李代数胚

在数学中，李代数胚（）在李群胚理论中的角色恰如李代数在李群理论中的角色：将整体问题减化为无穷小情形。就像李群胚可以视为“具有许多对象的李群”，李代数胚可视为“具有许多对象的李代数”。

确切地说，一个李代数胚是三元组 ，其中  为流形  上一个向量丛， 是截面  组成的模上的一个李括号，向量丛同态  称为锚。这里 是  的切丛。锚与李括号满足莱布尼兹法则：

这里  和  是  沿着向量场 的导数。从而

对任何 。

 例子 

 任何李代数是单点流形上的李代数胚。

 流形  的切丛  是一个关于向量场的李括号的李代数胚，锚是  的恒同。

 切丛的任何可积子丛（即其截面在李括号下闭）也定义了一个李代数胚。

 流形上的任何李代数丛定义了一个李代数胚，这里李括号逐点定义而锚映射等于零。

 对任何李群胚相伴一个李代数胚，推广了一个李代数怎样相伴到李群（见下）。例如，李代数胚  来自配对群胚，其对象为 ，以及任何一对对象之间的一个同构态射。很不幸的是，从李代数胚不一定可以得到一个李群胚 Marius Crainic, Rui L. Fernandes: Integrability of Lie brackets, available as arXiv:math/0105033 ，不过任何李代数胚给出一个栈李群胚 Hsian-Hua Tseng and Chenchang Zhu, Integrating Lie algebroids via stacks, available as arXiv:math/0405003 Chenchang Zhu, Lie II theorem for Lie algebroids via stacky Lie groupoids, available as arXiv:math/0701024 。

 给定一个李代数 g 在流形 M 上的作用，M 上 g-不变向量场是作用轨道上的李代数胚。

 阿蒂亚代数胚：给定流形 M 上的向量丛 V，考虑其导数，即光滑 -线性映射 ，且存在一个向量场 X 使得它们满足莱布尼兹法则  对所有光滑函数 f 与向量丛的所有截面 v 。联系  显然是线性的，从而有向量丛之间的一个映射 （如果你找出丛使得其截面给出导数）。阿蒂亚代数胚进一步由满足如下短正合列刻画 。为了说明每个向量丛存在阿蒂亚代数胚，只需注意到它是相伴于向量丛 V 的标架丛李群胚的李代数胚。

 与李群胚相伴的李代数胚 
为了叙述这个构造我们先确定一些记号。G 是李群胚的态射空间，M 是对象空间， 是单位映射， 为靶映射。

 为 t-纤维切空间。这样李代数胚是切丛 ，从 G 中继承一个括号，因为我们可以将 M-截面通过 G 上的左不变向量丛等价到 A 中。而且通过将 M 上的光滑函数等价于 G 上的左不变函数，这些截面作用在 M 上的光滑函数上。

作为一个更清晰的例子，考虑配对李群胚  相伴的李代数胚。靶映射为 ，单位映射 。t-纤维是  从而 。所以李代数胚是切丛 。截面 X 扩张到 A 中 G 上一个左不变向量场不过是 ，而 M 上一个光滑函数 f 扩张 M 上一个左不变函数是 。从而 A 上的李括号恰好是切向量场上的李括号，锚映射是恒同。

当然也可以用源映射与右不变向量场/函数做相同的程序。但是得到的是同构的李代数胚，同构映射是 ，这里  是逆映射。

参见条目
 埃雷斯曼联络
 仿射联络
 曲率形式

参考文献

外部链接

Alan Weinstein, Groupoids: unifying internal and external symmetry, AMS Notices, 43 (1996), 744-752. Also available as arXiv:math/9602220 

Kirill Mackenzie, Lie Groupoids and Lie Algebroids in Differential Geometry, Cambridge U. Press, 1987.

Kirill Mackenzie, General Theory of Lie Groupoids and Lie Algebroids, Cambridge U. Press, 2005

Charles-Michel Marle, Differential calculus on a Lie algebroid and Poisson manifolds (2002). Also available in arXiv:0804.2451

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