格尔丰德-施奈德定理

格尔丰德-施奈德定理（）是一个可以用于证明许多数的超越性的结果。这个定理由苏联数学家亚历山大·格尔丰德和德国数学家西奧多·施耐德在1934年分别独立证明，它解決了希尔伯特第七问题。

 表述 

如果和是代数数，其中，且不是有理数，那么任何的值一定是超越数。

 评论 

  和  不限于实数，也可以是虚部不为零的复数。因此，可以是多值的，其中“log”表示复数对数，且该定理对每个值都是成立的。
 该定理的一个等价的表述是：如果  和  是非零的代数数，那么  要么是有理数，要么是超越数。
 使用反證法。
 令 
 假設  不為超越數，也不為有理數，即為代數數
 根據此定理， 為超越數
 但  卻是代數數，矛盾。
 故  要么是有理数，要么是超越数。
 如果没有 ， 是代数数的限制，这个定理未必成立。例如：
 令  為超越數（由本定理可得知）， 為代數數，則
，是代數數。
 令  為代數數， 為超越數，則
，是代数数。

 定理的应用 

利用这个定理，立刻就可以推出以下实数的超越性：

 （格尔丰德-施奈德常数）和它的平方根 。
 格尔丰德常数



 参见 

 林德曼-魏尔斯特拉斯定理
 Schanuel猜想，如果证明了这个猜想，就可以同时推出格尔丰德-施奈德定理和林德曼-魏尔斯特拉斯定理。

 参考文献 
 Irrational Numbers, by Ivan Niven; Mathematical Association of America; ISBN 0-88385-011-7, 1956


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