正定函數

在數學上，複值域函數的正定函數是和正定矩陣有關的特質。

令是實數集合，為複數集合。

函數稱為半正定，若針對所有實數x1, …, xn， n × n 矩陣

都是半正定矩陣。

依照定義，半正定矩陣（像是）會是埃尔米特矩阵，因此f(−x)是f(x))的共轭复数。

若上述矩陣改為正定矩陣、半負定矩陣及負定矩陣，則函數則為正定函數、半負定函數及負定函數。

舉例
若是實内积空间，則, 對於每一個是正定：針對所有，以及所有，可得

正定函數的非負線性組合也是正定函數，像是余弦函數是上述函數的非負線性組合，因此是正定的：

若有正定函數，以及向量空间，可以建立正定函數：選擇 ，並且定義.
則

其中，而在線性時，每一個都是不同的。

Bochner定理

正定函數也出現在傅里叶变换的理論中，可以看出一個函數f正定就是可以成為在函數g（且g(y) ≥ 0）在實數線上傅里叶变换的充份條件。

反過來的結果就是，提到在實數線上的连续正定函數是正测度的傅里叶变换。

應用
在统计学（特別是贝叶斯统计）裡，此定理常用在實函數中，一般來說，會在裡選幾個點，針對其純量值進行n個純量的量測，若要量測結果有高度相關性，這些點需要互相靠近。實際上，必須小心確保所得的共變異數矩陣（矩陣）恆為正定矩陣。有一個作法是定義一個相關矩陣，再乘以純量，得到协方差矩阵，所得的一定是正定矩陣。Bochner定理表示，若二個點的相關係數只會隨其距離而變化（也就是距離的函數f），則函數f一定會是正定函數，以確保共變異數矩陣A是正定的。

在此context下，一般不會用傅里叶变换，而是稱f(x)是對稱機率密度函數（PDF）的特征函数。

擴展

可以在局部緊阿貝爾拓樸群定義正定函數，Bochner定理可以擴展到此context。群上的正定函數會出自然的出現在希尔伯特空间上群的表示论裡（也就是的理論）。
参见
正定 (消歧義)#數學

腳註

參考
 Christian Berg, Christensen, Paul Ressel. Harmonic Analysis on Semigroups, GTM, Springer Verlag. 
 Z. Sasvári, Positive Definite and Definitizable Functions, Akademie Verlag, 1994
 Wells, J. H.; Williams, L. R. Embeddings and extensions in analysis. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 84. Springer-Verlag, New York-Heidelberg,  1975. vii+108 pp.
外部連結
Category:函数