Fuzzy measures)
是輿集的一種。

用函數定義，包含下列3項特性稱為模糊測度:

①

---函數代0值，表示沒有值為空值，用數學0來表示。函數代表示輿集全部帶進去了塞滿了，用1表示塞滿。

②若和, 則.

---是屬於的一部分，在裡面也可能跟一樣大，則

③If ∈, ⊆⊆…,then 

---當屬於同時包含於，則將代入函數趨小所得的值等同於先趨小再代入函數所求得的值。

模糊量測(measures of fuzziness)

 模糊集的运算 
 各种算子 
 Zadeh 算子，即为并，即为交

 代数算子（概率和、代数积）

 有界算子

 Einstein 算子

 Hamacher 算子，其中是参数，等于1时转化为代数算子，等于2时转化为 Einstein 算子

 Yager 算子，其中是参数，等于1时转化为有界算子，趋于无穷时转化为 Zadeh 算子

算子，其中是参数

 Dobois-Prade 算子，其中是参数

 算子的性质 

参见集合代数和布尔代数。

主要算子的性质对比表如下（.表示不满足，-表示未验证）：

算子结合律交换律分配律互补律同一律幂等律支配律吸收律双重否定律德·摩根律Zedah√  √  √       .    √    √    √     √    √      √ 代数√  √   .       .     √   .    √     .     -     √    有界√   √   .      √     √   .    √     √     -     √ 

线性补偿是指：Etienne E. Kerre 等，模糊集理论与近似推理，武汉大学出版社，2004年，第103页。

算子的并运算幂等律排中律分配律结合律线性补偿Zadeh                  √.     √    √    .     代数.                   .     .     √    .     有界.                   √    .     .     √Hamacher r = 0                   ..     .     √    .Yager                   ..     .     √    .Hamacher                   ..     .     √    .Dobois-Prade                   ..     .     √    .

 模糊集之间的距离 
 使用度量理论 
可以使用一般的度量理论来描述模糊集之间的距离。在这个意义上，我们需要在模糊幂集上建立一个度量，此外，我们还可能需要将此度量标准化，也即映射到区间上。例如可以这样来标准化 Minkowski 距离：

 贴近度 

另一种是使用贴近度概念。在某种意义上，贴近度就是 1 - 距离（这里的距离是上述标准化意义上的距离）。而之所以应用这个变换，是考虑到“度”的概念的直觉反映——距离越近，贴近的程度显然越“高”，因此它恰为距离的反数。

除了距离外，还有一些与模糊集的特殊操作有关系的贴近度定义。

 最大最小贴近度


 算术平均最小贴近度


 几何平均最小贴近度


 指数贴近度

 參見 
 粗集合
 解模糊

 參考文獻 

Category:集合論系統
Category:模糊邏輯

de:Fuzzylogik#Unscharfe Mengen