二次函数

在数学中，二次函数（）表示形为 （，且、、是常数）的多项式函数，其中，为自变量，、、分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。二次函数的图像是一条主轴平行于轴的抛物线。

二次函数表达式的定义是一个二次多项式，因为的最高冪次是2。

如果令二次函数的值等于零，则可得一个一元二次方程式、二次方程式。该方程的解称为方程的根或函数的零点。

 历史 
大约在公元前480年，古巴比伦人和中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。

7世纪印度的婆罗摩笈多是第一位懂得用使用代数方程的人，它同时容许有正负数的根。

11世纪阿拉伯的花拉子米独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作Liber embadorum，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。

 根 

二次方程  的两个根为：解方程后，我们会得到两个根：和。则点和就是二次函数与轴的交点。根的类型如下：

 设為一元二次方程式的判別式，又記作D。
 當，则方程有两个不相等的根，也即与轴有两个不的交点，因为是正数。
 當，则方程有两个相等的根，也即与轴有一个切点，因为是零。
 當，则方程没有實數根，也即与  轴没有交点，因为是共軛複數。

设和，我们可以把因式分解为。

 二次函数的形式 
二次函数可以表示成以下三种形式：
  称为一般形式或多项式形式。
  称为因子形式或交点式，其中和是二次方程的两个根，, 是抛物线与轴的两个交点。
  称为标准形式或顶点形式，即為此二次函數的頂點。

把一般形式转换成因子形式时，我们需要用求根公式来算出两个根和，或是利用十字交乘法（適用於有理數）。把一般形式转换成标准形式时，我们需要用配方法。把因子形式转换成一般形式时，我们需要把两个因式相乘并展开。把因子形式轉換成標準形式有特殊的方法。

代表了二次函數的對稱軸，因此兩根的平均數即為

展開後比較後可得 

不通過和求及公式：

 (也作)

而在三種形式中皆出現的為此二次函數的領導係數，決定二次函數圖像開口的大小與方向。

 图像 

系数控制了二次函数从顶点的增长（或下降）速度，即二次函数开口方向和大小。越大，开口越小，函数就增长得越快。
系数和控制了抛物线的对称轴（以及顶点的坐标）。
系数控制了抛物线穿过轴时的倾斜度（导数）。
系数控制了抛物线最低点或最高点的高度，它是抛物线与轴的交点。

 函数 图像 函数变化 对称轴 开口方向 最大（小）值    thumb|center 当时，随的增大而增大；当时，随 的减小而增大 轴或 向上   center 当时，随 的增大而减小；当时，随 的减小而减小 轴或 向下   center 当时，随 的增大而增大；当时，随 的减小而增大 轴或 向上    center当时，随的增大而减小；当时，随 的减小而减小  轴或  向下   center当时， 随的增大而增大；当时，随的减小而增大   向上    center当时， 随的增大而减小；当时，随的减小而减小   向下 

 x 截距 
当函数与轴有两个交点时，设这两个交点分别为 ，由根与系数的关系得出：和

 顶点 

抛物线的顶点是它转弯的地方，也称为驻点。如果二次函数是标准形式，则顶点为。用配方法，可以把一般形式化为： 

因此在一般形式中，抛物线的顶点是：如果二次函数是因子形式，则两个根的平均数就是顶点的坐标，因此顶点位于时，顶点也是最大值；时，则是最小值。

经过顶点的竖直线又称为抛物线的对称轴。

 最大值和最小值 
 導數法 
函数的最大值和最小值总是在驻点（又称临界点，稳定点）取得。以下的方法是用导数法来推导相同的事实，这种方法的好处是适用于更一般的函数。

设有函数，寻找它的極值时，我们必须先求出它的导数：然后，求出的根：因此，是的值。现在，为了求出，我们把代入 ：所以，最大值或最小值的坐标为：

 配方法 

由於實數的二次方皆大於等於0，因此當時，有最大或最小值。

 二次函数的平方根 
二次函数的平方根的图像要么是椭圆，要么是双曲线。如果，则方程描述了一条双曲线。该双曲线的轴由对应的抛物线的最小值决定。如果最小值是负数，则双曲线的轴是水平的。如果是正数，则双曲线的轴是竖直的。如果，则方程的图像要么是一个椭圆，要么什么也没有。如果对应的抛物线的最大值是正数，则它的平方根描述了一个椭圆。如果是负数，则描述了一个空集。

 二元二次函数 
二元二次函数是以下形式的二次多项式：这个函数描述了一个二次曲面。把设为零，则描述了曲面与平面的交线，它是一条圆锥曲线。
 最小值/最大值 

如果，则函数没有最大值或最小值，其图像是双曲抛物面。

如果 ，则当时函数具有最小值，当具有最大值。其图像是椭圆抛物面。

二元二次函数的最大值或最小值在点  取得，其中：如果且，则函数没有最大值或最小值，其图像是抛物柱面。

如果且，则函数在一条直线上取得最大值/最小值。当时取得最大值，时取得最小值。其图像也是抛物柱面。

 註釋 

 参考资料 

 参考书目 
《代数1》， Glencoe, ISBN 0-07-825083-8
《代数2》，Saxon, ISBN 0-939798-62-X
參見
抛物线

外部連結


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分类:数学概念