乌雷松引理

在拓扑学中，乌雷松引理，有时称为“拓扑学中的第一非平凡事实”，通常用于构造正规空间上不同性质的连续函数。这个定理有广泛的应用，因为所有的度量空间和紧豪斯多夫空间都是正规的。

这个引理是以帕维尔·萨穆伊洛维奇·乌雷松命名的。

正式表述
乌雷松引理说明， 是一个正规拓扑空间，当且仅当只要  和  是  的不交闭子集，就存在一个从  到单位区间  的连续函数：
，
使得对于所有 ，都有 ，而对于所有 ，都有 。 

任何满足这个性质的函数f都称为乌雷松函数。

注意  和  以外的元素  並不需要使得  或 。这只在完备正规空间中才有可能。

乌雷松引理导致了其它拓扑空间，例如「吉洪诺夫性质」和「完全豪斯多夫空间」的表述。例如，这个引理的一个推论是：正规的T1空间是吉洪诺夫空间。

证明
对于每一个二进分数 ，我们构造  的一个开子集 ，使得：
 ，且对于所有的 ，；
 对于 ， 的閉包位于  内。
有了这些集合以后，我们便定义  对于所有 。利用二进有理数是稠密的事实，便不难证明  是连续的，且具有性质  和 。

为了构造集合 ，我们还需要做更多事情：我们构造集合  和 ，使得：
 对于所有的 ，都有  且 ；
 对于所有的 ， 和  都是开集和不交的；
 对于 ， 包含在  的补集之内，而  的补集包含在  之内。
由于  的补集是闭集，且含有 ，因此从最后一个条件可以推出上面的条件 (2)。

我们使用数学归纳法。由于  是正规的，我们便可以找出两个不交的开集  和 ，分别含有  和 。现在假设 ，且集合  和  对于  已经构造了。由于  是正规的，我们便可以找出两个不交的开集，分别含有  的补集和  的补集。称这两个开集为  和 ，并验证以上的三个条件成立。

 参考文献 



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