24点

24点游戏（在香港也稱「合廿四」）J、Q、和K去除，或当成10；还有一个版本是把J表示11，Q表示12，K代表13。

有些组合有多种算法，例如2，4，6，Q四张牌可用 2 + 4 + 6 + 12 = 24 或 4×6 ÷ 2 + 12 = 24 或 12 ÷ 4×(6 + 2) = 24等来求解。也有些组合算不出24，如1、1、1、1 和 6、7、8、8等组合。

 较有难度的24点 
虽然大多数24点存在很多解法，有相当一部分数字组合只存在單一的解法。这种组合往往较有难度，也较为有趣。这里总结一些常见的组合。

 分数或小数运算 
虽然给出4个数字都是整数，中间步骤中有时会出现分数或小数。这种4个数字的组合往往较有难度。一个经典的例子是1，5，5，5，其解答为5×(5 − 1 ÷ 5) = 24；另外
一个例子是3，3，8，8，其解答为8 ÷ (3 - 8 ÷ 3) = 24。因为后者用到了两次除法，其解法比较难以想到。另外一些类似的组合为：

 数字组合 解法  数字组合 解法  2,  4, 10, 10  (2 + 4 ÷ 10)×10  2,  5,  5, 10  (5 − 2 ÷ 10)×5  2,  7,  7, 10  (2 + 10 ÷ 7)×7  3,  3,  7,  7  (3 + 3 ÷ 7)×7  4,  4,  7,  7  (4 − 4 ÷ 7)×7  2,   2,  11,  11   (2 + 2 ÷ 11)×11  2,   2,  13, 13   (2 − 2 ÷ 13)×13  1,   3,   4,   6  6 ÷ (1 − 3 ÷ 4)  2,   3,   5,  12   12 ÷ (3 − 5 ÷ 2)  1,   8,  12,  12   12 ÷ (12 ÷ 8 - 1)

 大数／奇数运算 
大多数组合中，中间步骤只会涉及到一些较小的数字（≤32）。但是有些组合中会涉及到一些较大数字，这些组合通常较有难度。比如4、4、10、10的解法为(10×10 − 4) ÷ 4 = 24，5、6、6、9的解法为6×9 − 5×6 = 24。此外如果运算涉及到一些奇数的运算也会增加难度，比如6、9、9、10的解法为9×10 ÷ 6 + 9 = 24。一些例子如下：

 数字组合 解法 数字组合 解法  1,  3,  9, 10  (1 + 10)×3 − 9  7,  8,  8, 10  10×8 − 7×8  9, 11, 12, 12  11×12 − 9×12  1,  2,  7,  7  (7×7 − 1) ÷ 2  3,  8,  8, 10  (8×10 − 8) ÷ 3  4,  8,  8, 11  (8×11 + 8) ÷ 4  5, 10, 10, 13  (10×13 − 10) ÷ 5  1,  5, 11, 11  (11×11 - 1) ÷ 5  1,  6, 11, 13  (11×13 + 1) ÷ 6  1,  7, 13, 13  (13×13 − 1) ÷ 7
 计算复杂性排行 
下面 17 组是由计算机根据计算复杂性和结构找到的最难组合，完整的 566 组有解（多组解则取最简单的情况）情况如附录。

 数字组合 解法 数字组合 解法数字组合解法 1，3，4，6(6/(1-(3/4))) 1，2，7，7(((7*7)-1)/2)3，3，7，7(((3/7)+3)*7) 1，4，5，6(4/(1-(5/6))) 3，5，10，10(3*(10-(10/5)))2，7，7，10(((10/7)+2)*7) 3，3，8，8(8/(3-(8/3))) 3，8，8，10(((10*8)-8)/3)2，2，7，10(((10/2)+7)*2) 1，6，6，8(6/(1-(6/8))) 4，4，10，10(((10*10)-4)/4)3，3，6，6(3*((6/3)+6)) 1，4，5，6(6/((5/4)-1)) 1，5，5，5((5-(1/5))*5)2，4，10，10(10*((4/10)+2))2，5，5，10((5-(2/10))*5)4，4，7，7((4-(4/7))*7)

 24点的组合数学 
其实独立的24点的个数并不多。如果每张牌面的数值被限制在1到K之间，独立的数字组合数由有重复的组合数给出：
。
譬如，如果最大的牌面数值为10，那么独立的数字组合为715个，远比10000要小；如果最大的牌面数值为13，那么独立的数字组合为1820个。这是因为其他的组合可以通过简单的数字交换得到。

可以用枚举证明，如果最大牌面数值为10，在715个组合中，有149个组合是没有解的。此外，如果我们随机地取4个1-10之间的数字，无解的概率为1442/10000大致为1/7。如果最大牌面数值为13，则会有458个组合无解（总数为1820）。

 推广 

24点游戏可以被推广到多张牌（n>4）的情形。通常我们假定这n张牌是从一副牌中选出的，也就是说，每个数字至多出现4次。比如在5张牌、最大数值为10的情况下，有1992种不同的组合方式。其中无解的比例大大降低，一共为如下37种。如果最大数值为13，则无解的总数扩大为80。

1  1  1  1  2 1  1  1  1  3 1  1  1  1  4 1  1  1  1  5 1  1  1  2  2 1  1  1  2  3 1  1  1  9  9 1  1  1  9 10 1  1  1 10 10 1  1  2  2  2 1  1  6  7  7 1  1  7  7  7 1  1  9  9  9 1  1  9  9 10 1  1 10 10 10 1  5  9  9  9 1  6  7  7  7 1  7  7  7  7 1  7  9  9  9 1  8  9  9 10 1  8  9 10 10 1  9  9  9  9 1  9  9  9 10 1  9  9 10 10 1  9 10 10 10 1 10 10 10 10 2  9  9  9  9 3  5  5  5  5 4  9  9  9  9 6  7  7  7  7 6 10 10 10 10 8  9  9  9 10 8  9  9 10 10 9  9  9  9 10 9  9  9 10 10 9  9 10 10 10 9 10 10 10 10 

注意到，以上罗列的情形中并没有5个相同数字的组合，比如，5个1，这是因为一副牌最多只有4个相同数字的牌。

在6张牌的情况下，4905种不同的组合方式中仅有3种组合是无解的：1 1 1 1 2 2，9 9 9 10 10 10 和9 9 10 10 10 10。在7张牌的情况下，所有组合方式（10890种）都有解。

 影响 
這游戏在中美两国都十分流行，也是课堂教学的内容之一。王萍萍, 吴兰,  贾梅. 一节“算24点”活动课的创新教育启示 《中学数学月刊》, 2015 (11) :13-16 

参考

 參見 
21点

Category:數學遊戲
Category:扑克牌游戏