坡印亭定理

在电磁学中，坡印亭定理（）是偏微分方程形式說明电磁场的能量守恒的定理，由英国物理学家约翰·亨利·坡印廷发现。坡印亭定理类似于经典力学中的功-能原理，在数学形式上与连续性方程相似。它把能量密度的时间导数，能量的流动，和电磁场做功的速率联系起来。

 陈述 

一般形式
此定理概念上是指能量守恆：Introduction to Electrodynamics (3rd Edition), D.J. Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, p.364, ISBN 81-7758-293-3

此定理还有一种陈述：

数学上，用微分形式概括为：

其中  是坡印亭矢量（能量流）的散度，而  是场中带电物体做功的功率（ 为对应于电荷运动的自由电流密度， 为电场强度， 为点积）。能量密度 u 为：Electromagnetism (2nd Edition), I.S. Grant, W.R. Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, chapters 2 and 6, ISBN 9-780471-927129

其中 D 是电位移矢量，B 是磁感应强度而 H 是磁场强度，ε0 是真空電容率，μ0 是真空磁导率。 由于电荷可以自由移动，D 与 H 场忽略任何束缚电荷和电流的电荷分布（由定义），J 是自由电流密度，不是全电流的电流密度。

利用散度定理，坡印亭定理可以改写为积分形式：

其中  为 V 的边界。该体积的形状似任意的但对于计算是固定的。

 電機工程 

在電機工程中，该定理通常写成以下把能量密度 u 展开的形式，這與流體力學之连续性方程相似：

其中

 是驱动电场建立的无功功率的密度，
 是驱动磁场建立的无功功率的密度，
 由洛仑兹力作用在载流子上损耗的电功率的密度。

推导

虽然能量守恒定律和洛伦兹力定律可以导出该定理的一般形式，要推导坡印亭矢量的表达式并由此完整叙述，还需要用到馬克士威方程組。

坡印廷定理

考虑到以上叙述 - 这个定理有三个元素，涉及将（单位时间）能量转移写成体积分：

所以，根据能量守恒定律，单位时间内的能流平衡方程是该定理的积分形式：

由于体积 V 是任意的，对所有体积来说都是成立的，这意味着

这是坡印廷定理的微分形式。

坡印亭矢量

从定理可以得到坡印亭矢量 S 的实际形式。能量密度的时间导数（运用向量点乘的乘积法则）为

使用本构关系

时间偏导意味着要用到馬克士威方程組的两个方程。求麦克斯韦–法拉第方程与 H 的点积：

再求麦克斯韦–安培方程与 E 的点积：

总和目前的结果得到：

然后，利用向量微积分恒等式：

给出了坡印廷矢量的表达式：

物理上意味着由于时变电场和磁场的能量传递与这两种场垂直。

参见

坡印亭矢量

参考文献

外部链接
ScienceWorld上的“坡印亭定理” 

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