超現實數

在數學上，超現實數系統（）是一種連續統，其中含有實數以及無窮量，即無窮大（小）量，其絕對值大（小）於任何正實數。超現實數與實數有許多共同性質，包括其全序關係「≤」以及通常的算術運算（加減乘除）；也因此，它們構成了有序域。在嚴格的集合論意義下，超現實數是可能出現的有序域中最大的；其他的有序域，如有理數域、實數域、有理函數域、、和超實數域等，全都是超現實數域的子域。超現實數域也包含可達到的、在集合論裡構造過的所有超限序數。


超現實數是由約翰·何頓·康威所定義和構造的。這個名稱早在1974年便已由高德納在他的書《研究之美》《研究之美》（Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness）現在本書的中文譯文已經在大陸出版，見中就被引進了。《研究之美》是一部中短篇數學小說，而值得一提的是，這種把新的數學概念在一部小說中提出來的情形是非常少有的。在這部由對話體寫成的著作裡，高德納造了「surreal number」一詞，用來指稱康威起初只叫做「number」（數）的這個新概念。康威樂於採用新的名稱，後來在他1976年的著作《論數字與博弈》（On Numbers and Games）中就描述了超現實數的概念並使用它來進行了一些博弈分析。

 概述 
康威使用递归构造了超现实数，其中每个数都是两个数集构成的序对，记为 。这两个集合要求  里的每个元素都严格小于每个  里的元素。不同的序对可能表达同样的数字：。

 整数及二进分数 

让我们先来看几个简单的例子。







因此整数都是超现实数。（以上几行是定义而非等式。）





至此我们可以通过超现实数定义二进分数（分母为2的幂次的分数）。

 其他实数 

为了定义更多的实数，我们可以将使用无限的左右集合：，，事实上可以同样地使用二进制展开的方法定义出所有实数。

 无穷数 

根据归纳法，我们可以构造出 ， 等无穷大的数， 等无穷小数。以上超现实数皆不属于实数。

 更多的数 

我们定义 。

若  且 ，那么 ，这在直观上等价于“是在第天中出生的”。

那么我们可以观察发现：





 ，其中


我们将超现实数集合称作 。

 序关系 

给定  ，我们（递归地）定义   当且仅当以下两命题同时成立：

没有一个  符合 ，
没有一个  符合 。

那么可以自然地定义 。可以证明，这样的二元关系是一个全序关系。

我们分别将  称为  负、  正、  非正、  非负。

我们定义  表示  与  同时不成立。事实上这样的二元关系在超现实数中不可能存在，但是这个关系会在之后的博弈章节出现。

 运算 

 加法 

我们定义超现实数之间的加法为 ，其中 。

 加法逆元 

我们定义负号（加法逆元）为 ，其中 。

可以验证这两个运算构成了（真类上的）阿贝尔群。

 乘法 

我们定义乘法运算为，其中 。

 乘法逆元 

我们定义（正数的）乘法逆元为，这样除法就是 。我们可以发现这个定义是递归的，但是实际上这个数字是良定义的：我们取 那么   会有一个  作为左项，导致了 会是一个右项。这又意味着  作为左项、 作为右项，以此类推，所以我们有 （考虑两边的序列在实数中分别收敛到 ，因此是相容的）。

对于负数，我们定义 。

 子集对应 

有理数、实数、序数分别是超现实数的子集。

 有理数 

所有二进分数都可以定义为超现实数，而所有分数都可以表示为两个整数之比，因此所有有理数都可以表示为超现实数。

 实数 

在定义出了有理数之后，使用戴德金分割可以立刻将实数映射到超现实数中。

假设，其中 ，那么立刻可知存在  是  的一个超现实数表示，其中  是有理数到超现实数的域同態。

 序数 

我们将所有序数定义为小于它的序数构成的集合。所有序数的全体记为，那么我们有：



这样的同态可以保持序关系的结构，但是并不能保证算术的一一对应，比如  这一式子的值在序数中的结果是 ，而在超现实数中则是 .

 博弈 

如果去除超现实数定义中对所有  的约定，那么这样（递归）定义出来的真类被称做游戏。对其仍然可以（一模一样的）定义加法、加法逆元以及比较。

显然，所有的超现实数都是游戏，但并非所有游戏都是超现实数，例如  就不是，其满足 。

可以发现，所有的游戏都体现了一个两人轮流、确定、公开的博弈游戏，其中左集合表示第一位玩家（下称左玩家）可以走到的局面，右集合则表示第二位玩家（下称右玩家）的选择，不能操作者负。

两个游戏的和的意义就是同时进行两个游戏，而每个玩家选择其中一个进行操作，不能操作者负。

我们可以发现，这个游戏的胜负取决于  和  的相对关系。

 若 ，则后手必胜。
 若 ，则左玩家必胜。
 若 ，则右玩家必胜。
 若 ，则先手必胜（）。

有以下这些特殊的游戏：





可以发现，关于他们有这么几个性质：



  （比所有超现实数更接近0）



可以用于分析复杂的游戏。

 暫譯術語 
 超現實數（Surreal）
 無窮量（Infinitesimal）
 格羅滕迪克宇集

 注释 

 来源 

Category:博弈论
C
Category:无穷
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Category:數學小作品