伴随表示

在數學中，一個李群 G 的伴隨表示（）或伴隨作用（）是 G 在它自身的李代數上的自然表示。這個表示是群 G 在自身上的共軛作用的線性化形式。

正式定义

設 G 是一個李群， 是它的李代數（我們將其等價於 G 中恒同元素的切空間 TeG）。利用方程  對 g 屬於 G，定義一個映射

這里  是 G 的自同構群而自同構  定義為

 對所有 h 屬於 G。

從而 Ψg 在恒同處的微分是李代數  的一個自同構。我們記這個映射為 Adg：

所謂 Adg 是一個李代數自同構是說 Adg 是  的一個保持李括號的線性變換。映射

將 g 映為 Adg 稱為 G 的伴隨表示（）。這确实是 G 的一個表示因為  是  的一個李子群且如上伴隨映射是李群同態。伴隨表示的維數與群 G 的維數相同。

李代数的伴随表示
我們可以由李群 G 的一個表示通過在恒同處取導數變為它的李代數的表示。取伴隨映射的導數

給出李代數  的伴隨表示：

這里  是  的李代數，可以與  上的導子代數等同。李代數的伴隨表示與這個代數的結構有基本的聯繫。特別地，我們可以證明

對所有  成立。詳情請見李代数的伴随表示。

例子 

如果 G 是一個 n 維阿貝爾群，G 的伴隨表示是n 維平凡表示。
如果 G 是一個矩陣李群（即 GL(n,C) 的一個閉子群），則它的李代數是一個以交換子作李括號的 n×n 矩陣代數（即  的子代數）。此時，伴隨映射由 Adg(x) = gxg−1 給出。
如果 G 是 SL2(R)（行列式為 1 的 2×2 實矩陣），G 的李代數由跡 0 實 2×2 矩陣組成。這個表示等價於 G 在兩個變量二次型空間上通過線性替換給出的作用。

 性质 
下表總結了定義中提到的不同映射的性質
   李群同態:
  李群自同態:

    李群同態:
  李代數自同態:
 <li> 線性
 <li>
 <li>   李代數同態:
  线性
  李代數導子:
 <li> 線性
 <li>

G 在伴隨映射下的像記為 AdG。如果 G 連通，則伴隨表示的核與 Ψ 的核相同，就是 G 的中心。從而，如果 G 中心平凡，則連通李群 G 的伴隨表示是忠實的。進一步，如果 G 不連通，伴隨映射的核是 G 的單位分支 G0 的中心化子。由第一同構定理我們有

 半单李群的根 

如果 G 半單，伴随表示的非零权组成一个根系。为了说明这是怎么回事，考虑特例 G=SLn(R)。

我们可取对角矩阵 diag(t1,...,tn) 的群是 G 的极大环面 T。用 T 中元素的共轭作用为

从而 T 在 G 的李代数的对角部分上的作用平凡，在非对角元素上有本征向量 titj-1。G 的根是权 
diag(t1,...,tn)→titj-1。这是 G=SLn(R) 的根系作为ei−ej 形式的向量集合的标准描述之说明。

 变体与类比 
伴随表示也能对任何域上的代数群定义。

餘伴随表示（）是伴随表示的逆步表示。亚历山大·卡里洛夫（）观察到任何向量在餘伴随表示中的轨道是一个辛流形。按照表示论中称之为轨道方法的哲学（另见卡里洛夫特征标公式（）），一个李群 G 的不可约表示应该以某种方式用其余伴随表示标记。这种关系在幂零李群时最密切。

参考

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