通量

上圖：通過平面的三條磁力線，一條垂直於表面，一條平行，一條中間 。下圖：通過的磁力線，顯示單位法線和表面元素的設置以計算通量。
通量（），或稱流束，是通過一個表面或一個物質的量，是一个物理学和应用数学的概念。在热学和流体力学领域中，研究输运现象时，是指在单位时间内通过单位面积的具有方向的流量，它是一个向量；在电磁学领域中，是指在单位面积上垂直于其表面的磁场或电场的强度，它是一个标量。

给定一个三维空间中的向量场以及一个简单有向曲面，则向量场通过曲面的通量就是曲面每一点上的场向量在曲面法向方向上的分量的积分:

其中是积分的面积元，n是Σ在点(x,y,z)处的单位法向量。如果曲面是封闭的，例如球面，那么通常约定法向量是从裡朝外的，所以这时候的通量是描述曲面上的场向量朝外的程度。

 術語 
通量這個詞源於拉丁語：fluxus 意為“流”，fluere 是“流動”的意思。而 fluxion 一詞是由牛頓引入微積分。

熱通量的概念是約瑟夫·傅立葉對熱傳遞現象分析的重要貢獻之一。他的重要著作《熱的分析理論》（）中，將 fluxion 定義為一個核心量，並推導出了現在的通量表達式。這些表達式與平板的溫度差異有關，且更廣義地在其他幾何形狀的溫度梯度或溫度差異有關。根據詹姆斯·克拉克·馬克士威的研究，可以顯示其傳輸的定義早於磁通量定義。馬克士威的具體引言是：

根據傳輸的定義，通量可為單一向量，也可以是位置的向量場／函數。後者的通量可以很容易地在一個表面上積分。相比之下，根據電磁學定義，通量是對表面的積分；對於第二種定義的通量進行積分是沒有意義的，因為這樣會對表面進行兩次積分。因此，馬克士威的引言只有在“通量”按照傳輸定義使用時才有意義（進一步來說，是向量場而不是單一向量）。這很諷刺，因為馬克士威是我們現在所稱的“電通量”和“磁通量”的主要發展者之一，而這些名稱是根據電磁學定義來的。根據該引言（和傳輸定義），它們應該被稱為“電通量的曲面積分”和“磁通量的曲面積分”。在這種情況下，“電通量”應定義為“電場”，“磁通量”應定義為“磁場”。這意味著馬克士威將這些場視為某種形式的流動／通量。

根據電磁學定義的通量，其相應的通量密度（假設使用這個術語）指的是沿積分表面的導數。根據微積分基本定理，相應的通量密度是根據傳輸定義的通量。給定一個流，例如電流——每單位時間的通電量，電流密度根據傳輸定義也是一個通量——每單位時間每單位面積的通電量。由於通量的定義衝突，以及在非技術性英語中通量、流動和電流的互換性，本文中的所有術語有時會被互相使用且可能含義模糊。本文其餘部分中具體的通量將根據其在文獻中的廣泛接受度來使用，無論該術語對應哪種通量的定義。

 以單位面積流量表示的通量 
在輸送現象（熱傳、質傳和流體動力學），通量被定義為「每單位面積的流量的流動率」，其因次組成為 量 (物理)·[時間]−1·[面積]−1。這個面積是流“通過”或“穿過”的表面。例如，每秒鐘流經河流橫截面的水量除以橫截面的面積，或是每秒鐘落在地面一塊區域上的陽光能量除以該區域的面積，都是通量的例子。

 一般數學定義（傳輸） 
以下是按複雜度遞增的三個定義。每個定義都是下面這個的一個特例。在所有情況下，常用符號 （或 ）表示通量， 表示流動的物理量， 表示時間， 表示面積。當且唯當這些標識符是向量時，它們將以粗體顯示。

首先，通量作為一個（單一的）純量時：

其中

在這種情況下，測量固定的通量的表面，且具有面積。假設該表面是平坦的，而流量在各處相對於位置是恆定的，並且垂直於表面。

其次，通量作為沿著表面定義的純量場，即作為表面上各點的函數：

如上所述，假設表面是平坦的，且流量在各處都垂直於表面。然而，流不需要是恆定的。此時， 是 p（表面上的一個點）的函數，面積 亦是。與其測量通過整個表面的總流量，不如  測量的是以  p 為中心、沿表面上面積 A 的圓盤通過的流量。

最後，通量作為一個向量場時：

在這種情況下，我們沒有固定的表面來測量。 是一個點、面積和方向（由單位向量  給定）的函數，並測量與該單位向量垂直的面積 A 的圓盤中的流量。 的定義是選擇使該點周圍流量最大的單位向量，因為真正的流量在垂直於該單位向量的圓盤上達到最大值。因此，當單位向量指向流動的“真正方向”時，它唯一地最大化該函數。（嚴格來說，這是一種濫用符號，因為“arg max”無法直接比較向量；我們改為選擇具有最大範數的向量。）

