算术-几何平均值不等式

算术-几何平均值不等式，簡稱算几不等式，是一个常见而基本的不等式，表现算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。设为个非負实数，它们的算术平均数是，它们的几何平均数是。算术-几何平均值不等式表明，对任意的非负实数：

等号成立当且仅当。

通常用于两个数之间，设这两个数为和，也就是

算术-几何平均值不等式仅适用于非負实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。

算术-几何平均值不等式有時被称为平均值不等式（或均值不等式），其實后者是一组更廣泛的不等式。

例子
在的情况，设：，那么 

可见。

历史上的证明
历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。的情况很早就为人所知，但对于一般的，不等式并不容易证明。1729年，英国数学家麦克劳林最早给出一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。

柯西的证明
1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出一个使用逆向归纳法的证明Augustin-Louis Cauchy, Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique, premier partie, Analyse algébrique,  Paris, 1821. p457.：

命题：对任意的个正实数，

当时，显然成立。假设成立，那么成立。证明：对于个正实数， 




假设成立，那么成立。证明：对于个正实数，设，，那么由于成立，。

但是，，因此上式正好变成

也就是说

综上可以得到结论：对任意的自然数，命题都成立。这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数，命题都成立。因此对任意的，可以先找使得，再结合第三条就可以得到命题成立了。

归纳法的证明
使用常规数学归纳法的证明则有（George Chrystal）在其著作《代数论》（Algebra）的第二卷中给出的George Chrystal, Algebra:An Elementary Text-Book, Part II , Chapter XXIV.p46.：

由对称性不妨设是中最大的，由于，设，则，并且有。

根据二项式定理，

于是完成了从到的证明。

此外还有更简洁的归纳法证明P. H. Diananda , A Simple Proof of the Arithmetic Mean Geometric Mean Inequality ,The American Mathematical Monthly, Vol. 67, No. 10 (Dec., 1960), pp. 1007：

在的情况下有不等式和成立，于是：

所以，从而有。

基于琴生不等式的证明
注意到几何平均数实际上等于，因此算术-几何平均不等式等价于：
 。
由于对数函数是一个凹函数，由琴生不等式可知上式成立。

基于排序不等式的证明
令，于是有，再作代换，运用排序不等式得到：
 ，
于是得到，即原不等式成立。

此外还有基于伯努利不等式或借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。

推广
算术-几何平均不等式有很多不同形式的推广。

加权算术-几何平均不等式

不仅“均匀”的算术平均数和几何平均数之间有不等式，加权的算术平均数和几何平均数之间也有不等式。设和为正实数，并且，那么：
 。

加权算术-几何平均不等式可以由琴生不等式得到。

矩阵形式
算术-几何平均不等式可以看成是一维向量的系数的平均数不等式。对于二维的矩阵，一样有类似的不等式：
对于系数都是正实数的矩阵

设，，那么有：

也就是说：对个纵列取算术平均数，它们的几何平均小于等于对个横行取的个几何平均数的算术平均。

极限形式
也称为积分形式：对任意在区间上可积的正值函数，都有 

这实际上是在算术-几何平均值不等式取成后，将两边的黎曼和中的趋于无穷大后得到的形式。

算術-幾何-調和平均值不等式
若再規定的调和平均数

則有

且等号依舊成立当且仅当。

證明由算術-幾何平均值不等式知

故

即

且等號成立於

即

参见
平均数不等式
算术平均数
几何平均数
幂平均不等式
杨氏不等式

参考来源

匡继昌，《常用不等式》，山东科技出版社。
李胜宏，《平均不等式与柯西不等式》，华东师大出版社。
莫里斯·克莱因（Morris Kline），张理京 张锦炎 江泽涵 译，《古今数学思想》，上海科学技术出版社。
李兴怀，《学科奥林匹克丛书·高中数学》，广东教育出版社。

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Category:平均数