朗伯W函数

朗伯W函数（，又称为欧米加函数或乘积对数），是的反函数，其中是指数函数，是任意复数。对于任何复数，都有：

由于函数不是单射，因此函数是多值的（除了0以外）。如果我们把限制为实数，并要求是实数，那么函数仅对于有定义，在内是多值的；如果加上的限制，则定义了一个单值函数（见图）。我们有，。而在内的分支，则记为，从递减为。

朗伯函数不能用初等函数来表示。它在组合数学中有许多用途，例如树的计算。它可以用来解许多含有指数的方程，也出现在某些微分方程的解中，例如。

 微分和积分 
朗伯 函数的积分形式为

若  ,若 

把被积函数的实部和虚部分离出来：

设  ，则有  ，展开分离出实部和虚部，

,当时，易知 

若  ，上式还可化为

由隐函数的求导法则，朗伯函数满足以下的微分方程：

，

因此：

，

函数，以及许多含有的表达式，都可以用的变量代换来积分，也就是说

其中為欧米加常数。

 性质 

、，

其中是高德納箭號表示法。

、若，则

 泰勒级数 
在的泰勒级数如下：

收敛半径为  。

 加法定理 

 複數值 
實部
 , 
虛部
, 
模長

模角
, 
共軛值
, 

 特殊值 

（欧米加常数）



 应用 
许多含有指数的方程都可以用函数来解出。一般的方法是把未知数都移到方程的一侧，并设法化为的形式。

 例子 

例子1















更一般地，以下的方程


其中



两边同乘: ，

得到：

同除以：，

得到：

同除：，

可以用变量代换

令

化为



即：

同乘：

得出

故

带入

为

因此最终的解为

若辅助方程：中，

,

辅助方程无实数解，原方程亦无实解；

若：,

辅助方程有一实数解，原方程有一实解：

若: ,

辅助方程有二实解，设为，

，

为

例子2

用类似的方法，可知以下方程的解

为

或

例子3

以下方程的解

具有形式

例子4

  :  : 
取对数，








取倒数，




最终解为 : 

例子5

两边开次方并除以得

令 ，

化为

两边同乘

 ，

最终得

一般化
標準的 Lambert W 函數可用來表示以下超越代數方程式的解：

其中 a0, c   與 r  為實常數。

其解為

Lambert W 函數之一般化T.C. Scott and R.B. Mann, General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function, AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 17, no. 1, (April 2006), pp.41-47, ; Arxiv  T.C. Scott, G. Fee and J. Grotendorst, "Asymptotic series of Generalized Lambert W Function" , SIGSAM, vol. 47, no. 3, (September 2013), pp. 75-83T.C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst and W.Z. Zhang, "Numerics of the Generalized Lambert W Function" , SIGSAM, vol. 48, no. 2, (June 2014), pp. 42-56包括: 
 一項在低維空間內廣義相對論與量子力學的應用（量子引力），實際上一種以前未知的 連結 於此二區域中，如 “Journal of Classical and Quantum Gravity”P.S. Farrugia, R.B. Mann, and T.C. Scott, N-body Gravity and the Schrödinger Equation, Class. Quantum Grav. vol. 24, (2007), pp. 4647-4659, ; Arxiv   所示其 (1) 的右邊式現為二維多項式 x：

其中 r1 和 r2 是不同實常數，為二維多項式的根。於此函數解有單一引數 x 但 ri  和 ao 為函數的參數。如此一來，此一般式類似於 “hypergeometric”（超几何分布）函數與 “Meijer G“，但屬於不同類函數。當 r1 = r2，(2)的兩方可分解為 (1) 因此其解簡化為標準 W 函數。(2)式代表著 “dilaton”（軸子）場的方程，可據此推導線性，雙體重力問題 1+1 維（一空間維與一時間維）當兩不等（靜止）質量，以及，量子力學的特徵能Delta位勢阱給不等電位於一維空間。

量子力學的一特例特徵能的分析解三體問題，亦即（三維）氢分子離子。T.C. Scott, M. Aubert-Frécon and J. Grotendorst, New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion,  Chem. Phys. vol. 324, (2006), pp. 323-338,  ; Arxiv  於此 (1)（或 (2)）的右手邊現為無限級數多項式之比於 x：


 其中 ri 與 si 是相異實常數而 x 是特徵能和內核距離R之函數。式 (3) 與其特例表示於 (1) 和 (2) 是與一更大類型延遲微分方程。由于哈代的“虚假导数”概念，多根的特殊情况得以解决Aude Maignan, T.C. Scott, "Fleshing out the Generalized Lambert W Function", SIGSAM, vol. 50, no. 2, (June 2016), pp. 45-60。

Lambert "W" 函數於基礎物理問題之應用並未完全即使標準情況如 (1) 最近在原子，分子，與光學物理領域可見T.C. Scott, A. Lüchow, D. Bressanini and J.D. Morgan III, The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions, Phys. Rev. A 75, (2007), p. 060101,  以及黎曼假设的 Keiper-Li 准则 R.C. McPhedran, T.C Scott and Aude Maignan, "The Keiper-Li Criterion for the Riemann Hypothesis and Generalized Lambert Functions", ACM Commun. Comput. Algebra, vol. 57, no. 3, (December 2023), pp. 85-110

 图象 

 计算 

W函数可以用以下的递推关系算出：

参考来源

 外部链接 

 MathWorld 

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