 性質 
這些直接的定義，尤其是最後一個，顯得相對不完善。例如，從來看，arg max 的構造是人工的，而使用風向標或類似工具可以簡單推斷出某一點的通量方向。與其直接定義向量通量，通常更直觀的是陳述一些關於它的性質。此外，通量可以根據這些性質唯一確定。

若通量 j 以角度  通過（為該通量與該面積法向量  形成之夾角），則其點積為：

也就是說，通過表面的通量分量（即垂直於表面的分量）是 
，而沿切向通過表面的通量分量是 ，但實際上沒有通量沿切向通過表面。唯一通過且垂直表面的通量分量是其餘弦分量。

對於向量通量，通量 j在表面 上的曲面積分給出了每單位時間通過該表面的適當流量：

其中 A（及其無窮小量）是——  的組合，結合了面積 A 的大小和垂直於該面的單位向量 
。與第二組方程式不同的是，這裡不需要平坦的表面。

最後，以時間區間  到   做積分，計算在該時間段  內流過表面的總量：

 傳輸通量 
八種在輸送現象文獻中最常見的通量定義如下：

 （英語：momentum flux）：單位面積上動量的傳輸速率 (N·s·m−2·s−1)。（牛頓黏度定律）
 熱通量（英語：heat flux）：單位面積上熱流動的速率 (J·m−2·s−1)。（傅立葉熱傳導定律）（也符合馬克士威對熱通量的原始定義。）
 擴散通量（英語：diffusion flux）：單位面積上分子運動的速率 (mol·m−2·s−1)。（菲克定律）
 （英語：volumetric flux）：單位面積上體積流動的速率 (m3·m−2·s−1)。（達西定律）
 質量通量（英語：mass flux）：單位面積上質量流動的速率 (kg·m−2·s−1)。（質量通量可以是費克定律的另一種形式，其中包含分子質量；或者達西定律的另一種形式，其中包含密度。）
 輻射通量（英語：radiative flux）：單位面積、每秒從光源在特定距離處以光子形式傳輸的能量量 (J·m−2·s−1)。這在天文學中用於確定恆星的星等和光譜類型。它也是熱通量的一種推廣，當限制在電磁頻譜範圍內時，輻射通量就等於熱通量。
 能量通量（英語：energy flux）：單位面積上能量傳輸的速率 (J·m−2·s−1)。輻射通量和熱通量是能量通量的特例。
 粒子通量（英語：particle flux）：單位面積上粒子傳輸的速率 ([粒子數量] m−2·s−1)。

這些通量在空間中的每一個點都是向量，具有明確的大小和方向。此外，可對任何這些通量取散度，以確定在空間中給定點周圍的控制體積內該量的累積速率。對於不可壓縮流，體積通量的散度為零。

 化學擴散 
如上所述，化學的莫耳通量在等溫、等壓系統中，成分 A 在菲克擴散定律中定義為：

其中 nabla 符號  表示梯度算子， 是成分 A 透過成分 B 擴散時的擴散係數 (m2·s−1)， 是成分 A 的濃度 (mol/m3)。

這個通量的單位是 mol·m⁻²·s⁻¹，符合馬克士威對通量的原始定義。

對於稀薄氣體，分子動力學理論將擴散係數 D 與粒子密度 n=N/V、分子質量 m、碰撞截面 σ 以及絕對溫度 T 聯繫起來，關係式如下：

其中，第二個因子是平均自由徑，而平方根（包含波茲曼常數 k）項 則是粒子的平均速率。

在紊流中，渦旋運動所造成的傳輸可以表示為一個大幅增加的擴散係數。

 量子力學 

在量子力學中，質量為 m 的粒子在量子態 ψ(r, t) 下，其機率幅定義為：

因此，在微分 d3r  中找到粒子的機率是：

那麼，單位時間內垂直穿過截面單位面積的粒子數就是機率通量（英語：probability flux）。

有時也被稱為機率流、機率流密度，或者機率通量密度。

 通量作為曲面積分 
廣義上的數學定義（曲面積分）
在數學概念中，通量是以向量場的曲面積分來表示：

其中  是一個向量場， 是表面  的，其方向與表面法線一致。在第二種表達方式中， 是指向表面的向外單位法向量。

該表面必須是可定向的，即可以區分出兩個側面：表面不會折疊回自身。此外，表面必須具備實際的定向，即我們需要約定哪一個流動方向被計為正值，則反向流動則計為負值。 

表面法向量通常由右手定則決定。

相反地，人們可以將通量視為更基本的物理量，並將向量場稱為通量密度。 向量場通常由遵循「流向」的曲線（場線）繪製而成；此時向量場的大小即為線密度，而穿過表面的通量則是線的數量。場線起源於正散度區域（源，sources），並終止於負散度區域（匯，sinks）。

