音乐同构

在数学中，特別是黎曼幾何跟微分流形的理論裡，音乐同构（ 或典范同构 ）是指（伪）黎曼流形 M 的切丛 TM 与余切丛   之间的同构，这个同构由黎曼度量给出。不過一般地，只要流形的切丛上有一个处处非退化的双线性形式（比如辛流形上的辛形式）便可定义这样的同构。在帶有內積（或更一般的，非退化的雙線性形式）的有限維向量空間 ，這些同構自然給出了  和其對偶空間  之間的同構，在這種情況一般稱這些映射為典範同構（canonical isomorphosm）。

這些運算在流形上的張量場理論裡也称为指标的上升和下降。

 正式定义 
黎曼流形 M 的黎曼度量  是一个二階的对称、正定张量场 。在任意一点 x∈M，黎曼度量會誘導出一個映射  

這映射給了點 的切空間跟餘切空间之间的一个线性同构，对任何切向量 Xx 属于 TxM，定義

其中符號  代表 流形上的黎曼度量。这意味着，

这些线性映射的集合定义了一个丛同构

这是一个特别的微分同胚，在每个切空间上為線性映射。在截面的层次上即是切向量场到余切向量场的同构。在一个局部坐标 下，设度量矩阵为 ，逆矩阵为 ，向量場　。则这个同构會將映射到

这里使用了爱因斯坦求和约定。

以上同构称为降号音乐同构（）用符號表示，例如以上的函數可表示成：；而其逆運算称为升号（）用符號表示：降号下降指标，升号上升指标，。升号用局部坐标表示为：

这两个同构的核心是 g 为处处非退化的双线性形式，任何一个非退化的双线性形式都可给出类似的同构，对伪黎曼流形、辛流形也有类似的同构。在辛几何中，这个同构非常重要，哈密顿向量场便是由这个同构导出的。

名称由来
同构  与其逆  称为“音乐同构”是因为是因为常常用兩種音樂符號 來代替這些同構，比如  會寫成 ， 會寫成 ，它们將指标向下、向上移动。例如，流形上的向量場  經過  映射會變成餘向量場：

這裡將映射到，係數的指標從上到下，所以這運算用降號符號表示。

而餘向量 ，經過  運算會變成向量

所以指标向下、向上移动好似符号降号（）与升号（）下降与上升一个半音的音高。

梯度、散度与旋度
音乐同构可以用来定义  上无坐标形式的梯度、散度与旋度：


这里  分別是  裡的函數跟向量場， 是霍奇星号算子。不难验证这与通常坐标形式的定义是一致的。第一个等式对更一般的黎曼流形上的光滑函数也成立。而在辛流形上，第一个等式便定义了以 f 为哈密顿量的哈密顿向量场。

此外，值得指出的是可用音乐同构和霍奇星号算子把叉积与外积联系起来，设 v 与 w 是  中向量场，容易证明



 参考文献 

 .
 .

Y
Y
Y