环绕数

在数学中，环绕数（）是描述三维空间中两条闭曲线环绕的一个数值不变量。直观上，环绕数表示每一条曲线缠绕另一条曲线的次数。环绕数总是整数，但有可能取正数或负数，取决于这两条曲线的定向。

环绕数由高斯以环绕积分的形式引入。它在纽结理论、代数拓扑和微分几何的研究中是重要的对象，并在数学和科学中有许多应用，包括量子力学、电磁学以及 DNA超螺旋的研究。

定义
空间中任何两条闭曲线都恰好可以移动成如下标准位置之一。这决定了环绕数：
140px140px140px环绕数 -2环绕数 -1环绕数 0140px140px140px环绕数 1环绕数 2环绕数 3
每条曲线在移动过程中可以穿过自身，但这两条曲线保持互相分离。

计算环绕数
存在一个算法计算出一个链环图表的环绕数。按如下法则将每个交叉标记为“正”或“负”
这与计算一个纽结的绞拧数时使用的标记是一致的，不过此情形我们只需标记涉及两条曲线的交叉。：
350px
正交叉数总数减去负交叉数总数等于环绕数的两倍，即
环绕数
这里 n1, n2, n3, n4 分别表示四类交叉数的个数。两个和  与  总相等如果其中一条曲线是简单的，这由若尔当曲线定理得到。例如，如果蓝曲线是简单的，则 n1 + n3 与 n2 + n4 
表示红曲线向内与向外穿过蓝曲线所围区域的次数。。这样得到了如下另外的公式
环绕数
注意到  只涉及到蓝曲线被红曲线下交叉，而  只涉及到上交叉。

性质与例子
 任何两条没有链接起来的曲线相交数为零。但环绕数为零的两条曲线仍可能是链接起来的（例如右图的）。
 逆转任何一条曲线的定向，环绕数改变符号；但两条曲线同时逆转定向，环绕数不变。
 环绕数具有手征性：取一个链环的镜像，环绕数改变符号。我们对正环绕数的约定基于右手法则。 
 x-y 平面上一条定向曲线的卷绕数等于它与 z-轴（将 z-轴想象为三维球面中一条闭曲线）的环绕数。
 更一般地，如果其中一条曲线是简单的，则这个分支的第一同调群同构于整数 Z。在此情形，环绕数由另一条曲线的同调类决定。
 在物理学中，环绕数是拓扑量子数之一例，它与量子纠缠有关。

高斯的积分定义
给定两条不交可微曲线 ，定义从环面到单位球面高斯映射  为

取单位球面上一点 v，从而链环的正交投影到垂直于 v 的平面给出一个链环图表。观察到点 (s, t) 在高斯映射下映为 v 对应于链环图表中一个交叉，这里  在  上。并且 (s, t) 的一个邻域在高斯映射下映为 v 的一个邻域，保持或逆转定向取决于交叉的符号。从而为了计算这个对应于 v 的链环图表的环绕数，只需数高斯映射覆盖 v 的带符号次数。由于 v 是一个正则值，这恰是高斯映射的度数（即 Γ 的像盖住球面的带符号次数）。环绕数的同痕不变性自动由度数在同伦下不变得到。任何其它正则值将得到相同的数，所以环绕数与任何特定的链环图表无关。

曲线 γ1 与 γ2 的环绕数的这种表述给出了用二重线积分表示的一个明确公式，即高斯环绕积分：

环绕数

这个积分求出了高斯映射像的全部带符号面积（被积函数是 Γ 的雅可比矩阵），然后除以球面的面积（等于 4π）。

推广
 就像三维中环绕的闭曲线，任何两个维数为 m 与 n 的闭流形，可能在  维欧几里得空间中环绕起来。任何这样链环有一个相伴的高斯映射，其度数是环绕数的推广。
 任何有一个自环绕数，得自计算纽结 C 与将曲线 C 中的点沿着标架向量稍微移动得到一条新曲线的环绕数。由铅直移动（沿着黑板标架）得到的自环绕数称为考夫曼自环绕数（）。

 量子场论 
U(1) 陳-西蒙斯理論是：

若，路徑積分是

，

包括C1和C2的威爾森迴圈。J=J1+J2，而且

因為這是高斯的積分，所以我們不需要重整化或正規化。再說這個積分是拓撲不變。

若J是经典方程就是

或

若我们选洛伦茨规范

从电磁学，解是

则

这是最简单的一个拓撲量子場論。根据爱德华·威滕的证明，非阿贝尔G的陈-西蒙斯论给其他拓扑不变，例如琼斯多项式。

另见
陳-西蒙斯理論
卷绕数
 绞拧数
扭转数
 曲线的微分几何

 霍普夫不变量


注释

参考文献



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Category:纽结不变量
Category:陈-西蒙斯理论