可觀察量

在物理學裏，特別是在量子力學裏，處於某種狀態的物理系統，它所具有的一些性質，可以經過一序列的物理運作過程而得知。這些可以得知的性質，稱為可觀察量（）。例如，物理運作可能涉及到施加電磁場於物理系統，然後使用實驗儀器測量某物理量的數值。在經典力學的系統裏，任何可以用實驗測量獲得的可觀察量，都可以用定義於物理系統狀態的實函數來表示。在量子力學裏，物理系統的狀態稱為量子態，其與可觀察量的關係更加微妙，必須使用線性代數來解釋。根據量子力學的數學表述，量子態可以用存在於希爾伯特空間的態向量來代表，量子態的可觀察量可以用厄米算符來代表。

數學表述
本徵態
假設，物理量是某量子系統的可觀察量，其對應的量子算符，可能有很多不同的本徵值與對應的本徵態，這些本徵態，形成了具有正交歸一性的基底：
；

其中，是克羅內克函數。

任何描述這量子系統的量子態，都可以用這基底的本徵態表示為
；

其中，是複係數，是在量子態裏找到量子態的機率幅。

假設，量子態等於這些本徵態之中的一個本徵態，則對於這量子系統，測量可觀察量，得到的結果必定等與本徵值，機率為1，量子態是「確定態」。

統計詮釋
根據統計詮釋，對應於可觀察量的量子算符可能有很多本徵值，測量結果只能是其中一個本徵值，而且，每一個本徵值出現的機會呈機率性。測量這個動作會將量子系統的量子態改變為對應於本徵值的本徵態，並且，在之後短暫片刻內，量子系統的量子態仍舊是這本徵態。

假設，某量子系統的量子態為
。

測量這個動作會將量子系統的量子態改變為算符的一個本徵態。假設量子態改變為本徵態，則改變為這本徵態的機率為，測量結果是本徵值，得到這本徵值的機率也為。在測量之後短暫片刻內，量子系統的量子態仍舊是本徵態。

將算符作用於量子態，會形成新量子態：
。

從左邊乘以量子態，經過一番運算，可以得到
。

所以，每一個本徵值與其機率的乘積，所有乘積的代數和就是可觀察量的期望值：
。

厄米算符
每一種經過測量而得到的物理量都是實數，因此，可觀察量的期望值是實數： 
。

對於任意量子態，這關係都成立：
。

根據伴隨算符的定義，假設是的伴隨算符，則。因此，
。

這正是厄米算符的定義。所以，表現可觀察量的算符，都是厄米算符。

不相容可觀察量
假若兩種可觀察量的對易算符不等於0，則稱這兩種可觀察量為「不相容可觀察量」：
；

其中，、分別是可觀察量、的算符。

這兩種算符與絕對不會有共同的基底。一般而言，的本徵態與的本徵態不同假設量子系統的量子態為。對於算符，所有本徵值為的本徵態，形成一個基底。量子態可以表示為這組基底本徵態的線性組合：
；

其中，是複係數，是在量子態裏找到量子態的機率幅。

對於算符，所有本徵值為的本徵態，形成了另外一個基底。量子態可以表示為這組基底本徵態的線性組合：
；

其中，是複係數，是在量子態裏找到量子態的機率幅。

對於量子系統的可觀察量做測量，可能得到的結果是各種本徵態的本徵值，獲得這些不同結果的機會具有機率性，可以表達為機率分佈，結果為的機率是。

假設測量的結果是本徵值，則可以推斷，在測量之後短暫片刻內，量子態是本徵態。假若立刻再測量可觀察量，由於量子態仍舊是本徵態，所得到的測量值是本徵值機率為1。假若立刻再對本徵態測量可觀察量，則會得到統計性的答案。假設測量的結果是本徵值，則可以推斷，在測量之後短暫片刻內，量子態是本徵態。

根據不確定性原理，
。

設定。假設，與是兩個不相容可觀察量，則。而的不確定性與的不確定性的乘積，必定大於或等於。

實例
為了具體計算位置與動量的期望值，可以將量子態表現於位置空間，以位置空間的波函數來表示，使用對應的代數算符。

位置與動量
位置，動量都是可觀察量，它們的算符都是厄米算符：
，
。

角動量
在三維空間裏，角動量算符的x-分量是厄米算符。因為
；

其中，與分別是位置的y-分量與z-分量，與分別是動量的y-分量與z-分量。

類似地，角動量算符的y-分量也是厄米算符。

參閱
位置算符
動量算符
角動量算符
哈密頓算符

註釋

參考文獻

K