西尔维斯特矩阵

西尔维斯特矩阵，是与两个多项式相关的矩阵，从这个矩阵可以知道这两个多项式的一些信息。

 定义 
设p和q为两个多项式，次数分别为m和n。因此：

于是，与p和q相关的西尔维斯特矩阵，就是通过以下方法得到的矩阵：
 第一行为：

 第二行是第一行往右移一列；第二行第一列的元素是零。
 下面的(n-2)行也是用这种方法得出，每次都往右移一列。
 第(n+1)行为：

 余下的行仍然是每次都往右移一列。

因此，如果我们设m=4和n=3，则矩阵为：

 应用 
西尔维斯特矩阵用于交换代数中，例如测试两个多项式是否有一个（非常数）公因式。确实，在这种情况下，相关的西尔维斯特矩阵的行列式（称为两个多项式的结式）等于零。反过来也成立。

以下线性方程组的解

其中是大小为的向量，是大小为的向量，由满足下式的多项式对（次数分别为和）的系数向量构成：

这就是说，西尔维斯特矩阵的转置的核给出了裴蜀方程的所有解，其中且。

这样，西尔维斯特矩阵的秩决定了和的最大公因式的次数：

 参考文献 


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