超度量空间

超度量空间是一种特殊的度量空间，其中三角不等式用来代替。有时相关的度量也称为非阿基米德度量或超度量。虽然超度量空间中的一些定理看来奇怪，它们在许多应用中都自然出现。超度量空間在數學上其中一個應用是關於p-進數的研究。

正式定义

集合的一个超度量（度量）是一个实值函数：

（其中是实数集合），使得对于所有内的、和，都有：
 ，
   当且仅当  ，
   （对称性），
   （强三角不等式或超度量不等式）。

第四個條件可加強為當和不相等時，，原因如下：

首先，可以不失一般性地假定，因此可變為，但另一方面，，由於已經假定之故，因此顯然不能為，因此，所以有，由於和兩者皆成立之故，因此有。因此。

性质
从以上的定义中，我们可以推出超度量空间的一些典型的性质。例如，在超度量空间内，对于所有内的、和以及内的所有和，都有：
 每一个三角形都是等腰的，也就是说，，或，或。
 球体内的每一点都是它的中心，也就是说，如果，则。
 相交的球体互相包含，也就是说，如果是非空的，则要么，要么。
在这里，（开）球体的概念和记法与度量空间中的球体一样，也就是说：
 。
 所有的球体在诱导拓扑中都既是开集又是闭集。也就是说，开球体也是闭球体，闭球体（把换成）也是开球体。

参考文献
Set Theory and Metric Spaces, I. Kaplansky, AMS Chelsea  Publishing (1977). ISBN 0-8218-2694-8

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