狄利克雷η函数

在数学的解析数论领域，狄利克雷η函数定义为：

其中 ζ 是黎曼ζ函數。但η函数也用常来定义黎曼ζ函數。
对实部为正数的复数s，也可定义为狄利克雷级数表达式形式:

表达式仅当实部为正数时收敛。对任意复数，该表达式是一个阿贝尔和，可定义为一个整函数，并由此可知ζ函數是一个极点在s = 1的单极点亚纯函数。

等价定义为：

定义在复平面上实部为正的区域，该定义形式是一个Mellin变换。

G·H·哈代给出一个函数方程的简单证明：

因此能将其扩展到整个复数域。

数值算法
大多数交错级数的串行加速技术都可应用在η函数的求值上。一个特别简单，合理的方法是应用交错序列的欧拉变换，得到：

注意第二个求和里面是前向差分。

 Borwein方法 
彼得·波温（Peter Borwein）使用包含切比雪夫多项式的近似值用来得到η函数的高效求值方法。

如果：

则：

当时，误差项 γn范围： 

误差分布中的系数显示Borwein级数随着n的增加而很快集中于一点。

特殊值

η(0) = 1⁄2, 格兰迪级数（ 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·）的阿贝尔和。
η(−1) = 1⁄4, 1-2+3-4+…的阿贝尔和。
对于大于1的整数k ，如果Bk是第k个伯努利数，那么

同样的:

, 这是交错调和级数

自变量为正偶数的函数生成式为：

 参考资料 
 Borwein, P., An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function , Constructive experimental and nonlinear analysis, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29-34. 
 Xavier Gourdon and Pascal Sebah, Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function , Numbers, constants and computation (2003)
 Borwein, P.,  

D