巴拿赫不动点定理

巴拿赫不动点定理，又称为压缩映射定理或压缩映射原理，是度量空间理论的一个重要工具。它保证了度量空间的一定自映射的不动点的存在性和唯一性，并提供了求出这些不动点的构造性方法。这个定理是以斯特凡·巴拿赫命名的，他在1922年提出了这个定理。

 定理 

设(X, d)为非空的完备度量空间。设T : X → X为X上的一个压缩映射，也就是说，存在一个非负的实数q < 1，使得对于所有X内的x和y，都有：

那么映射T在X内有且只有一个不动点x*（这就是说，Tx* = x*）。更进一步，这个不动点可以用以下的方法来求出：从X内的任意一个元素x0开始，定义一个迭代序列xn = Txn-1，其中n = 1，2，3，……。那么，这个序列收敛，极限为x*。以下的不等式描述了收敛的速率：

等价地：


且

满足以上不等式的最小的q有时称为利普希茨常数。

注意对于所有不同的x和y都有d(Tx, Ty) < d(x, y)的要求，一般来说是不足以保证不动点的存在的，例如映射T : [1,∞) → [1,∞)，T(x) = x + 1/x，就没有不动点。但是，如果空间X是紧的，则这个较弱的假设也能保证不动点的存在。

当实际应用这个定理时，最艰难的部分通常是如何恰当地定义X，使T把元素从X映射到X，即Tx总是X的一个元素。

 证明 

选择任何。如果，则不必证明；以下设。对于每一个，定义。我们声称对于所有的，以下等式都成立：

。

我们用数学归纳法来证明。对于的情况，命题是成立的，这是因为：

。

假设命题对于某个是成立的。那么，我们有：

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从第三行到第四行，我们用到了归纳假设。根据数学归纳法原理，对于所有的，以上的命题都成立。

设。由于，我们便可以找出一个较大的，使得：

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利用以上的命题，我们便有对于任何，以及，都有：

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第一行的不等式可以从三角不等式推出；第四行的级数是一个几何级数，其中，因此它收敛。以上表明是内的一个柯西序列，所以根据完备性，它是收敛的。因此设。我们作出两个声明：第一，是的一个不动点，也就是说，；第二，是在中的唯一的不动点。

为了证明第一个命题，我们注意到对于任何的，都有：

。

由于当时，，因此根据夹挤定理，可知。这表明当时，。但当时，，且极限是唯一的；因此，一定是的情况。

为了证明第二个命题，我们假设也满足。那么：

。

由于，因此上式意味着，这表明，于是根据正定性，，定理得证。

 逆定理 
巴拿赫不动点定理有许多逆定理，以下的一个是Czesław Bessaga在1959年发现的：

设为一个抽象集合的映射，使得每一个迭代f n都有一个唯一的不动点。设q为一个实数，0 < q < 1。那么存在X上的一个完备度量，使得f是压缩映射，且q是压缩常数。

 推广 
一个有趣的事实是，若把某国的地图缩小后印在该国领土内部，那么在地图上有且仅有这样一个点，它在地图中的位置也恰巧表示它所落在的土地位置。证明如下：
 为了方便起见，这里把地球近似看作是正球体。
 首先，按照经纬度可以给地球表面上每一个点标出坐标 (x, y)，其中前元是经度、后元是纬度。又定义地面上任意两点间的距离 d(A, B) 是 A 到 B 间大圆弧的弧长。
 其次，把这国家的地图上的点按照其所代表点的实际经纬度标出坐标 (u, v)。
 那么对于地图上任意一点 P 而言，它既在地图上表示地点 (up, vp)，又实际在地面上占有点 (xp, yp)。显然，这构成了从集合 S={P|P 是地面上的点且 P 属于该国领土} 到其本身的映射，现记作 M(P)=M((xp, yp))=(up, vp)。
 又因为地图是缩小的，即对于任意两个地点 A∈S、B∈S 而言，d(A, B)>d(M(A), M(B))，也即 M(P) 是一个压缩映射。
 事实上，取实数 k>1 作为地图比例尺的分母、即 1:k，那么由比例尺的定义知 d(A, B)=kd(M(A), M(B))，两边同除以 k 得 d(A, B)*(1/k)=d(M(A), M(B))。换言之，存在实数 q=1/k<1 满足对于 S 内所有的 A 和 B，d(M(A), M(B))≤qd(A, B)，这里等号总是成立。
 现在将 S 视为以 d 为度量的空间，那么它显然是一个完备度量空间。
 根据巴拿赫不动点定理，M 在 S 内有且仅有一个不动点，即该点恰好被印在它所表示的土地位置上。Q.E.D.

关于巴拿赫不动点定理的推广，请参见无穷维空间中的不动点定理。

 参考文献 
 Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, the Netherlands (1981). ISBN 90-277-1224-7 See chapter 7.
 Andrzej Granas and James Dugundji, Fixed Point Theory (2003) Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-00173-5.

 William A. Kirk and Brailey Sims, Handbook of Metric Fixed Point Theory (2001), Kluwer Academic, London ISBN 0-7923-7073-2. 
 Bourbawiki上巴拿赫不动点定理的证明

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