字 (群論)

在群論中，字是群的任何元素和它們的逆元寫成的乘積。例如，如果 x, y 和 z 是群 G 的元素，則 xy, z-1xzz 和 y-1zxx-1yz-1 都是集合 {x, y, z} 形成的字。字在自由群和展示理論中扮演重要角色，并是組合群論的中心研究對象。

定義
設 G 是群，并設 S 是 G 的子集。S 形成的字是如下形式的表達式

這里的 s1,...,sn 是 S 的元素并且每個 εi 都是 ±1。數 n 叫做字的長度。

用 S 形成的每個字表示 G 的一個元素，也就是這個表達式的乘積。按慣例，單位元可以被表示為空字，它是長度為零的唯一的字。

符號

在書寫字的時候，經常使用指數符號來簡寫。例如，字

可以寫為
。
后者表達式自身不是個字，它簡單的是最初的字的簡寫符號表示。

在處理長字的時候，使用上劃線來指示 S 的元素的逆元是很有幫助的。使用上劃線符號，上述字可以寫為如下:
。

字和展示

群 G 的子集 S 叫做生成集，如果所有 G 的元素可以用 S 形成的字來表示。如果 S 是生成集，關係是表示在 G 中相同的元素的一對 S 形成的字。它們通常寫為等式:

關係的集合  定義 G，如果所有 G 中的關係可以從  的關係使用群公理在邏輯上推出。G 的展示是有序對 ，這里的 S 是 G 的生成集而  是關係的定義集合。

例如，克萊因四元群可以通過如下展示來定義

這里的 1 指示表示單位元的空字。

在 S 不是 G 的生成集的時候，用 S 形成的字表示的元素的集合是 G 的子群。這叫做 G 生成自 S 的子群，并通常指示為 。它是包含 S 的元素的 G 的最小子群。

簡約字

其中生成元接著它自己的逆元出現(xx-1 或 x-1x)的任何字可以通過省略冗余對來簡化:

這個運算叫做簡約，并且它不改變這個字表示的元素。(簡約可以被認為是從群公理推出的關係。)

簡約字是不包含冗余對的字。任何字都可以通過進行一序列的簡約而簡化成簡約字:

結果不依賴於進行簡約的次序。

如果 S 是任何集合， S 上的自由群是帶有展示  的群。就是說，在 S 上的自由群是 S 的元素在沒有額外的關係下生成的群。所有自由群的元素可以唯一的寫為 S 形成的簡約字。

一個字是循環簡約的，當且僅當字的所有循環置換是簡約的。

規範形式

帶有生成集合 S 的群 G 的規範形式是對給每個 G 的元素的 S 形成的一個簡約字的選擇。例如:
 字 1, i, j, ij 是克萊因四元群的規範形式。
 字 1, r, r2, ..., rn-1, s, sr, srn-1 是二面體群 Dihn 的規範形式。
 S 形成的簡約字的集合是 S 上的自由群的規範形式。
 形如 xmyn 對于 m,n ∈ Z 的字的集合是循環群〈x〉和〈y〉的直積的規範形式。

在字上的運算

兩個字的乘積可以通過串接獲得:

是兩個字都是簡約的，乘積也可能不是簡約的。

字的逆可以通過反轉每個生成元，并對換元素的次序來獲得:

字和它的逆元的乘積可以簡約為空字:

可以通過共軛把一個生成元從字的開始處移動到結尾處:

字問題

給定一個群 G 的展示 ，字問題是一個算法問題，給定 S 中的兩個字作為輸入，確定它們是否表示 G 的相同元素。字問題是 Max Dehn 在 1911 年提出的三個算法問題之一。Pyotr Sergeyevich Novikov 在 1955 年證明了存在有限展現的群 G 使得 G 的字問題是不可決定性的。

引用
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