旋轉不變性

在數學裏，給予一個定義於內積空間的函數，假若對於任意旋轉，函數的參數值可能會改變，但是函數的數值仍舊保持不變，則稱此性質為旋轉不變性（rotational invariance），或旋轉對稱性（rotational symmetry），因為函數對於旋轉具有對稱性。例如，假設以xyz-參考系的原點為固定點，任意旋轉xyz-參考系，而函數  的數值保持不變，因此，函數  對於任意旋轉具有不變性，或對於任意旋轉具有對稱性。

在物理學裏，假若物理系統的性質跟它在空間的取向無關，則這系統具有旋轉不變性。根據諾特定理，假若物理系統的作用量具有旋轉不變性，則角動量守恆。

根據物理學家多年來仔細研究的結果，到目前為止，所有的物理基礎定律都具有旋轉不變性。

球對稱位勢範例
哈密頓算符的旋轉不變性
假設一個量子系統的位勢為球對稱位勢  ，其哈密頓算符  可以表示為
 ；

其中， 是約化普朗克常數， 是質量， 是徑向距離。

現在，以 z-軸為旋轉軸，旋轉此系統的 x-軸與 y-軸  角弧，則新直角坐標  與舊直角坐標的關係式為
 、
 、
 。

偏導數為
 、
 、
 。

那麼，導數項目具有旋轉不變性：
 。

由於徑向距離具有旋轉不變性：
 ，

旋轉之後，新的哈密頓算符  是
 。

所以，球對稱位勢量子系統的哈密頓算符具有旋轉不變性。

角動量守恆
假設一個量子系統的位勢為球對稱位勢  ，則哈密頓算符具有旋轉不變性。定義旋轉算符  為一個對於 z-軸的無窮小旋轉  。則正弦函數與餘弦函數可以分別近似為
 、
 。

新直角坐標與舊直角坐標之間的關係式為
 、
 、
 。

將  作用於波函數  ，
 ；

其中， 是角動量的 z-分量， 。

所以，旋轉算符  可以表達為
 。

假設  是哈密頓算符的能級本徵態，則
 。

由於  只是一個虛設變數，
 。

在做一個微小旋轉之後，
 、
 。 

所以， 。哈密頓算符的能級本徵態  形成一組完備集 ()，旋轉算符和哈密頓算符的對易關係是
 。

因此，
 。

根據埃倫費斯特定理， 的期望值對於時間的導數是
 。

所以，
 。

由於  顯性地不含時間，
 。

總結， 不含時間， 是個運動常數。角動量的 z-分量守恆。類似地，可以導出其它分量也擁有同樣的性質。所以，整個角動量守恆。

參閱
各向同性
軸對稱 
明顯對稱性破缺 
馬克士威定理 ()

參考文獻

Stenger, Victor J. (2000). Timeless Reality Symmetry, Simplicity, and Multiple Universes. Prometheus Books. 特別參考第十二章。非專科性書籍。

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