卷绕数

平面上的闭曲线关于某个点的卷绕数（Winding number），是一个整数，它表示了曲线绕过该点的总次数。卷绕数与曲线的定向有关，如果曲线依顺时针方向绕过某个点，则卷绕数是负数。

卷绕数在代数拓扑中是基本的概念，在向量分析、复分析、几何拓扑、微分几何和物理学中也扮演了重要的角色。

描述

假设在xy平面上有一条有向的闭曲线。我们可以把曲线想象为某个物体的运动轨迹，运动方向就是曲线的方向。曲线的卷绕数就是物体逆时针绕过原点的总次数。

计算绕过原点的总次数时，逆时针方向的运动算正数，顺时针方向的运动算负数。例如，如果物体首先依逆时针方向绕过原点四次，然后再依顺时针方向绕过原点一次，那么曲线的卷绕数就是3。

利用这种方案，根本不绕过原点的曲线的卷绕数就是零，而顺时针绕过原点的曲线的卷绕数就是负数。因此，曲线的卷绕数可以是任何整数。以下的图中显示了卷绕数为-2、-1、0、1、2和3的曲线：

  80px    80px    80px  −2−10  80px    80px    80px  123

正式的定义
x-y平面上的曲线可以用参数方程来定义：

如果我们把参数t视为时间，那么这个方程就描述了物体在和期间在平面上的运动。只要函数x(t)和y(t)是连续的，运动的轨迹就是一条曲线。只要物体的位置于和时相同，这条曲线就是闭曲线。

我们可以用极坐标系来定义这种曲线的卷绕数。假设曲线不经过原点，我们可以把参数方程写成极坐标的形式：

函数r(t)和θ(t)必须是连续的，。因为最初和最终的位置是相同的，所以θ(0)和θ(1)的差必须是2π的整数倍。这个整数就是卷绕数：

卷绕数

这个公式定义了xy平面上曲线关于原点的卷绕数。把坐标系平移，我们就可以把这个定义推广到关于任何点p的卷绕数。

其它定义
卷绕数在不同的数学领域中通常有不同的定义。以下的定义都与上面的定义等价。

微分几何
在微分几何中，通常假设参数方程是可微的（或至少分段可微的）。在这种情况下，极坐标系θ与直角坐标系x和y有以下的关系：

，其中

根据微积分基本定理，θ的总变化等于dθ的积分。因此，我们可以把可微曲线的卷绕数表示为一个曲线积分：

卷绕数

复分析
在复分析中，闭曲线C的卷绕数可以表示为复数坐标。特别地，如果我们记z = reiθ，那么：

因此：

ln(r)的总变化是零，因此dz ⁄ z的积分等于i乘以θ的总变化。所以：

卷绕数

更加一般地，C关于任何复数a的卷绕数由以下的公式给出：

这是柯西积分公式的一个特例。卷绕数在复分析中扮演了一个十分重要的角色（例如在留数定理的表述中）。

回转数
我们也可以考虑曲线关于它本身的卷绕数（又称为回转数，），也就是曲线的切向量旋转的次数。在右面的图中，曲线的回转数是4（或−4），那个小的回路也计算在内。这只对可微且光滑的曲线才有定义。参见：回转切线定理。

参见
 留数定理
 环绕数

参考文献
Krantz, S. G. "The Index or Winding Number of a Curve about a Point." §4.4.4 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 49-50, 1999. 

外部链接

Category:代数拓扑
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