拉回 (微分几何)

在微分几何中，拉回是将一个流形上某种结构转移到另一个流形上的一种方法。具体地说，假设  是从光滑流形  到  的光滑映射；那么伴随有一个从  上 1- 形式（余切丛的截面）到  上 1-形式的线性映射，这个映射称为由  拉回，经常记作 。更一般地，任何  上共变张量场——特别是任何微分形式——都可以由  拉回到  上。

当映射  是微分同胚，那么拉回与前推一起，可以将任何  上的张量场变换到 ，或者相反。特别地，如果  是  的开集与  之间的微分同胚，视为坐标变换（也许在流形 M 上不同的坐标卡上），那么拉回和前推描述了共变与反变张量用更传统方式（用基）表述的变换性质。

拉回概念背后的本质很简单，是一个函数和另外一个函数的前复合。但是将这种想法运用到许多不同的情形，可以构造许多复杂的拉回。本文从简单的操作开始，然后利用它们构造更复杂的。粗略地讲，拉回手法（利用前复合）将微分几何中多种不同的结构变成反变函子。

光滑函数与光滑映射

设  是光滑流形  与  之间的光滑映射，假设  是  上一个光滑函数。则  通过  的拉回是  上的光滑函数 ，定义为。类似地，如果  是  中开集  上的光滑函数，则相同的公式定义了  中开集   上一个光滑函数。用层的语言说，拉回定义了  上光滑函数层到  的直接像（在  上光滑函数层中）的一个态射。

更一般地，如果  是从  到任意其他流形  的光滑映射，则  是从  到  的一个光滑映射。

丛与截面
如果  是  上一个向量丛（或任意纤维丛）， 是光滑映射，那么拉回丛  是  上一个向量丛（或更一般地纤维丛），其  中的点  处的纤维由  给出。

在此情形，前复合定义了  上截面的一个变换：如果  是  上  的一个截面，那么拉回截面  是  上拉回丛   的一个截面。

 多重线性形式 

设  是向量空间  与  之间的一个线性映射（即， 是  中的元素，也记成 ），设

是  上一个多重线性形式（也称为  阶张量——但不要和张量场混淆——这里  是乘积中  的因子的个数）。则  由  的拉回  是一个  上的多重线性形式，定义为  与  的前复合。准确地，给定  中向量 ， 由公式定义

这是  上一个多重线性形式。从而   是一个从  上的多重线性形式到  上的多重线性形式的（线性）算子。作为一个特例，注意到如果  是  上一个线性形式（或  -张量），那么  是  的对偶空间  中一个元素，则  是  中一个元素，所以拉回定义了对偶空间之间一个线性映射，作用的方向与线性映射  自己的方向相反：

从张量的观点来看，自然想把来回这种概念推广到任何阶，即 上取值于  个  的张量积  的线性映射。但是，这种张量积不能自然的拉回：不过有从
 到  的前推算子，定义为

然而，如果  可逆，拉回可以用逆函数  的前推定义。将一个可逆线性映射与这两个构造放在一起，得到了对任何  阶张量一个拉回算子。

余切向量与 1 形式 

设  是光滑流形间的光滑映射。那么  的前推： （或 ），是从  的切丛  到拉回丛  的（在  上）向量丛同态。从而  的转置是从  到  的余切丛   的丛映射。

现在假设  是  的一个截面（ 上一个 1-形式），将  与  前复合得到 的一个拉回截面。将上述（逐点）丛映射应用到截面导致  由  的拉回，是  上一个 1-形式，定义为：

对  属于   与  属于 。

（共变）张量场 
对任何自然数 ，上述构造马上可推广到  阶张量丛上。流形  上  张量场  是  上张量丛的一个截面，在  中  点的截面是多重线性 -形式空间

取  等于从  到  的一个光滑映射的微分（逐点的），多重线性形式的拉回可与截面的拉回复合得出  上  张量场的拉回。更确切地，如果   是  上一个 -张量场，那么  由  的拉回 是  上 -张量场 ，定义为

对  属于  与   属于 。

 微分形式 
共变张量场拉回的一个特别重要的例子是微分形式的拉回。如果  是一个微分 -形式，即 （逐点）反交换 -形式组成的外丛  的一个截面，则  的拉回是  上一个微分 -形式，定义与上一节相同：

对  属于  与  属于 。

微分形式的拉回有两个性质，使其非常有用。

1. 和楔积相容：假设同上，对  上的微分形式  与 ，

2. 和外导数   相容：如果  是  上一个微分形式，则

 由微分同胚拉回 
当流形之间的映射  是微分同胚，即有一个光滑逆函数，则在向量场上也像 1-形式一样定义拉回，从而通过扩张，对流形上任何混合张量场都可拉回。线性映射

可逆，给出

一个一般的混合型张量场通过张量积分解为  与  两部分，分别用   与  变换。当  时，则拉回和前推刻画了流形  上张量场的变换性质。用传统术语说，拉回描述了张量共变指标的变换性质；相对地，反变指标的变换性质由前推给出。

由自同构拉回
上一节的构造有一个代表性特例，若  是流形  到自己的微分同胚。在这种情况下，导数  是  的一个截面。这样便在通过一个一般线性群   相配于  的标架丛  的任何丛的截面上导出了拉回作用。

 拉回与李导数 

将上述想法应用到由向量场  定义的微分同胚单参数群，对参数求导，得到了任意丛上的李导数概念。

 联络（共变导数）
如果  是  上向量丛  的联络（或共变导数）， 是从  到  的光滑映射，那么在  上的向量丛  上有拉回联络 ，由等式

惟一确定。

另见
 前推 (微分)
 拉回丛
 拉回 (范畴论)

参考文献
 Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin  ISBN 3-540-42627-2 See sections 1.5 and 1.6.
 Ralph Abraham and Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 1.7 and 2.3.
 B. A. Dubrovin, et al., Modern Geometry Methods and Applications(Part I), (1999) Beijing World Publishing Corp., ISBN 7-5062-0123-2 See section 22.

Z
Z