埃尔米特伴随

數學中，特別是算子理論中，每個內積空間中的線性算子  都個有一個對應的伴隨算子（），記作 ，伴隨算子可由以下關係定義



其中  是向量空間中的內積。

算子  的伴隨  亦可稱作埃尔米特伴随（），以夏尔·埃尔米特命名。在物理學，尤其是量子力學中，算子  的埃尔米特伴随常被記作 （狄拉克符号记法）。

有限維向量空間中算子可以以矩陣的形式表示，而伴隨算子的矩陣等於原矩陣的共軛轉置。

泛函分析中，上述對伴隨算子的定義可以直接套用於希尔伯特空间中的线性算子。

 有界算子 

假設是一個希爾伯特空間，帶有內積
。考慮連續線性算子（這與有界算子相同）。

利用里斯表示定理，我們可以證明存在唯一的連續線性算子

具有如下性質：

 ，对所有。

這個算子是的伴隨。

這可以視為一個方塊矩陣的轉置共軛或伴隨矩陣推廣，在標準（復）內積下具有相似的性質。

 性质 

马上可得的性质

 如可逆，则也可逆，且

 ，这里表示复数的复共轭


如果我们定义的算子范数为

则

而且有
。

希尔伯特空间上有界线性算子与伴随算子以及算子范数给出一个C*代数例子。

的像与它的伴随的核的关系为

。

第一个等式的证明：

第二个等式由第一个推出，于两边取正交空间即可。注意到一般地，像未必是闭的，但连续算子的核总是闭的。

 埃尔米特算子 
有界算子称为埃尔米特或自伴如果

这等价于
。

在某种意义下，这种算子起着实数（等于他们的复共轭）的作用。他们在量子力学中作为实值可观测量的模型。更多细节参见自伴算子一文。

 无界算子的伴随 

许多重要的算子不是连续的或只定义在希尔伯特的一个子空间上。在这种情形，我们仍然能定义伴随，在自伴算子一文有解释。

 其他伴随 

范畴论中，方程

形式上类似地定义了伴随函子偶性质，这也是伴随函子得名之由来。

 又见

 数学概念
 线性代数
 内积
 希尔伯特空间
 埃尔米特算子
 范数
 算子范数
 线性映射的转置
 物理应用
 对偶空间
 狄拉克符号
 量子力学
 可观测量

参考文献 
 Walter Rudin. Functional Analysis(2nd ed.), China Machine Press, 2006 

Category:算子理论

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