简单函数

简单函数（）又稱單純函數，是实分析中只取有限個實值的可测函数。

定义

集合  上有Σ-代数  ，若對函数  ，存在  和 ，使得：

其中  代表集合  的指示函數，即：

則  稱為簡單函數，也就是說，简单函数是可测集合（即  的元素）的指示函数的有限线性组合。

 範例 

 半开区间[1,9)上的取整函数，它唯一的值是{1,2,3,4,5,6,7,8}。
 实直线上的狄利克雷函数，如果x是有理数，则函数的值为1，否则为0。

性质
根据定义，两个简单函数的和、差与积，以及一个简单函数与常数的积也是简单函数，因此可推出所有简单函数在复数域上形成了一个交换代数。

简单函数的积分

测度  定义在  的Σ-代数  上，若簡單函數  可表達為

則  於某個  上，對測度  的勒贝格积分定義為：

参考文献

J. F. C. Kingman, S. J. Taylor. Introduction to Measure and Probability, 1966, Cambridge.
S. Lang. Real and Functional Analysis, 1993, Springer-Verlag.
W. Rudin. Real and Complex Analysis, 1987, McGraw-Hill.
H. L. Royden. Real Analysis, 1968, Collier Macmillan.

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