线性微分方程

线性微分方程（）是数学中常见的一类微分方程。指以下形式的微分方程：



其中方程左侧的微分算子是线性算子，是要解的未知函数，方程的右侧是一个已知函数。如果()  0，那么方程(*)的解的线性组合仍然是解，所有的解构成一个向量空间，称为解空间。这样的方程称为齐次线性微分方程。当不是零函数时，所有的解构成一个仿射空间，由对应的齐次方程的解空间加上一个特解得到。这样的方程称为非齐次线性微分方程。线性微分方程可以是常微分方程，也可以是偏微分方程。

 简介 
线性微分方程是一类特殊的微分方程。一个线性微分方程的解构成向量空间或仿射空间，因此可以应用相关的代数知识来讨论解的性质。线性微分方程的普遍形式为：

其中的是一个线性的微分算子，也就是说，设有两个函数和以及两个常数和，那么：

如果是零函数，那么给定若干个方程(*)的解函数：以及同样多的常数系数：，线性组合仍然是方程(*)的解函数。这说明所有方程(*)的解函数构成一个线性空间，称为方程的解空间。如果不是零函数，那么考虑相应的齐次线性微分方程：

设是方程(*)的一个解函数。方程(**)的任意一个解函数。则它们的和仍然是(*)的解函数。另一方面，给定方程(*)的两个解函数：和。则它们的差会是方程(**)的解函数。这说明方程(*)的所有解函数都可以写成的形式。其中是方程(**)的解空间。所以方程(*)的所有解函数构成一个仿射空间，并且。

常系数齐次线性微分方程

一种解线性微分方程的方法是欧拉发现的，他意识到这类方程的解都具有的形式，其中是某个复数。因此，对于以下方程：

我们设，可得：

两边除以e zx，便得到了一个n次方程：

这个方程F(z) = 0称为特征方程。

一般地，把微分方程中以下的项

换成zk，便可得到特征方程。这个方程有n个解：z1, ..., zn。把任何一个解代入e zx，便可以得到微分方程的一个解：e zix。由于齐次线性微分方程满足叠加原理，因此这些函数的任意线性组合仍然满足微分方程。

如果特征方程的根都不重复，我们便得到了微分方程的n个解。可以证明，这些解是线性独立的。于是，微分方程的通解就是y = C1e z1x + C2e z2x + ...... + Cne znx，其中C1、C2、......、Cn是常数。

以上讨论了n个根全不相同的情形。如果这n个根中有两个（或多个）相同，用上面的方法就无法得出n个线性独立的解。但是，可以验证，如果z是特征方程的 mz 重根，那么，对于 ， 就是微分方程的一个解。对每个特征根 z，都能得到 mz 个解，所有这些解的线性组合就是方程的通解。

一般地，如果微分方程的系数Ai都是实数，那么它的解也应该表示成实数的形式。假如特征方程有复数根，那么它一定是成对的，也就是说，如果a + bi是特征方程的根，那么a - bi也是一个根。于是，y = e (a + bi)x和y = e (a - bi)x都是微分方程的解。但这两个解都是复数的形式。考虑到这两个解的任意线性组合也仍然是微分方程的解，我们可以把这两个解相加，再除以2，利用欧拉公式，便得到一个实数形式的解：y = e axcosbx。如果把两个解相减，再除以2i，便得到另一个实数形式的解：y = e axsinbx。于是，y = C1e axcosbx + C2e axsinbx就是微分方程的通解。

例子

求微分方程的通解。特征方程是，它的根是2+i和2−i。于是，就是微分方程的通解。

常系数非齐次线性微分方程

欲得到非齐次线性微分方程的通解，我们首先求出对应的齐次方程的通解，然后用待定系数法或求出非齐次方程本身的一个特解，把它们相加，就是非齐次方程的通解。

待定系数法
考虑以下的微分方程：

对应的齐次方程是：


它的通解是：

由于非齐次的部分是()，我们猜测特解的形式是：

把这个函数以及它的导数代入微分方程中，我们可以解出A：

因此，原微分方程的解是：

   ()

常数变易法

假设有以下的微分方程：

我们首先求出对应的齐次方程的通解，其中C1、C2是常数，y1、y2是x的函数。然后我们用常数变易法求出非齐次方程的一个特解，方法是把齐次方程的通解中的常数C1、C2换成x的未知函数u1、u2，也就是：

两边求導數，可得：

我们把函数u1、u2加上一条限制：

于是：

两边再求導數，可得：

把(1)、(3)、(4)代入原微分方程中，可得：

整理，得：

由于y1和y2都是齐次方程的通解，因此和都变为零，故方程化为：

(2)和(5)联立起来，便得到了一个和的方程组，便可得到和的表达式；再积分，便可得到和的表达式。

这个方法也可以用来解高于二阶的非齐次线性微分方程。一般地，有：

其中W表示朗斯基行列式。

变系数线性微分方程

n阶的变系数微分方程具有以下形式：

一个例子是柯西-欧拉方程：

变系数线性微分方程通常没有一般的方法可以求解，但一阶的变系数线性微分方程是例外。设有以下的一阶变系数线性微分方程：

这个方程可以用积分因子求解，方法是把两边乘以：

用乘法定则，可以简化为：



两边积分，得：





也就是说，一阶线性微分方程的解是：

其中是积分常数，且



例子
考虑以下一阶线性微分方程：

p(x) = b，r(x) = 1，因此微分方程的解为：

 拉普拉斯变换解微分方程

应用拉普拉斯变换解线性微分方程显得更为方便简单。

首先有以下关系：





有如下微分方程：



该方程可变换为：



则：

其中  是初始条件。

f(t)  通过拉普拉斯反变换  求得。

参见
拉普拉斯变换
傅里叶变换
里卡蒂方程
伯努利微分方程
柯西-欧拉方程
克莱罗方程
全微分方程

参考文献
 Stanley J. Farlow(1994). An introduction to differential equations and their applications. McGraw-Hill, Inc. ISBN 0-07-020030-0. p.131-139, p.158-162.

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