可测函数

可测函数（）是保持可测空间結構的函数，也是勒貝格積分中主要討論的函數。

 正式定義 

 重要範例 

 實可測函數 
取本節定義中的  為实数系   ，然後取：




換句話說， 是由實數開區間所生成的博雷爾代數（注意到  本身是個拓扑基），那麼這樣的 -  可測函數  ，通常會簡稱為  - 實可測函數；甚至簡稱為實可測函數。概率论裡的随机变量就是實可測函數。

 博雷爾函数 

如果 與  正好也是拓撲空間，這時取以下兩個最小σ-代数：




換句話說， 是由  上开集所生成的博雷爾代數； 是由  上开集所生成的博雷爾代數，那這樣  -  可测函数  又称为  -  博雷爾函数（Borel function）。

根據拓撲空間连续函數的定義，  -  博雷爾函数必定  -  連續，但反之不成立，原因可見下面可测函数的性质的定理(2)。

可测函数的性质

證明以下將逐條檢驗  是否符合σ代數的定義

(1) 

因為：


所以 。

(2)  ，則 

若  ，因為：


所以  。

(3)可數個并集仍在  中

若  ，那因為：


所以  。

綜上所述，  的確是 的σ代數。

證明(1  2)

若對所有  都有：


換句話說：


那根據本節之定理(1)和最小σ代数  的定義有：


換句話說，只要  就有 ，故  是  -  可測函數。

(2  1)

若對所有 都有 ，換句話說：


這樣的話，的確可以從  推出  。

證明根據定理(2)，   為 - 可測函數等價於：
 「對所有的  ， 」

但因為  為  -  连续函數，故：
 「對所有的  ， 」

但  又為 - 可測函數，故可以得到  ，所以本定理得証。 
两个可测的实函数的和与积也是可测的。
可数个實可测函数的最小上界也是可测的。
可测函数的逐点极限是可测的。（连续函数的对应命题需要比逐点收敛更强的条件，例如一致收敛。）
卢辛定理

 勒贝格可测函数 
勒贝格可测函数是一个实函数f : R → R，使得对于每一个实数a，集合

都是勒贝格可测的集合。勒贝格可测函数的一个有用的特征，是f是可测的当且仅当mid{-g,f,g}对于所有非负的勒贝格可积函数g都是可积的。

不可测函数
不是所有的函数都是可测的。例如，如果是实数轴的一个不可测子集，那么它的指示函数是不可测的。

参见
可测函数的向量空间：空间
保测动态系统

 参考文献 

Category:测度论
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