重心坐标

数学中，重心坐标是由单形（如三角形或四面体等）顶点定义的坐标。重心坐标是齐次坐标的一种。

设v1, ..., vn是向量空间V中一个单形的顶点，如果V中某点p满足，



那么我们称系数（λ1, ..., λn）是 p关于v1, ..., vn的重心坐标。这些顶点自己的坐标分别是（1, 0, 0, ..., 0），（0, 1, 0, ..., 0）, ...,（0, 0, 0, ..., 1）。重心坐标不是惟一的：对任何不等于零的k，（k λ1, ..., k λn）也是p的重心坐标。但总可以取坐标满足
λ1 + ...+ λn = 1，称为正规化坐标。注意到定义式在仿射变换下不变，故重心坐标具有仿射不变性。

如果坐标分量都非负，则p在v1, ..., vn的凸包内部，即由这些顶点组成的单形包含p。我们设想如果有质量λ1, ..., λn分别位于单形的顶点，那么质量中心就是p。这是术语“重心”的起源，1827年由奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯最初引入。

 三角形的重心坐标 

在三角形情形中，重心坐标也叫面积坐标，因为P点关于三角形ABC的重心坐标和三角形PBC, PCA及PAB的（有向）面积成比例，证明如下（如右图所示）。

我们用黑体小写字母表示对应点的向量，比如三角形ABC顶点为和，P点为等。设PBC, PCA及PAB面积之比为且，设射线AP与BC交于D，则
从而
，故

所以，就是P的重心坐标。

 坐标变换 
给定三角形平面一点P，我们将这一点的面积坐标，和用笛卡尔坐标表示出来。

利用笛卡尔坐标中的三角形面积公式：

我们可得：

类似地有，注意ABC构成一个三角形，上式的分母不可能为0。

反过来则简单得多：
故
和

 判断一点的位置 
因重心坐标是笛卡尔坐标的一个线性变换，从而它们在边和三角形区域之间的变化是线性的。如果点在三角形内部，那么所有重心坐标属于开区间；如果一点在三角形的边上，至少有一个面积坐标为0，其余分量位于闭区间。如果有某个坐标小于0，则位于三角形外部，具体分布可参考上图。
图示中，B和C顶端的坐标正负反了，B的应该是（-,+,-），C的是（-,-,+）

 应用 
面积坐标在涉及到三角形子区域的工程学问题时特别有用，经常可以化简解析积分求值，高斯积分法表也常以面积坐标的形式给出。

考虑由顶点, 和定义的三角形T，任何在三角形内部的点都能写成顶点的加权和：

这里、和是面积坐标。注意到。从而，函数在T上的积分为：

这里S是三角形T的面积。注意上式具有线性插值的形式。

重心坐标提供了一种非结构网格上函数插值的方法，假设函数值在所有网格的顶点上已知。如果，则点位于三角形内部或边界上。我们取的插值为

这个线性插值是自动正规的因为。

 四面体的重心坐标 
重心坐标容易推广到三维空间。3维单形即四面体，具有四个三角形面和四个顶点。

完全类似于三角形，四面体的顶点的重心坐标为（1,0,0,0），为（0,1,0,0），如是等等。

点的笛卡尔坐标和为关于四面体的重心坐标的关系：

这里为组成的四面体的体积，类似于三角形也可以用笛卡尔坐标的一个行列式表示出来。

3维重心坐标和2维一样，可以确定一点是否位于四面体内部，也能对四面体网格上函数插值。因为利用重心坐标可以极大地简化3维插值，四面体网格经常用于有限元分析。

 参考文献 





 外部链接 
 重心坐标：一个有意思的运用 （解“三杯子问题”）位于cut-the-knot
 齐次重心坐标在平面欧几里得几何中的运用

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