共轭转置

矩阵的共轭转置（，又称埃尔米特共轭、埃尔米特转置（））的定义为：

其中表示矩阵i行j列上的元素，表示标量的复共轭。

这一定义也可以写作：

其中是矩阵A的转置，表示对矩阵A中的元素取复共轭。

通常用以下记号表示矩阵A的共轭转置：
 或，常用于线性代数
 ，普遍用于量子力学，而同時只表示為的複數共軛。Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics 2nd, 2005, pg. 443
 （但这一记号通常指矩阵的摩尔－彭若斯广义逆)

注意：某些情况下也指仅对矩阵元素取复共轭，而不做矩阵转置，切勿混淆。

实例
若
 ， 
则
。

基本评注

如果A的元素是实数，那么A*与A的转置AT相等。把复值方块矩阵视为复数的推广，以及把共轭转置视为共轭复数的推广通常是非常有用的。

元素为的方块矩阵A称为：
 埃尔米特矩阵或自伴矩阵，如果A = A*，也就是说， ；
 斜埃尔米特矩阵或反埃尔米特矩阵，如果A = −A*，也就是说， ；
 正规矩阵，如果A*A = AA*。

即使A不是方块矩阵，A*A和AA*仍然是埃尔米特矩阵和半正定矩阵。

性质

 (A + B)* = A* + B*。 
 (rA)* =  r*A*，其中r为复数，r*为r的复共轭。
 (AB)* = B*A*，其中A为m行n列的矩阵，B为n行p列矩阵。
 (A*)* = A 。 
 若A为方阵，则det(A*) = (det A)*，且tr(A*) = (tr A)* 。 
 A是可逆矩阵，当且仅当A*可逆，且有(A*)−1 = (A−1)* 。 
 A*的特征值是A的特征值的复共轭。
 <Ax,y> = <x, A*y>，其中A为m列n行的矩阵，复向量x为n维行向量，复向量y为m维行向量，<·,·>为复数的内积。

推广
 从上面给出的最后一个性质可以推出，如果我们把A视为从希尔伯特空间Cn到Cm的线性变换，则矩阵A*对应于A的自伴算子。于是，希尔伯特空间之间的自伴算子可以视为矩阵的共轭转置的推广。
 还可以进行另外一种推广：假设A是一个从复值向量空间V到W的线性映射，那么可以定义复共轭线性映射和线性映射的转置，并可以取A的共轭转置为A的转置的共轭复数。它把W的共轭对偶映射到V的共轭对偶。

 参见 
 埃尔米特伴随

 参考资料 

外部链接



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