谱半径

數學上，矩阵或有界線性算子的谱半径（spectral radius）是其特徵值絕對值中的最大值（也就是矩阵的谱中元素絕對值中的最小上界），會表示為ρ(·)。

矩陣
令是矩陣中的特徵值，則其谱半径  is 定義為：

的条件数可以用譜半徑表示，公式為。

譜半徑是矩陣所有範數的一種下确界（infimum）。另一方面，對每一個矩陣範數 都成立，Gelfand公式指出。不過，針對任意向量，譜半徑不一定會滿足。若要說明原因，可以令為任意數，考慮矩陣。的特徵多項式是，因此其特徵值為，且。不過，因此，其中是上的任何範數。至於可以當時，讓的原因是，因此當時，使。

 針對所有
成立的條件是為埃尔米特矩阵及為欧几里得範數。

圖
有限图的谱半径定義為其邻接矩阵的谱半径。

此一定義可以擴散到無限圖，但是其每個頂點都只連接有限個頂點（存在一實數使得每一個頂點的度都小於）。此情形下，針對圖可定義：

令是 的邻接算子：

的谱半径定義為有界線性算子的谱半径。
上界

矩陣譜半徑的上界

以下的命題指出了一個簡單但是有用的矩陣譜半徑上界：

命題：令，其譜半徑為，以及相容（Consistent）矩陣範數 。則針對每一個整數:

證明

令為矩陣A的特徵值-特徵向量對。利用矩陣範數的次可乘性（sub-multiplicative property），可得：

因為，可得

因此

 圖譜半徑的上界 
有關n個頂點，m個邊的圖，有許多的譜半徑的上界公式。例如，若

其中為整數，則 ：

乘幂數列

定理
谱半径和矩陣乘幂數列是否收斂有緊密的關係。以下的定理會成立：
定理：令，其譜半徑。則若且唯若

另一方面，若, 。上述敘述針對上的任何矩陣範數都有效。

定理證明
假設問題中的極限值為零，可以證明。令為A的特征值和特征向量對。因為可得：

因為假設，會得到

表示|λ| < 1。因為這對任何一個特征值都會成立，因此可知ρ(A) < 1。

接下來假設的譜半徑小於。根據若尔当标准型定理，可以知道針對所有的，存在以及非奇異的和分塊對角矩陣使得：

而

其中

因此可得

因為是分塊對角矩陣

而若尔当方塊矩陣次方可以得到，針對：

因此，若，則針對所有的，都會成立。因此針對所有的，可得：

這也表示

因此

另一方面，若，當k增加時，在中至少有一個元素無法維持有界，因此證明了定理的第二部份。
Gelfand公式

 定理 
以下的定理可以用[矩陣範數的極限來計算T谱半径
定理（Gelfand公式，1941年）：令任何矩陣範數 ，可得
此公式在任何Banach幾何下都成立。參考的Lemma IX.1.8，以及.

證明
令任意，先建構以下二個矩陣：

則:

先將之前的定理應用到:

這表示，根據級數極限定理，一定存在使得針對所有的k ≥ N+，下式都成立

因此

將之前的定理用在，表示無界，一定存在使得針對所有的k ≥ N−，下式都成立

因此

令，可得：

因此，依定義，可得下式

舉例
考慮以下矩陣

其中的特徵值為。依照定義，。在以下的表中，會以四個最常用的矩陣範式，在k增加時，計算（注意，因為此矩陣特殊的形式，）:

 k    1 14 15.362291496 10.681145748 2 12.649110641 12.328294348 10.595665162 3 11.934831919 11.532450664 10.500980846 4 11.501633169 11.151002986 10.418165779 5 11.216043151 10.921242235 10.351918183     10 10.604944422 10.455910430 10.183690042 11 10.548677680 10.413702213 10.166990229 12 10.501921835 10.378620930 10.153031596     20 10.298254399 10.225504447 10.091577411 30 10.197860892 10.149776921 10.060958900 40 10.148031640 10.112123681 10.045684426 50 10.118251035 10.089598820 10.036530875     100 10.058951752 10.044699508 10.018248786 200 10.029432562 10.022324834 10.009120234 300 10.019612095 10.014877690 10.006079232 400 10.014705469 10.011156194 10.004559078     1000 10.005879594 10.004460985 10.001823382 2000 10.002939365 10.002230244 10.000911649 3000 10.001959481 10.001486774 10.000607757     10000 10.000587804 10.000446009 10.000182323 20000 10.000293898 10.000223002 10.000091161 30000 10.000195931 10.000148667 10.000060774     100000 10.000058779 10.000044600 10.000018232

有界線性算子
針對有界線性算子  及算子范数 ||·||，可以得到

（複數希爾伯特空間上的）有界算子若其谱半径等於，可以稱為「譜算子」（spectraloid operator）。其中一個例子是正规算子。
相關條目
聯合譜半徑

矩阵的谱
註解

參考資料



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