割线法

在数值分析中，割线法是一个求根算法，该方法用一系列割线的根来近似代替函数f的根。

 方法 

割线法由以下的递推关系定义：

从上式中可以看出，割线法需要两个初始值x0和x1，它们离函数的根越近越好。

 方法的推导 

给定xn−1和xn，我们作通过点(xn−1, f(xn−1))和(xn, f(xn))的直线，如右图所示。注意这条直线是函数f的割线，或弦。这条割线的点斜式直线方程为：

我们现在选择xn+1为这条割线的根，因此xn+1满足以下的方程：

解这个方程，便可以得出割线法的递推关系。

 收敛 

如果初始值x0和x1离根足够近，则割线法的第n次迭代x收敛于f的一个根。收敛速率为α，其中：

是黄金比。特别地，收敛速率是超线性的。

这个结果只在某些条件下才成立，例如f是连续的二阶可导函数，且函数的根不是重根。

如果初始值离根太远，则不能保证割线法收敛。

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