參見右圖，穿過單位面積的紅色箭頭數量即為通量密度，圍繞紅色箭頭的曲線表示表面的邊界，而箭頭相對於表面的方向則表示向量場與表面法向量內積的正負號。

如果該表面包圍一個三維區域，通常表面的定向方式會使流入（influx）計為正，反之則為流出（outflux）。

散度定理（Divergence theorem）指出，穿過封閉表面的淨流出量（換言之，即來自一個三維區域的淨流出量），可以藉由加總該區域內各點的局部淨流出量（由散度表示）來求得。

如果表面不是封閉的，則它擁有一條定向曲線作為邊界。斯托克斯定理（Stokes' theorem）指出，向量場之旋度的通量，等於該向量場沿此邊界的曲線積分。這種路徑積分也被稱為環量，尤其在流體力學中更是如此。因此，旋度即為環量密度。

我們可以將通量及這些定理應用於許多涉及電流、力等施加於面積上的學科領域。

 電磁學中的通量 

 電通量 

一個「電荷」，例如空間中的單個質子，其電量大小是以庫侖來定義的。這樣的電荷周圍存在著電場。在圖像化的表示中，來自正點電荷的電場可以被想像成一個向外輻射電場線（有時也稱為「力線」）的點。從概念上講，電通量可以被視為通過給定面積的「場線數量」。

在數學上，電通量是電場在給定面積上的法向分量積分。因此，在 MKS 制中，電通量的單位是牛頓每庫侖乘以平方公尺，即 。（電通量密度是指單位面積的電通量，它是電場法向分量在積分面積上的平均強度度量。其單位為 ，與 MKS 制中的電場單位相同。）

使用中的電通量共有兩種形式，一種用於  場（E-field，電場）：



另一種則用於  場（D-field，稱為電位移）：



這項物理量出現在高斯定律（Gauss's law）中——該定律指出，電場  穿過封閉曲面的通量與該曲面所包圍的電荷  成正比（且與電荷的分布方式無關），其積分形式為：

其中  是真空電容率。

若考慮電場向量  在點電荷電場中某個管狀場（tube）的通量（該管位於電場中但不包含電荷，且側面由與場線相切的線組成），則側面的通量為零，且在場管兩端的通量大小相等、符號相反。這是高斯定律應用於平方反比場（inverse square field）的結果。穿過該場管任何截面的通量都將相同。對於任何包圍電荷  的曲面，其總通量皆為 。

在真空中，電位移由本構方程式  給出，因此對於任何邊界曲面， 場的通量等於其內部的電荷 。這裡的「...的通量（flux of...）」一詞表示一種數學運算，且如前所述，其結果並不一定代表某種「流動」，因為實際上並沒有任何物質沿著電場線流動。

 磁通量 

磁通量密度（磁場）的單位為 （特斯拉，Tesla），以  表示，其磁通量的定義與前面相似：

其符號表示與前述相同。這項物理量出現在法拉第感應定律（Faraday's law of induction）中，在該定律中，磁通量會隨時間變化，原因可能是邊界隨時間改變，或者是磁場隨時間改變。其積分形式為：

其中  是封閉曲線  的無窮小向量，其大小等於該線元的長度，方向則由曲線  的切線方向給出，正負號則由積分方向決定。

穿過線圈的磁通量隨時間的變化率，等於該導線中產生的電動勢的負值。其方向規律為：若允許電流通過導線，該電動勢產生的電流將會「反抗」磁場的變化——藉由自身產生一個與變化方向相反的磁場來達成。這是電感器和許多發電機運作的基礎。

 坡印廷通量 

使用此定義，坡印亭向量  在指定表面上的通量，即為電磁能量流經該表面的變化率，其定義與先前相同：

穿過表面的坡印廷向量通量即為電磁功率，或是單位時間內通過該表面的能量。這常用於電磁輻射的分析，但也適用於其他的電磁系統。

令人混淆的是，坡印廷向量有時被稱為功率通量（power flux），為上述通量第一種用法（通量即密度）的一個例子。 p.357它的單位是瓦特每平方公尺（）。

 SI 輻射度量學單位 

参见

 電通量
 光通量
 磁通量


 磁通量量子
 高斯定律
 反平方定律
 揚斯基 （非國際標準制的光譜光通量密度單位）
 潛熱通量
 中子通量
 坡印廷通量
 坡印廷定理
 輻射功率
 快速單通量量子
 流體動力學
 流量
  （流體的第一類通量）
 體積流率 （流體的第一類通量）

 AB星等
 爆炸磁通量壓縮發生器
  通量

  （粒子束的第一類通量）

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參考資料

拓展閱讀

外部連結