极值定理

在微积分中，极值定理（或最值定理）说明如果实函数在闭区间上是连续函数，则它一定取得最大值和最小值，至少一次。也就是说，存在内的和，使得：

对于所有。

一个相关的定理是有界性定理，它说明闭区间内的连续函数在该区间上有界。也就是说，存在实数和，使得：

对于所有。

极值定理强化了有界性定理，它表明函数不仅是有界的，而且它的最小上界就是最大值，最大下界就是最小值。

定理的证明

我们来证明的上界和存在最大值。把这个结果应用于函数，也可推出的下界和存在最小值。

我们首先证明有界性定理，它是证明极值定理中的一个步骤。

有界性定理的证明

假设函数在区间内連續且没有上界，那么对于每一个自然数，都存在内的一个，使得（任定的，總之條件為真即可）。这便定义了一个序列。

由于是有界的，根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理，可推出存在的一个收敛的子序列。把它的极限记为。由于是闭区间，它一定含有。因为在处连续，我们知道收敛于实数。

但对于所有的，都有，这意味着发散于无穷大。

前者描述為收斂，後者描述為無窮大，得出矛盾。因此，在内有上界。同理在内有下界。证毕。

极值定理的证明1
基本步骤为：
 寻找一个序列，它的像收敛于的最小上界。
 证明存在一个子序列，它收敛于定义域内的一个点。
 用连续性来证明子序列的像收敛于最小上界。

我们现在证明函数在区间内有最大值。根据有界性定理，有上界，因此，根据实数的戴德金完备性，的最小上界存在。我们需要寻找内的一个，使得。设为一个自然数。由于是最小上界，就不是的上界。因此，存在内的，使得。这便定义了一个序列。由于是的一个上界，即便是对于所有的，我们仍有。因此，序列收敛于M。

根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理，可知存在一个子序列，它收敛于某个，且由于是闭区间，。因为在处连续，所以序列收敛于。但是的一个子序列，收敛于，因此。所以，在处取得最小上界。证毕。

极值定理的证明2

设是在区间上的最小上界，我们要证明存在使得。我们使用反证法：如若不然，对任意 ，，所以，对任意的，。我们考虑正值的函数

因为分母不是零，这个函数是良定义的，并且是连续的。然而，由于是的最小上界，所以存在 ，使得可以无限地接近，从而是无界的。这和有界性定理矛盾。证毕。

注: 上面构造函数来证明最大值能在某个取到的方法也在代数基本定理的基于Liouville定理的证明中出现。

例子

以下的例子说明了为什么函数的定义域需要是闭的和有界的。

 定义在的函数没有上界。
 定义在的函数有界，但不取得最小上界1。
 定义在的函数没有上界。
 定义在的函数有界，但不取得最小上界1。

推广到半连续函数

如果把的连续性减弱为半连续，则有界性定理和极值定理的对应的一半仍然成立，且扩展的实数轴上的值和也可以允许为可能的值。更加精确地：

定理：如果函数是上半连续的，也就是说，对于内的所有，都有：

，

那么有上界，且取得最小上界。

证明：如果对于内的所有，都有，那么最小上界也是，于是定理成立。在任何其它情况下，只需把上面的证明稍加修改便可。在有界性定理的证明中，在处的半连续性只意味着子序列的上极限有上界，但这已足以得到矛盾。在极值定理的证明中，在处的半连续性意味着子序列的上极限有上界，但这已足以推出的结论。证毕。

把这个结果应用于，可得：

定理：如果函数是下半连续的，也就是说，对于内的所有，都有：

那么有下界，且取得最大下界。

一个实函数是上半连续且下半连续的，当且仅当它是连续的。因此，从这两个定理就可以推出有界性定理和极值定理。

参考文献




外部链接
 上极值定理的证明 




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