椭圆积分

在积分学中，椭圆积分最初出现于椭圆的弧长有关的问题中。和欧拉是最早的研究者。现代数学将椭圆积分定义为可以表达为如下形式的任何函数 的积分

其中是其两个参数的有理函数，是一个无重根的或阶多项式，而是一个常数。

通常，椭圆积分不能用基本函数表达。这个一般规则的例外出现在有重根的时候，或者是,没有的奇数幂时。但是，通过适当的简化公式，每个椭圆积分可以变为只涉及有理函数和三个经典形式的积分。（也即，第一，第二，和第三类的椭圆积分）。

除下面给出的形式之外，椭圆积分也可以表达为勒让德形式和Carlson对称形式。通过对施瓦茨-克里斯托费尔映射的研究可以加深对椭圆积分理论的理解。历史上，椭圆函数是作为椭圆积分的逆函数被发现的，特别是这一个：其中是雅可比正弦椭圆函数。

记法
椭圆积分通常表述为不同变量的函数。这些变量完全等价（它们给出同样的椭圆积分），但是它们看起来很不相同。很多文献使用单一一种标准命名规则。在定义积分之前，先来检视一下这些变量的命名常规：

   模角;
  椭圆模;
  参数;

上述三种常规完全互相确定。规定其中一个和规定另外一个一样。椭圆积分也依赖于另一个变量，可以有如下几种不同的设定方法：

  幅度
  其中
 ，其中而是雅可比椭圆函数之一

规定其中一个决定另外两个。这样，它们可以互换地使用。注意也依赖于。其它包含的关系有

和

后者有时称为δ幅度并写作。有时文献也称之为补参数，补模或者补模角。这些在四分周期中有进一步的定义。

第一类不完全椭圆积分
第一类不完全椭圆积分 定义为

与此等价，用雅可比的形式，可以设
；则

其中，假定任何有竖直条出现的地方，紧跟竖直条的变量是（如上定义的）参数；而且，当反斜杠出现的时候，跟着出现的是模角。
在这个意义下，，这里的记法来自标准参考书Abramowitz and Stegun。

但是，还有许多不同的用于椭圆积分的记法。取值为椭圆积分的函数没有（像平方根，正弦和误差函数那样的）标准和唯一的名字。甚至关于该领域的文献也常常采用不同的记法。Gradstein, Ryzhik , .(8.111)]采用。该记法和这里的；以及下面的等价。

和上面的不同对应的是，如果从Mathematica语言翻译代码到Maple语言，必须将EllipticK函数的参数用它的平方根代替。反过来，如果从Maple翻到Mathematica，则参数应该用它的平方代替。Maple中的EllipticK()几乎和Mathematica中的EllipticK[]相等；至少当时是相等的。

注意

其中如上文所定义：由此可见，雅可比椭圆函数是椭圆积分的逆。

加法公式

性质

第一类不完全椭圆积分的导数

第二类不完全椭圆积分
第二类不完全椭圆积分 是

与此等价，采用另外一个记法（作变量替换），

其它关系包括

加法公式

性质

第二类不完全椭圆积分的导数

第三类不完全椭圆积分
第三类不完全椭圆积分是


或者

或者

数字称为特征数，可以取任意值，和其它参数独立。但是要注意对于任意是无穷的。
加法公式

第三类不完全椭圆积分的导数

特殊值

第一类完全椭圆积分
如果幅度为或者，则称椭圆积分为完全的。
第一类完全椭圆积分可以定義为

或者

它是第一类不完全椭圆积分的特例：

这个特例可以表达为幂级数

它等价于

其中表示双阶乘。利用高斯的超几何函数，第一类完全椭圆积分可以表达为

第一类完全椭圆积分有时称为四分周期。它可以利用算术几何平均值來快速计算。

复数值

特殊值

其中

第一类完全椭圆积分满足

导数

漸近表示

這個近似在k<1/2時相對誤差小於，若只保留前兩項則誤差在k<1/2時小於0.01
微分方程
此函數滿足以下微分方程

此微分方程之另一解為，此解滿足以下關係。
.

第二类完全椭圆积分

第二类完全椭圆积分 可以定义为

或者

它是第二类不完全椭圆积分的特殊情况：

它可以用幂级数表达

也就是

用高斯超几何函数表示的话，第二类完全椭圆积分可以写作

有如下性质

复数值

特殊值

其中

导数、積分及微分方程

此微分方程之另解為。

第三类完全椭圆积分

第三类完全椭圆积分可以定义为

注意有时第三类椭圆积分被定义为带相反符号的，也即

用阿佩尔函数可表示为

第三类完全椭圆积分和第一类椭圆积分之间的关系

如

偏导数

特殊值

函數關係

勒讓得關係指出了第一类和第二类完全椭圆积分之间的联系:

参看
 椭圆曲线
 施瓦茨-克里斯托费尔映射
 雅可比橢圓函數
 魏爾斯特拉斯橢圓函數
 Θ函數
 算术-几何平均数

参考
 Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4.  (See chapter 17).
 Harris Hancock Lectures on the theory of Elliptic functions (New York, J. Wiley & sons, 1910) 
 Alfred George Greenhill The applications of elliptic functions (New York, Macmillan, 1892)
 Louis V. King On The Direct Numerical Calculation Of Elliptic Functions And Integrals (Cambridge University Press, 1924)

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