精確對角化法

在量子力學中的一個量子系統，物理學家最有興趣的是找出這個量子系統的基態，也就是能量本徵值最小的態，例如：兩個自旋1/2的粒子所形成的量子系統中，若粒子之間的交互作用可寫成

其中、、表示第個自旋的包立矩陣。將上面4×4的矩陣對角化後可得本徵值：，對應的本徵向量為，而  即為這個系統中的基態。

可想而知，隨著量子系統的粒子數變多，且交互作用愈來愈複雜時，量子系統的基態很難用解析的方法計算出來，因此許多物理學家轉向利用數值方法來求得基態。

精確對角化法（exact diagonalization）是一個最直接求得基態的數值方法，但由於將哈密頓算符完整對角化非常花費時間與電腦記憶體，所以當需要的只是基態和少數激發態，通常利用Lanczos演算法和Davidson演算法。精確對角化法本身的物理概念極為簡單，若是只需要得到極小尺寸的結果，在程式撰寫方面也很容易，然而增加系統尺寸時，隨著所需的記憶體暴增，程式設計變得非常困難。主要困難之處在於如何有效運用有限的記憶體，以及提升程式運作的效率。目前電腦的條件下，精確對角化法的尺寸極限如下：

 一維自旋-1/2的環：36個格點。
 二維自旋-1/2的平方晶格：40個格點。
 二維t-J模型的平方晶格：32個格點，4個電洞。
 二維Hubbard模型的平方晶格：32個格點。
 一維Holstein 链：14個格點。

 完整對角化法（Householder method） 

 Lanczos演算法 
Lanczos演算法是由數學家所發明。

 對稱性與好量子數 

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