柯西乘积

在数学上，以法国数学家奧古斯丁·路易·柯西命名的柯西乘积，是指两组数列的离散卷积。

该数列乘积被认为是自然数的半群环的元素。

级数
一个特别重要的例子是考虑两个严格的形式级数（不需要收敛）：

一般地，对于实数和复数，柯西乘积定义为如下的离散卷积形式：

这里 

“形式”是指我们对级数运算时不考虑是否收敛，参见形式幂级数。

人们希望，通过对两组级数做实际卷积的有限和的类推，得到无穷级数

等于如下乘积：

就如同两个数列的和是有限范围一样做乘法。

在充分良态的情况下，上述式子成立。而更重要的一点，尽管这两个无穷级数可能不收敛，它们的柯西乘积仍可能存在。

示例
有穷级数
对于、，有， 即为有穷级数，则和  柯西乘积可以展开为，因此可以直接计算乘积。
无穷级数
 对某些，构造和，由定义和二项式展开可知：

形式上， ，，我们已表明。由于该两个绝对收敛数列的柯西乘积等于两个数列极限的乘积，（见下面的证明），因此我们就可证明这个表达式对于 有 

 另外一个例子，令（），则 对所有成立，则柯西乘积  ，该乘积不收敛。

收敛和梅尔滕斯定理
令x, y为实数数列，弗兰兹·梅尔滕斯（Franz Mertens）提出，如果级数收敛到Y，且级数绝对收敛到X，则他们的柯西乘积 收敛到XY。

对于两个级数为条件收敛时，结论未必成立。如下反例所示：

例子
考虑下述两交错级数：

它们都是收敛的（其绝对值构成的级数因比较审敛法和调和级数的发散性而发散）。其柯西乘积的项由下式给出：

其中整数 。因为对于所有 } 我们都有不等式  及 ，故对分母中的根式有 。因此，由于共有  个被加项，故对于所有的整数 有

因此， 在  时并不趋于 0，级数  发散（项测试）。

梅尔滕斯定理的证明
令， ，， (重排后)。

则，对任意给定的 ε > 0，因为绝对收敛，收敛，因此存在一个整数N，对于任意n ≥ N  ，和存在一个正整数M，对于所有  ，有（由级数絕對收敛，则式子收敛到0），同样的，存在一个整数L ，如果有 ，则 。

因此，对于所有n大于N, M, L，有：

根据收敛的定义，即：

切萨罗定理
如果x，y是实数数列，且，，则有：


推广
所有上述证明也可推广到复数级数。柯西乘积可以定义在乘法为内积的欧式空间上。这种情况下，如果两组数列绝对收敛，则柯西乘积绝对收敛到数列极限的内积
。
与卷积函数的关系
我们可以定义柯西乘积为双向无限数列，视为上的函数。这种情况并非总能定义柯西乘积。例如：常数级数1和其本身的柯西乘积，。

有的有一些配对，比如任何级数与一个有限级数的乘积，的乘积，这与Lp空间有关。

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