闭形式和恰当形式

在数学，特别是向量分析与微分拓扑中，一个闭形式  是微分算子  的核（又被称为零空间），即 的微分形式；而恰当形式(恰当微分形式)  是微分算子  的像，即存在某个微分形式  使得 ， 称为关于  的一个“本原”。

因为 ，所以恰当形式一定是闭形式，但閉形式是否為恰當形式並不顯然。考虑一个闭形式是不是恰当的，可由不同的条件检测拓扑信息來得知。问一个 0-形式是否恰当没有意义，因为  将阶数提高 1，不过可以规定恰当 0-形式就是零函数。

当两个闭形式的差是一个恰当形式时，称它们为相互上同调的。这便是说，如果  与  是闭形式，且存在某个  使得

那么  与  是互相上同调的。恰当形式经常称为上同调于零。相互上同调的形式的集合组成了一个德拉姆上同调类中的一个元素；对这样的类作一般性研究称为上同调理论。

 与  上的微分形式已经为十九世纪的数学物理所熟知。在平面上，0-形式就是函数，2-形式是函数乘以基本面积元  ，故只有 1-形式

具有真正的意义，其外导数  是

这里下标表示偏导数。从而 “闭”的条件是

当  是一个函数时则

“恰当形式是闭形式”便是关于 x 与 y 二阶导数的对称性的一个推论，这可以直接推广到高维情形。

在上，恰当 1-形式相当于有势场（保守场），闭 1-形式相当于无旋场。故“恰当形式是闭形式”用向量分析的语言来说相当于有势场一定是无旋场。

 庞加莱引理 
庞加莱引理指出，在 一个n-维度域 Rn 中的开球上的每个封闭的p-微分形式对于 p 都是恰当的，这里 1 ≤ p ≤ n 。 更一般地，引理指出，在流形的可收缩开子集（例如 ）上，闭 p-形式 p > 0 时是恰当的。[需要解释] 

参考文献

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