墨西哥帽小波

在數學和數值分析裡， Ricker 小波

是对高斯函數的二阶导数进行取反并归一化的结果，也就是能夠縮放正規化的第二埃爾米特函數。在連續小波的家族當中，埃爾米特小波是個非常特別的存在（應用在連續小波轉換稱作埃爾米特轉換）。Ricker子波經常被採用來模擬地震數據，並作為在計算電動力學的廣譜源項。它通常只在美國才會被稱作墨西哥帽小波，因為在作为核函数處理2维圖像時，形成了墨西哥寬邊帽的形狀。  由于神經科學家David Marr 的缘故，该函数也被广泛称为 Marr wavelet 。


而多維一般化的墨西哥帽小波稱為高斯函數的拉普拉斯。實際上，這種小波有時會用高斯函数的差來逼近，因為它可以被分離，也因此在二維或者更多維的情況下，能够節省大量的計算時間。規模標準化拉普拉斯 ( -norm) 經常被用來作為一個blob檢測和計算機視覺應用中的自動規模選擇。墨西哥帽小波也可以用Cardinal B-Slines 的微分來逼近。Brinks R: On the convergence of derivatives of B-splines to derivatives of the Gaussian function, Comp. Appl. Math., 27, 1, 2008

 墨西哥帽函數的消失動量 

 消失動量(vanish moment)的定義： 
小波轉換中，母小波盡量選越高頻(意即vanish moment大的)越好．此處先介紹消失動量(vanish moment)的定義

k階動量(k-th moment)：

若，則我們稱母小波的消失動量(vanish moment)為p

消失動量(vanish moment)越高，經內積後被濾掉的低頻成分越多．

 墨西哥帽函數的消失動量(vanish moment)： 
墨西哥帽函數的數學表示式:

仔細觀察， 其實是高斯函數的二次微分:

 常數。

而高斯函數做傅立葉轉換仍是高斯函數

利用

可以算出

所以墨西哥帽函數的消失動量為2。

 高斯函數p次微分的消失動量(vanish moment)： 
高斯函數的p次微分的數學表示式:

其傅立葉轉換為。

利用

可以算出。

所以高斯函數p次微分的消失動量為p。

同時也可以印證，墨西哥帽函數是高斯函數的二次微分，消失動量為2

參考文獻

Category:連續時間小波轉換