电势能

在靜電學裏，電勢能（）是處於電場的電荷分佈所具有的勢能，與電荷分佈在系統內部的組態有關。電勢能的單位是焦耳。電勢能與電勢不同。電勢定義為處於電場的電荷所具有的電勢能每單位電荷。電勢的單位是伏特。

電勢能的數值不具有絕對意義，只具有相對意義。所以，必須先設定一個電勢能為零的參考系統。當物理系統內的每一個點電荷相距无穷远且其相對靜止不動時，這一物理系統通常可以設定為電勢能等於零的參考系統。假設一個物理系統裏的每一個點電荷，從無窮遠处被一外力匀速地遷移到其所在位置，该外力做的总機械功為  ，則定义這系統的電勢能  為 
 。

在這過程裏，所涉及的機械功  ，不論是正值或負值，都由這物理系統之外的機制賦予。並且，被匀速遷移的每一個點電荷都不會獲得任何動能。

如此計算電勢能，並沒有考慮到移動的路徑，這是因為電場是保守場，電勢能只跟初始位置與終止位置有關，與路徑無關。

計算電勢能 
在一個物理系統內，計算一個點電荷所具有的電勢能的方法，就是計算將這點電荷Q從無窮遠位置遷移到其它固定位置電荷附近所需要做的機械功。而計算只需要两个参数：
其它電荷所產生的電勢。
點電荷Q的電荷量。

注意：这里的計算不需要知道其它電荷的電荷量，也不需要知道这一點電荷Q所產生的電勢。

儲存於點電荷系統內的電勢能
單點電荷系統
只擁有單獨一個點電荷的物理系統，其電勢能為零，因為沒有任何其它可以產生電場的源電荷，所以，將點電荷從無窮遠移動至其最終位置，外機制不需要對它做任何機械功。特別注意，這點電荷有可能會與自己生成的電場發生作用。然而，由於在點電荷的位置，它自己生成的電場為無窮大，所以，在計算系統的有限總電勢能之時，一般刻意不將這「自身能」納入考量範圍之內，以簡化物理模型，方便計算。

雙點電荷系統
思考兩個點電荷所組成的物理系統。假設第一個點電荷  的位置為坐標系的原點  ，則根據庫侖定律，點電荷  施加於位置為  的第二個點電荷  的電場力為
 ；

其中，  是電常數。

在移动點電荷  時，為保证匀速，外機制必须施加作用力  於點電荷  ，从而与电场力达到二力平衡。所以，機械功  為
 。

由於庫侖力為保守力，機械功與積分路徑  無關，所以，可以選擇任意一條積分路徑。在這裡，最簡單的路徑為從無窮遠位置朝著  方向遷移至  位置的直線路徑。那麼，機械功為
 。

這機械功是無窮遠位置與  位置之間的靜電能差別：
 。

設定  ，則
 。

現在，假設兩個點電荷的位置分別為  、 ，則電勢能為
 ；

其中， 是兩個點電荷之間的距離。

假設兩個點電荷的正負性相異，則電勢能為負值，兩個點電荷會互相吸引；否則，電勢能為正值，兩個點電荷會互相排斥。

三個以上點電荷的系統
對於三個點電荷的系統，外機制將其每一個單獨點電荷，一個接著一個，從無窮遠位置遷移至最終位置，所需要做的機械功，就是整個系統的靜勢能。以方程式表示，
 ；

其中， 為點電荷， 為第i個與第j個點電荷之間的距離。

按照這方法演算，對於多個點電荷的系統，按照順序，從第一個點電荷到最後一個點電荷，各自移动到最後對應位置。在第  個點電荷  遷移時，只會感受到從第  個點電荷到第  個點電荷的電場力，而機械功  是因為抗拒這些電場力而做出的貢獻：
 。

所有點電荷做出的總機械功（即總電勢能）為
 。

將每一個項目重覆多計算一次，然後將總和除以  ，這公式也可以表達為，
 。

這樣，可以忽略點電荷的遷移順序。

注意到除了點電荷  以外，所有其它點電荷產生的電勢在位置  為
 。

所以，離散點電荷系統的總電勢能為
 。

上述方程式假設電介質是自由空間，其電容率為  ，即電常數。假設電介質不是自由空間，而是電容率為  的某種電介質，則必需將方程式內的  更換為  。

 儲存於連續電荷分佈的能量 
對於連續電荷分佈，前面的電勢能方程式變為
 ；

其中， 是在源位置  的電荷密度， 是積分體積。

應用高斯定律
 ;

其中， 是電場。

電勢能為
  。

應用散度定理，可以得到
  ；

其中， 是包住積分體積  的閉曲面。

當積分體積  趨向於無限大時，閉曲面  的面積趨向於以變率  遞增，而電場、電勢分別趨向於以變率  、 遞減，所以，上述方程式右手邊第一個面積分項目趨向於零，電勢能變為
  。

電場與電勢的微分關係為
 。

將這方程式代入，電勢能變為
  。

所以，電勢能密度  為
  。

 自身能與交互作用能 
前面分別推導出兩個電勢能方程式：
 。
  。

注意到第一個方程式計算得到的電勢能，可以是正值，也可以是負值；但從第一個方程式推導出來的第二個方程式，其計算得到的電勢能則必定是正值。為甚麼會發生這不一致問題？原因是第一個方程式只囊括了電荷與電荷之間的交互作用能；而第二個方程式在推導過程中，無可避免地將電荷的自身能也包括在內。在推導第一個方程式時，在位置  的電勢乃是，除了  以外，所有其它電荷共同貢獻出的電勢；而在推導第二個方程式時，電勢乃是所有電荷共同貢獻出的電勢。

舉一個雙點電荷案例，假設電荷  、 的位置分別為  、 ，則在任意位置  的電場為
 ，

其電勢能密度為
  。

很明顯地，這方程式右手邊的前兩個項目分別為電荷  、 的自身能密度  、 。最後一個項目是否為交互作用能密度？為了回答這有意思的問題，繼續計算交互作用能密度的體積積分：
 。

應用一條向量恆等式，
 ，

可以得到
  。

應用散度定理，可以將這方程式右手邊第一個項目，從體積積分變為面積積分：
  ；

其中， 是包住積分體積  的閉曲面。

假設  趨向於無窮大空間，則這面積積分趨向於零。再應用一則關於狄拉克δ函數的向量恆等式
  ，

可以得到
  。

這就是双点电荷系统的電勢能。

 參考文獻 

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