舒尔补

在线性代数与矩阵论中，一个矩阵的子矩阵之舒尔补是一个与其余子阵同样大小的矩阵，定义如下：假设一个 (p+q)×(p+q)的矩阵M被分为A, B, C, D四个部分，分别是p×p、p×q、q×p以及q×q的矩阵，也就是说：

并且D是可逆的矩阵。则D在矩阵中的舒尔补是：

这是一个p×p的矩阵。

舒尔补得名于数学家伊赛·舒尔，后者用舒尔补来证明舒尔引理。然而，舒尔补的概念在之前就曾经被使用过。

背景
舒尔补实际上是对原来的矩阵M进行一系列的初等变换操作后得到的矩阵，其转换矩阵是下三角矩阵：

其中Ip表示一个p×p的单位矩阵。矩阵M右乘转换矩阵L之后，左上角就会出现舒尔补，具体的形式是：

因此，矩阵M的逆，如果存在的话，可以用以及其舒尔补（如果存在的话）来表示：

当p和q都等于1（即A、B、C和D都是系数）时，我们可以得到一般的2 × 2的矩阵的逆矩阵表达式：

这也说明了是非零的数。

 在矩阵方程求解中的应用 

舒尔补很自然地可以在如下的方程组求解中发挥作用：

其中x以及a是p维的列向量，而y以及b则是q维的列向量。矩阵A、B、C、D则同上面假设。将第二个方程左乘上矩阵，并将得到后的方程与第一个相减，就得到：

因此，如果可以知道D以及D的舒尔补的逆矩阵，就可以解出未知量x之后带入第二个方程就可以解出y。这样，就将矩阵的求逆问题转化成了分别求解一个p×p矩阵以及一个  q×q矩阵的逆矩阵的问题。这样就大大减低了复杂度（计算量）。实际上，这要求矩阵D满足足够好的条件，以使得算法得以成立。

 概率论和统计学中的应用 

假设有分别属于Rn以及Rm的随机列向量X, Y  ，并且Rn+m中的向量对 (X, Y)具有多维正态分布，其方差矩阵是对称的正定矩阵

那么X在Y给定时的条件方差是矩阵C在V中的舒尔补：

 参考来源 

 参见 

 Woodbury单位矩阵

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