判别式

判別式是代数学中的概念，它可以推斷出一个实系数或复系数多项式的根的屬性。

当多项式的系数不是实数或复数域时，同样有判别式的概念。判别式总是系数域中的元素。这时，判别式为零当且仅当多项式在它的分裂域中有重根。判别式的通常形式为：

其中的是多项式的最高次项系数，是多项式在某个分裂域中的根（如有重根的按重数重复排列）。

判别式的概念也被推广到了多项式以外的其它代数结构，比如说圆锥曲线、二次型和代数数域中。在代数数论中，判别式与所谓的“分歧”的概念紧密相关。实际上，愈为几何的分歧类型对应着愈为抽象的判别式类型，因此在许多方面判别式都是一个中心概念。判别式在本质上表现为相应行列式的计算。

 定义 
二次方程的判别式
最简单的判别式情形出现在二次多项式方程的求解中。假设有二次多项式方程，其中系数为实数，则它的判别式定义为：

判别式也是一个实数。如果设方程的两个根为和，那么根据二次方程的求根公式，两个根可以表示为：

方程的根与判别式的关系为：

两个根都是实数，当且仅当判别式大于等于零。当且仅当两根相等时，判别式等于零。如果判别式小于零，则两根是共轭的复数。
三次方程的判别式
 一般三次多项式的判别式是


 首項為一元，二次項系數為零的三次方程的判别式是： 


四次方程的判别式
 四次多項式的判别式是：

 二次判别式 

二次多项式的判别式是。在一元二次方程的求解中，判别式用来判断方程根的情况，并出现在根的表达式中。 
 如果，那么有两个相异实根，即的图像穿过轴两次。
 如果，那么有两个相等实根，的图像与轴相切。
 如果，那么没有实根，即的图像与轴没有交点。

 一般多项式的判别式 

对于一般的一个多项式
，
其判别式等于（差一个系数）以下的的矩阵的行列式（见西尔维斯特矩阵）：

这个矩阵的行列式称为和的结式，记为。的判别式由以下公式给出：
.

例如，在的情况下，以上的行列式是： 

这个四次多项式的判别式就是这个行列式除以。

作为等价条件，多项式的判别式等于：

其中是多项式的複根（重根按重数计算）：

在这个表达式中可以清楚地看到有重根当且仅当判别式为零。

多项式的判别式可以在任意的域中定义，定义方式一样。带有根的表达式仍然有效，只是根要在系数域的某个分裂域中取。

 圆锥曲线的判别式 

对于以下多项式所定义的圆锥曲线：

它的判别式为：

它决定了圆锥曲线的形状。如果判别式小于0，则是椭圆或圆。如果判别式等于0，则是一条抛物线。如果大于0，则是双曲线。这个公式不适用于退化的情形（当这个多项式可以因式分解时）。

 二次型的判别式 
判别式的概念可以推广到任意特征不为2的域上的二次型上。一个化简后的二次型可以表示为一系列的平方和： 


其中是个变量的线性组合。这时可以定义的判别式为所有的乘积。另外一个定义是所对应的矩阵的行列式。

 代数数域的判别式 

 参见 
 二次函数
 一元二次方程
 多项式
 圆锥曲线
 二次型

 参考资料与外部链接 
 结式与判别式的关系
 Mathworld中的文献
 Planetmath中的文献

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