Pin群

数学中，Pin 群是一个二次型空间相伴的克利福德代数的一个子群。它有一个到正交群的 2 对 1 映射，就像 Spin 群映到特殊正交群一样。

从 Pin 群到正交群的映射不是满的也不是万有覆叠空间，但对定二次型，两者都正确。

 一般定义 

 确定形式 
right

确定形式的 Pin 群是到正交群的满射，每个分支都是单连通的：它是正交群的二重覆叠。正定二次型   和它的负形式  不是同构的，但是正交群是同构的
。

就标准形式而言，，但是 。使用 Clifford 代数（这里 ）中通用的“±”号记法，我们可以写成

它们都是到  的满射。

与之对比，我们有同构  且他们都是特殊正交群 SO(n) 惟一的万有覆叠。

 不定形式 

 作为拓扑空间 
任何连通拓扑群在拓扑意义上有惟一的万有覆叠空间，这个空间有惟一的群结构作为基本群的中心扩张。对一个不连通拓扑空间，含单位元的分支有一个惟一的万有覆叠，然后在其他分支作为拓扑空间可取同一个覆叠（这是单位分支的主齐性空间），但是其它分支的群结构一般不是惟一的。

Pin 和 Spin 群是和正交群和特殊正交群关联的独特的拓扑空间，由 Clifford 代数中得出：存在其他类似的群，对于于其他分支的其他二重覆叠或者其他群结构，但是他们不叫做 Pin 或 Spin 群，研究得也少。

 结构 
两个 Pin 群对应于中心扩张

（行列式为 1 的分支）上的群结构已经定义好了；其余分支的群结构由中心确定，从而有一个  分歧。

两个扩张由一个反射的原像的平方是  区分，这两个 Pin 群即是这样命名的。明确地说，一个反射在  中的指数为 2，，所以反射的原像的平方（具有行列式 1）一定在  的核中，所以  ，两种选择都确定了一个 Pin 群（因为所有反射共轭于联通群  的中一个元素，所有反射的平方一定具有相同值）。

具体地，在  中， 的指数为 2，子群  的原像是 ：如果我们重复同一个反射，得到恒同。

在  中， 的指数为 4：
如果重复同一个反射两次，我们得到了一个“旋转 2π”—— 中的非平凡元可以理解为“旋转 2π”（每一个轴得出相同的元素）。

 低维数 
在 2 维， 与  的区别反映了一个正 2n 边形的二面体群和循环群  的区别。

在  中，一个正 2n 边形的二面体群的原像，视为子群 ，是  2n 边形的二面体群 ；然而在  中二面体群的原像是循环群 

在 1维，Pin 群共轭于第一个二面体群和循环群：

 中心 

 不定 Pin 群 
Spin(p,q) 有八种不同的二重覆叠，对 ，这对应于用  中心扩张（中心不是  就是 ）。只有其中两个称为 Pin 群，他们可以将 Clifford 代数作为一个表示。他们分别称为 Pin(p,q) 和 Pin(q,p)。

 命名 
这个群的名称在 迈克尔·阿蒂亚、拉乌尔·博特、A. Shapiro：
Clifford modules（Topology 3, suppl. 1 (1964), pp. 3-38, on page 3, line 17）一文中引入，他们说“这个笑话归于 J-P. Serre”。这是“Spin”的逆构词法：Pin 之于  Spin 就像 O(n) 之于 SO(n)，从而从“Spin”中去掉“S”得到“Pin”。进一步，词“Pin”的法语发音和一个粗痞话相同，这暗示了这个名称的起源于（或被归于）塞尔。

 注释 

 参考文献 

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