孤立奇点

假设X是一个代数簇，P∈X是X上的一个奇点，如果存在一个包含P的开邻域（又称开集）U，使得U中不在包含其他的奇点， 那么就称P是孤立奇点。

在亚纯函数中，所有奇点都是孤立的；但如果一个函数的所有奇点都是孤立的，并不能保证它是亚纯函数。复分析中许多有用的工具，例如洛朗展开、留数定理等，都需要保证相关奇点的孤立性才能应用。

孤立奇点分为三种：
 可去奇点
 极点
 本性奇点

例子
函数在处有孤立奇点。

余割函数在所有整数点处有孤立奇点。

函数在处有孤立奇点，这是一个本质奇点。

复分析中孤立奇点与洛朗展开的关系
 可去奇点、极点、本性奇点的定义 
三种孤立奇点有许多等价定义，以下列出部分，用以说明与洛朗级数的关系。

一个孤立奇点被称作可去奇点，如果；
一个孤立奇点被称作极点，如果；
一个孤立奇点被称作本性奇点（又译作本质奇点），如果极限不存在。

洛朗级数的主要部分
复函数在一个以点为圆心的解析的环形区域上可以展开成这样的级数形式

其中，具有这样的形式：。积分路径γ是一条逆时针方向的可求长曲线，把c包围起来，位于圆环A内。

此时，的洛朗展开式中，指数为负数的部分称作的主要部分(principal part)。

可去奇点、极点、本性奇点与洛朗级数的主要部分的关系
以下可以看作可去奇点、极点、本性奇点又一等价定义。
假设是复函数的一个可去奇点，则在处邻域内的洛朗级数展开式不含有主要部分。
假设是复函数的一个极点，则在处邻域内的洛朗级数展开式的主要部分仅含有有限项；且主要部分的项数恰等于极点的阶数。
假设是复函数的一个本性奇点，则在处邻域内的洛朗级数展开式的主要部分含有无穷多项。

证明
相关例子与应用

参见
 非孤立奇点

外部链接


G
G