黑塞矩陣

海森矩陣（德語：Hesse-Matrix，英語：或），又譯作黑塞矩阵、海塞（赛）矩陣或海瑟矩陣等，是一個由多變量實值函數的所有二階偏導數組成的方陣，由德國數學家奧托·黑塞引入並以其命名。

 定義 

假設有一實值函數，如果 的所有二階偏導數都存在並在定義域內連續，那麼函數的黑塞矩陣為

或使用下標記號表示為

顯然黑塞矩陣 是一個方陣。黑塞矩陣的行列式被稱爲黑塞式（英語：），而需注意的是英語環境下使用Hessian一詞時可能指上述矩陣也可能指上述矩陣的行列式。

 性質 
由高等數學知識可知，若一元函數在點的某個鄰域內具有任意階導數，則函數在點處的泰勒展開式為

其中，。

同理，二元函數在點處的泰勒展開式為

其中，，，，，，，。

將上述展開式寫成矩陣形式，則有

其中，，是的轉置，是函數在的梯度，矩陣

即函數在點處的黑塞矩阵。它是由函数在点处的所有二階偏導數所組成的方陣。

由函數的二次連續性，有

所以，黑塞矩陣为對稱矩陣。

將二元函數的泰勒展開式推廣到多元函數，函數在點處的泰勒展開式為

其中，
為函數在點的梯度，

為函數在點的黑塞矩陣。若函數有次連續性，則函數的黑塞矩陣是對稱矩陣。

說明：在優化設計領域中，黑塞矩陣常用表示，且梯度有時用表示。

函數的黑塞矩陣和雅可比矩陣有如下關係：

即函數的黑塞矩陣等於其梯度的雅可比矩陣。

 應用 

 函數的極值條件 

對於一元函数，在給定區間內某點處可導，並在點處取得極值，其必要條件是

即函數的極值必定在駐點處取得，或者說可導函數的極值點必定是駐點；但反過來，函數的駐點不一定是極值點。檢驗駐點是否為極值點，可以採用二階導數的正負號來判斷。根據函數在點處的泰勒展開式，考慮到上述極值必要條件，有

若在點處取得極小值，則要求在某一鄰域內一切點都必須滿足

即要求

亦即要求

在點處取得極大值的討論與之類似。於是有極值充分條件：

設一元函数在點處具有二階導數，且，，則

當時，函數在處取得極小值；
當時，函數在處取得極大值。

而當時，無法直接判斷，還需要逐次檢驗其更高階導數的正負號。由此有一个規律：若其開始不為零的導數階數為偶數，則駐點是極值點；若為奇數，則為拐點，而不是極值點。

對於二元函数，在給定區域內某點處可導，並在點處取得極值，其必要條件是

即

同樣，這只是必要條件，要進一步判斷是否為極值點需要找到取得極值的充分條件。根據函數在點處的泰勒展開式，考慮到上述極值必要條件，有

設，，，則

或

若在點處取得極小值，則要求在某一鄰域內一切點都必須滿足

即要求

亦即要求，

即

此條件反映了在點處的黑塞矩陣的各階主子式都大於零，即對於

要求

在點處取得極大值的討論與之類似。於是有極值充分條件：

設二元函数在點的鄰域內連續且具有一階和二階連續偏導數，又有，同時令，，，則

當，時，函數在處取得極小值；
當，時，函數在處取得極大值。

此外可以判斷，當時，函數在點處沒有極值，此點稱爲鞍點。而當時，無法直接判斷，對此，補充一個規律：當時，如果有，那麼函數在有極值，且當有極小值，當有極大值。

由線性代數的知識可知，若矩陣滿足

則矩陣是正定矩陣，或者說矩陣正定。

若矩陣滿足

則矩陣是負定矩陣，或者說矩陣負定。

於是，二元函數在點處取得極值的條件表述為：二元函數在點處的黑塞矩陣正定，則取得極小值；在點處的黑塞矩陣負定，則取得極大值。

對於多元函數，若在點處取得極值，則極值存在的必要條件為

取得極小值的充分條件為

正定，即要求的各階主子式都大於零，即

取得極大值的充分條件為

負定。

 拓展閱讀 
 雅可比矩陣
 梯度

 參考文獻 

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