環圖

在抽象代數子領域群論中，群的環圖展示了一個群的各種循環，并在小有限群的可視化中特別有用。對少於 16 個元素的群，環圖確定了群（在同構的意義下）。 

環是給定群元素 a 的冪的集合；這里的  an 是元素 a 的 n 次冪，被定義為 a 乘以自身 n 次的乘積。稱元素 a 生成了這個環。在有限群中，某個 a 的冪必定是單位元 e；最小的這種冪是環的階，即其中的不同元素的數目。在環圖中，環被表示為一系列的多邊形，頂點表示群元素，而連線指示在這個多邊形中所有元素都是同一個環的成員。

環

環可以交疊，或者它們除了單位元之外沒有公共元素。環圖把有價值的環顯示為多邊形。

如果 a 生成 6 階環(或簡稱是 6 階的)，則 a6 = e。那么 a² 的冪的集合 {a², a4, e} 是也一個環，但這實際上沒有什么新信息。類似的，a5 生成的環和 a 自身生成的環一樣。 

所以我們只需要考慮基本的環，即不是其他環的子集的環。它們都生成自某個基本元素 a。給最初群的每個元素一個頂點。對于每個基本元素，連接 e 到 a, a 到 a², ... an-1 到 an, ... 直到回到 e。結果是環圖。

(技術上說，上述描述蘊含了如果  a² = e，a 是 2 階的(對合)，它與 e 連接了兩條邊。習慣上只用一個邊。)

 性質 

作為群的環圖的一個例子，考慮二面體群 Dih4。下面左邊是這個群的乘法表，右邊是環圖，其中 e 指示單位元。


{| class="wikitable"
|-
! o
! e
! b
!  a
! a2
! a3
! ab
! a2b
! a3b
|- align="center"
! e
! e
| b
| a
| a2
| a3
| ab
| a2b
| a3b
|- align="center"
! b
| b
! e
| a3b
| a2b
| ab
| a3
| a2
| a
|- align="center"
! a
| a
| ab
| a2
| a3
! e
| a2b
| a3b
| b
|- align="center"
! a2
| a2
| a2b
| a3
! e
| a
| a3b
| b
| ab
|- align="center"
! a3
| a3
| a3b
! e
| a
| a2
| b
| ab
| a2b
|- align="center"
! ab
| ab
| a
| b
| a3b
| a2b
! e
| a3
| a2
|- align="center"
! a2b
| a2b
| a2
| ab
| b
| a3b
| a
! e
| a3
|- align="center"
! a3b
| a3b
| a3
| a2b
| ab
| b
| a2
| a
! e
|}

注意環 e, a, a², a³。它可以從乘法表中 a 的連續的冪在事實上表現如此中看出來。反轉情況也為真，換句話說: (a³)²=a², (a³)³=a 而 (a³)4=e 。這種表現對於任何群眾任何環都為真 - 環可以按任何方向游歷。


包含非素數個元素的環將隱含擁有在圖中不連接出來的環。對於上面的群 Dih4，我們可能想要在 a² 和 e 之間連線；因為 (a²)²=e；但是因為 a² 是一個更大環的一部分，我們不這么做。

在兩個環共享非單位元的元素的時候可能有歧義。比如考慮簡單的四元群，它的環圖展示在右側。在中間行中每個元素在乘以自身的時候都得到 -1 (這里的單位元是 1)。在這種情況下我們可以使用不同顏色追蹤各個環，并且還采用對稱性處理。

如上所述，兩元素的環應該用兩條線連接，通常會縮略為一條線。

兩個不同的群可以有同樣結構的環圖，并只能通過乘積表，或依據群的基本元素標記圖中元素來區分。這個問題可能出現的最低階是下面展示的 16 階的群 Z2 x Z8 和模群的情況。(注意 - 在這些圖中有公共元素的環通過對稱性來區分。)


Z2 x Z8 的乘法表如下:

0123456789101112131415103254769811101312151423456789101112131415013254769811101312151410456789101112131415012354769811101312151410326789101112131415012345769811101312151410325489101112131415012345679811101312151410325476101112131415012345678911101312151410325476981213141501234567891011131215141032547698111014150123456789101112131514103254769811101312

 從環圖中可得出的其他信息 

 元素的逆元可以在環圖中識別出來。它是在相反的方向上有相同距離的元素。

 特定群家族的圖特征 

特定類型的群有典型的圖:

 循環群 Zn 簡單的是一個單一的 n 邊形環，每個元素都是一個頂點。

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|-
||center
||center
||center
||center
||center
||center
||center
||center
|-
||Z1
||Z2
||Z3
||Z4
||Z5
||Z6
||Z7
||Z8
|}

 在 n 是素數的時候，形如 (Zn)m 的群將有 (nm-1)/(n-1) 個 n 元素環共享單位元。

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|-
||center
||center
||center
||center
|-
||Z2²
||Z2³
||Z24
||Z3²
|}

 二面體群 Dihn 由一個 n 元素環和 n 個 2 元素環構成。

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|-
||center
||center
||center
||center
||center
||center
||center
|-
||Dih1
||Dih2
||Dih3
||Dih4
||Dih5
||Dih6
||Dih7
|}

 n次对称群，對於任何 n 階的群，n 次對稱群 Sn 都包含一個同構于這個群的子群。因此所有 n 階的群的環圖都是 Sn 的環圖的子圖。

 參見 

 小群列表
 凱萊圖

外部連結

 Cycle graph article on MathWorld

引用

 Shanks, D. Solved and Unsolved Problems in Number Theory, 4th ed. New York: Chelsea, 1993.

Category:有限群