开映射定理

在泛函分析中，开映射定理（open mapping theorem，亦称巴拿赫-绍德定理 (Banach–Schauder theorem) 或巴拿赫定理 (Banach theorem)）是一个基本的结果，它说明如果巴拿赫空间之间的连续线性算子是满射的，那么它就是一个开映射。更加精确地:

 如果X和Y是巴拿赫空间，A : X → Y是一个满射的连续线性算子，那么A就是一个开映射（也就是说，如果U是X内的开集，那么A(U)就是Y内的开集）。

该定理的证明用到了贝尔纲定理，X和Y的完备性都是十分重要的。如果仅仅假设X或Y是赋范空间，那么定理的结论就不一定成立。然而，如果X和Y是弗雷歇空间，那么定理的结论仍然成立。

结果
开映射定理有一些重要的结果：
 如果A : X → Y是巴拿赫空间X和Y之间的双射连续线性算子，那么逆算子A-1 : Y → X也是连续的。

 如果A : X → Y是巴拿赫空间X和Y之间的线性算子，且如果对于X内的每一个序列(xn)，只要xn → 0且Axn → y就有y  = 0，那么A就是连续的（闭图像定理）。

证明
我们需要证明，如果是巴拿赫空间之间的连续线性满射，那么A就是一个开映射。为此，只需证明A把X内的单位球映射到Y的原点的一个邻域。

设U，V分别为X和Y内的单位球。那么X是单位球的倍数的序列的并集，k ∈ N，且由于A是满射， 

根据贝尔纲定理，巴拿赫空间Y不能是可数个无处稠密集的并集，故存在，使得A(kU)的闭包具有非空的内部。因此，存在一个开球B(c, r)，其中心为c，，包含在A(kU)的闭包内。如果v ∈ V，那么和c位于B(c, r)内，因此是的极限点，根据加法的连续性，它们的差rv是 的极限点。根据A的线性，这意味着任何v ∈ V都位于的闭包内，其中δ = 。于是可以推出，对于任何y ∈ Y和，都存在某个x ∈ X，满足：

 且 

固定。根据(1)，存在某个，满足|||| < 1且|||| 。定义序列{xn}如下。假设：

 且 

根据(1)，我们可以选择，使得：

 且 

因此满足(2)。设

从(2)的第一个不等式可知，{sn}是一个柯西序列，且由于X是完备的，sn收敛于某个。根据(2)，序列趋于y，因此根据A的连续性，有。而且：



这表明每一个都属于，或等价地，X内的单位球的像A(U)包含了Y内的开球。因此，A(U)是Y内0的邻域，定理得证。

推广
X 或Y 的局部凸性不是十分重要的，但完备性则是：当X和Y是F空间时，定理仍然成立。更进一步，这个定理可以用以下的方法与贝尔纲定理结合：

 设X为F空间，Y为拓扑向量空间。如果A : X → Y是一个连续线性算子，那么要么A(X)是Y内的贫集，要么A(X) = Y。在后一个情况中，A是开映射，Y也是F空间。

更进一步，在这个情况中，如果N是A的核，那么A有一个标准分解，形如下式：

其中X / N是X对闭子空间N的商空间（也是F空间）。商映射X → X / N是开放的，且映射α是拓扑向量空间的同构。

参考文献



Category:泛函分析
K

de:Offenheitssatz
it:Teorema della funzione aperta
ru:Принцип сохранения области