凱萊定理

在群論中，凱萊定理（）聲稱所有群  都與在  上的對稱群  的一個子群同構。這代表我們可以將  的群運算視為在  的元素上的群作用。該定理以英國數學家阿瑟·凱萊命名。

集合  的置換是任何從  到  的雙射函數。由所有置合構成集合與函數複合共同構成了一個群，稱為「  上的對稱群」，并記為 。

凱萊定理通過把任何群（包括無限群，如 ）都當作某個底層集合的置換群，把所有群都放在了同一個根基上。因此，對置換群成立的定理對於一般群也成立。

 歷史 

Burnside
將其歸功於Jordan，但是 
Eric Nummela爭論說這個定理的名字“凱萊定理”事實上是合適的。凱萊在他最初介紹群概念的1854年論文中證明了定理中的對應是一一對應，但是沒能明確的證明它是同態(因此是同構)。但是，Nummela提示大家注意凱萊讓當時的數學界知道了這個結果，因此比Jordan要提前了16年。

 定理的證明 

令  為一個群，由逆元的唯一性可以得出對于任何  中元素  ，有  ，以及  其中  是邏輯關係當且僅當的記號。所以左乘  充當了雙射函數  ，其定義為 。所以，  是  的置換，并因此是  的一個元素。

如下定義  的子集 

  并且對所有 有 

 是同構於  的一個子群。得出這個結果的最快方式是考慮函數  ，  。(對  中的複合使用"·")，  是一個群同態，這是因為所有  中的  ，有





同態  也是一個單射，因為  （ 中的單位元）蘊含了對于所有  中使得  的  。選取x為G的單位元e產生g = g*e = e。

另一個  為單射的證明是因為可以從  推出  。

因此  同構於  的像，即子群  。

 有時叫做  的正規表示。

 另一个證明 

另一个證明使用了群作用的概念。考慮群為G-集合，可以證明它有置換表示。

首先假設帶有。則根據G-軌道分類這個群作用是（也叫做軌道-穩定集定理）。

現在這個表示是忠实的，如果是單射，就是說，如果的核是平凡的。假設 ∈  ker ，則，通過置換表示和群作用的等價性。但是因為 ∈  ker , 并因此ker 是平凡的。則im 并因此利用第一同構定理得出結論。

對正規群表示的注記

單位元對應於恒等置換。所有其他的群元素對應於不留下任何元素不變的置換。會因為這也適用於群元素的冪，小于這個元素的階，每個元素對應於由相同長度的環構成的置換：這個長度是這個元素的階。在每個環中的元素形成了這個元素生成的子群的左陪集。

正規群表示的例子

Z2 = {0,1}帶有模2加法，群元素0對應於恒等置換e，群元素1對應於置換 (12)。

Z3 = {0,1,2}帶有模3加法；群元素0對應於恒等置換e，群元素1對應於置換 (123)，而群元素2對應於置換 (132)。比如1 + 1 = 2對應於 (123)(123)=(132)。

Z4 = {0,1,2,3}帶有模4加法；它的元素對應於e, (1234), (13)(24), (1432)。

克萊因四元群{e, a, b, c}的元素對應於e, (12)(34), (13)(24)和 (14)(23)。

S3（6階二面體群）是三個對象的所有置換的群，但也是6個群元素的置換群：

 * e a b c d f 置換 e e  a  b  c  d  f  e a a  e  d  f  b  c  (12)(35)(46) b b  f  e  d  c  a  (13)(26)(45) c c  d  f  e  a  b  (14)(25)(36) d d  c  a  b  f  e  (156)(243) f f  b  c  a  e  d  (165)(234)

 引用 

 參見 
米田引理

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