前推 (微分)

假设  是光滑流形之间的光滑映射；则  在一点  处的微分在某种意义上是  在  附近的最佳线性逼近。这可以视为通常微积分中全导数的推广。确切地说，它是从  在  处的切空间到  在  处的切空间的一个线性映射，从而可以将  的切向量“前推”成  的切向量。  

映射  的微分也被一些的作者称为  的导数或全导数，有时它自己也之称为前推（）。

 动机 
设 是从  的一个开集  到  的开集  的一个光滑映射。对任何  中的给定点 ，  在  的雅可比矩阵（关于标准坐标）是  在  的全微分的矩阵表示，这是一个从  到  的线性映射：

我们希望将其推广到  是“任何”两个光滑流形  与  之间的光滑映射。

 光滑映射的微分 
令  是光滑流形间的光滑映射。给定某点 ， 在  的微分或（全）导数是从  在  的切空间到  在  的切空间一个线性映射

映射  运用到切向量  上有时称为  由  的前推。前推的确切定义取决于我们怎样定义切向量（不同的定义可参见切空间）。

如果我们定义切向量为通过  的曲线等价类，那么微分由

给出，这里  是  上满足  的一条曲线。换句话说，一条曲线  在 0 处切向量的前推恰好是  在 0 处的切向量。

另一种方式，如果切向量定义为作用在光滑实值函数上的导子，那么微分由

给出，这里 ，从而  是定义在  上的一个导子而  是  上一个光滑实值函数。根据定义，在给定  上  处  的前推在 中，从而定义了一个  上的导子。

取定  与  附近的坐标卡以后， 局部由  与  之间的光滑映射

确定。而  具有表示（在  附近）：

这里使用了爱因斯坦求和约定，偏导数对  坐标卡相应的  中的点取值。

线性扩张得到如下矩阵

从而光滑映射  在每一点的微分是切空间之间的一个线性变换。从而在某些选定的局部坐标下，它表示为相应的从   到  光滑映射的雅可比矩阵。一般情形，微分不要求可逆。如果  是一个局部微分同胚，那么在  点的前推是可逆的，其逆给出   的拉回。

另外，局部微分同胚的微分是切空间之间的线性同构。

微分经常有其他一些记法，比如

从定义可得出复合函数的微分便是微分的复合（即，具有函子性质），这便是光滑函数微分的链式法则。

 切丛上的微分 
光滑映射  的微分以显而易见的方式诱导了从  的切丛到  的切丛的一个丛映射（事实上是向量丛同态），记为  或 ，满足如下的交换图表：
center
这里  与  分别表示  与  切丛的丛投影。

等价地（参见丛映射）， 是从  到  上的拉回丛  的丛映射，这可以看成  上向量丛  的一个截面。

 向量场的前推 

给定了一个光滑映射  与  上一个向量场 ，一般不能定义  通过  的前推为  的一个向量场。譬如，如果映射  不是满射，则在  的像外部没有自然的方式定义拉回；如果  不是单射也有可能在给定一点拉回不止一种选择。无论如何，可以用“沿着映射的向量场”概念将难处变精确。

 上  的一个截面称为沿着  的向量场。例如，如果  是  的一个子丛而  是包含映射，那么沿着  的向量场恰好是  沿着  的切丛的一个截面；特别的， 上的向量通过  包含到  中定义这样一个截面。这种想法推广到任何光滑映射。

假设  是  上一个向量场，即  的一个截面。那么，运用逐点微分得出  的前推 
，这是一个沿着  的向量场，即  上  的一个截面。

任何  上的向量场  定义了  的一个拉回截面  使得 。 上一个向量场  与  上一个向量场  称为 -相关的，如果作为沿着  的向量场有 。换句话说，对任何  属于 ，有 。

在某些情形，给定  上一个向量场 ， 上只有惟一的向量场  与  -相关。特别地，这在  是微分同胚时自然成立。在这种情况下，前推定义了  上一个向量场 ，由

给出。一个更一般的情形是  为满射（比如纤维丛的丛投影）。这时  上的向量场  称为可投影的，如果对任何  属于 ,  与  属于  的取法无关。这恰好是保证  的前推可以作为  上的一个良定的向量场的条件。

參閲
拉回

参考文献

 John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, (2003)  Springer Graduate Texts in Mathematics 218.
 Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin  ISBN 3-540-42627-2 See section 1.6.
 Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 1.7 and 2.3.

Q
Q