角動量算符

在量子力學裏，角動量算符（）是一種算符，類比於經典的角動量。在原子物理學涉及旋轉對稱性（）的理論裏，角動量算符佔有中心的角色。角動量，動量，與能量是物體運動的三個基本特性Introductory Quantum Mechanics, Richard L. Liboff, 2nd Edition, ISBN 0201547155。

簡介
角動量促使在旋轉方面的運動得以數量化。在孤立系統裏，如同能量和動量，角動量是守恆的。在量子力學裏，角動量算符的概念是必要的，因為角動量的計算實現於描述量子系統的波函數，而不是經典地實現於一點或一剛體。在量子尺寸世界，分析的對象都是以波函數或量子幅來描述其機率性行為，而不是命定性()行為。

數學定義
在經典力學裏，角動量  定義為位置  與動量  的叉積：
 。

在量子力學裏，對應的角動量算符  定義為位置算符  與動量算符  的叉積：
 。

由於動量算符的形式為
 。

角動量算符的形式為
 。

其中， 是梯度算符。

角動量是厄米算符
在量子力學裏，每一個可觀察量所對應的算符都是厄米算符。角動量是一個可觀察量，所以，角動量算符應該也是厄米算符。讓我們現在證明這一點，思考角動量算符的 x-分量  ：
 。

其伴隨算符  為
 。
由於  、 、 、 ，都是厄米算符，
 。

由於  與  之間、 與  之間分別相互對易，所以，
 。

因此， 是一個厄米算符。類似地， 與  都是厄米算符。總結，角動量算符是厄米算符。

再思考  算符，
 。

其伴隨算符  為
 。

由於  算符、 算符、 算符，都是厄米算符，
 。

所以， 算符是厄米算符。

對易關係

兩個算符  與  的交換算符  ，表示出它們之間的對易關係。

角動量算符與自己的對易關係
思考  與  的交換算符，

 。

由於兩者的對易關係不等於 0 ，  與  彼此是不相容可觀察量。 與  絕對不會有共同的基底量子態。一般而言， 的本徵態與  的本徵態不同。

給予一個量子系統，量子態為  。對於可觀察量算符  ，所有本徵值為  的本徵態  ，形成了一組基底量子態。量子態  可以表達為這基底量子態的線性組合： 。對於可觀察量算符  ，所有本徵值為  的本徵態  ，形成了另外一組基底量子態。量子態  可以表達為這基底量子態的線性組合： 。

根據哥本哈根詮釋，量子測量可以用量子態塌縮機制來詮釋。假若，我們測量可觀察量  ，得到的測量值為其本徵值  ，則量子態機率地塌縮為本徵態  。假若，我們立刻再測量可觀察量  ，得到的答案必定是  ，量子態仍舊處於  。可是，假若，我們改為測量可觀察量  ，則量子態不會停留於本徵態  ，而會塌縮為  的本徵態。假若，得到的測量值為其本徵值  ，則量子態機率地塌縮為本徵態  。

根據不確定性原理，
 。

 的不確定性與  的不確定性的乘積  ，必定大於或等於  。

 與  之間， 與  之間，也有類似的特性。

角動量平方算符與角動量算符之間的對易關係
思考  與  的交換算符，
。

 與  是對易的， 與  彼此是相容可觀察量，兩個算符有共同的本徵態。根據不確定性原理，我們可以同時地測量到  與  的本徵值。

類似地，
 、
 。

 與  之間、 與  之間，都分別擁有類似的物理特性。

在經典力學裏的對易關係
在經典力學裏，角動量算符也遵守類似的對易關係：
 ；

其中， 是帕松括號， 是列維-奇維塔符號， 、 、 ，代表直角坐標  。

本徵值與本徵函數
採用球坐標。展開角動量算符的方程式：

 ；

其中， 、 、 ，分別為徑向單位向量、天頂角單位向量、與方位角單位向量。

轉換回直角坐標，
 。

其中， 、 、 ，分別為 x-單位向量、y-單位向量、與 z-單位向量。

所以， 、 、 分別是
 、
 、
 。

角動量平方算符是
 ；

其中，

、


 、

 。

經過一番繁雜的運算，終於得到想要的方程式
 。

滿足算符  的本徵函數是球諧函數  ：
 ；

其中，本徵值  是正整數。

球諧函數也是滿足算符  微分方程式的本徵函數：
 ；

其中，本徵值  是整數， 。

因為這兩個算符的正則對易關係是 0 ，它們可以有共同的本徵函數。

球諧函數  表達為

 ；

其中， 是虛數單位， 是伴隨勒讓德多項式，用方程式定義為
 ；

而  是  階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為：
 。

球諧函數滿足正交歸一性：

 。 
這樣，角動量算符的本徵函數，形成一組單範正交基。任意波函數  都可以表達為這單範正交基的線性組合：
 ；

其中， 。

參閱
氫原子
球對稱位勢
拉普拉斯-龍格-冷次向量

參考文獻

外部連結
圣地牙哥加州大学物理系量子力学視聽教學：角動量加法

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