虛數單位

在數學、物理及工程學裏，虛數單位是指二次方程的解。虽然沒有這樣的实数可以滿足這個二次方程，但可以通過虛數單位将實數系統延伸至复数系統。延伸的主要動機為有很多實係數多項式方程式無實數解。例如剛才提到的方程式就無實數解。可是倘若我們允許解答為虛數，那麼這方程式以及所有的多項式方程式都有解。虛數單位通常標記為，但在涉及电气、电机工程等电学相关领域时，则往往标记为，这是为了避免与电流（记为或）相混淆。

定義

虛數單位定義為二次方程式的兩個根中的一個。這方程式又可等價表達為：
。

由於實數的平方絕不可能是負數，我們假設有這麼一個數目解答，給它設定一個符號。很重要的一點是，是一個良定義的數學構造。

另外，虛數單位同樣可以表示為：

然而往往被誤認為是錯的，他們的證明的方法是：

因為，但是-1不等於1。

但請注意：成立的條件有,不能為負數。

實數運算可以延伸至虛數與複數。當計算一個表達式時，我們只需要假設是一個未知數，然後依照的定義，替代任何的出現為-1。的更高整數冪數也可以替代為，，或，根據下述方程式：
，
，
。

一般地，有以下的公式：

其中表示被4除的余数。
 補充定义 
虚数单位  是复数域  中的一个基本元素，其核心性质由以下等价方式之一定义：

 代数定义 
作为二次方程  的一个解。即， 是满足方程

的数。由于该方程在实数域  内无解，引入  是构造更广的数系——复数域的关键步骤。

 作为有序对 
在复数严格的公理化构造中，复数定义为有序对 ，其中 。在此框架下，虚数单位  被定义为有序对
 。
而复数的乘法规则定义为 。由此可验证：
 。
这一定义完全绕开了“负数的平方根”这一初始概念，从而在逻辑上更为基础。

和
方程有两个不同的解，它们都是有效的，且互为共轭虚数及倒數。更加确切地，一旦固定了方程的一个解，那么（不等于）也是一个解，由于这个方程是的唯一的定义，因此这个定义表面上有歧义。然而，只要把其中一个解选定，并固定为，那么实际上是没有歧义的。这是因为，虽然和在数量上不是相等的（它们是一对共轭虚数），但是和之间没有质量上的区别（-1和+1就不是这样的）。在任何的等式中同時將所有i替換為-i，該等式仍成立。

正当的使用
虚数单位有时记为。但是，使用这种记法时需要非常谨慎，这是因为有些在实数范围内成立的公式在复数范围内并不成立。例如，公式仅对于非负的实数和才成立。

假若這個關係在虚数仍成立，則會出現以下情況：
（不正确）
（不正确）
（不正确）

 与主平方根的关系 
在复数域中，“平方根”是一个多值函数。对于非负实数 ，符号  通常指其唯一的非负实平方根（称为**算术平方根**或**主平方根**）。然而，对于负数或一般的复数，符号  必须明确其分支的选择。通常，复数的**主平方根**函数定义为其辐角落在区间  内的那个根。
在这种约定下， 的主值是 （而非 ）。即便如此，涉及多个复数的主平方根的恒等式也普遍不成立。因此，在处理复数时，最安全且清晰的做法是直接使用符号  及其基本性质  进行计算，避免对负数直接应用根号运算法则。
 i的运算 
利用复数的运算规则和欧拉公式，可以对虚数单位  进行各种数学运算，包括平方根、幂、对数和三角函数。以下运算除特殊说明外，均为与  有关的多值函数，在实际应用时必须指明函数的定义选择在黎曼面的哪一支。下面列出的仅仅是最常采用的黎曼面分支的计算结果。

 基本运算与幂循环 
虚数单位  的整数幂遵循一个周期为4的循环：

一般地，对任意整数 ，有：

其中  表示被4除的余数。

 平方根 
 的平方根为：

使用算术平方根符号表示其主值：

其解法為先假設兩實數  及 ，使得 ，然后求解 。University of Toronto Mathematics Network: What is the square root of i?  URL retrieved March 26, 2007.

 一般幂运算 
利用欧拉公式 ，可以将虚数单位表示为指数形式：
，其中  为任意整数。

由此可推导出更一般的幂运算公式。设 ，且 ，则有：

 以  为指数的幂（实数的虚数次幂）：

这是一个模为1的复数，其几何意义是在复平面上将点1旋转  弧度。

 以虚数为指数的幂（实数底数的纯虚数次幂）：

 复数的复数次幂（最一般的情况）：

此公式清晰地分离了结果在复平面上的**伸缩因子**  和**旋转因子** 。

 最为人熟知的特例： 的  次幂
，
代入不同的  值，可計算出無限多的解。当  時，得到其主值  0.207879576..."The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers" by David Wells, Page 26.

 对数 
 以  为底的对数：
对于正实数 ，有：
（取主值）

 更一般地，对于正实数  且 ，以  为底的对数可由换底公式导出：
， 。
这是一个纯虚数，且由于  的多值性，其结果也有无穷多个值。

 三角与双曲函数 
以下恒等式揭示了虚数单位如何联系三角函数与双曲函数，这是欧拉公式的直接推论。对于实数 ：

这些公式表明，对虚自变量的三角函数求值，会转化为实自变量的双曲函数。

作为直接应用，可以计算：

在程式語言
 大部分的程式語言都不提供虛數單位，且平方根函數(大多為sqrt()或Math.Sqrt())的引數不可以是負數，因此，必須自行建立類別後方可使用。
 但Lisp的许多实现与方言，如Common Lisp，内建虚数和複數的支持。不少动态语言受其影响，也在语言本身或标准库中支持虚数和複數，如Python、Ruby。
 一些传统编程语言，如C语言，也从C99开始支持虚数和複數。
 在Matlab，虛數單位的表示方法為i或j，但i和j在for迴圈可以有其他用途。
 在Mathematica，虛數單位的表示方法為I、𝕚或𝕛。
 在Maple，必須啟用虛數功能，並選擇用i還是j表示虛數單位。
 Go語言於第 1.0 版就内建虚数和複數的支持，變數類型為 complex64和complex128。
 代码示例 
以下是一些编程语言中定义虚数单位  及进行基本复数运算的方法：

 编程语言 示例代码 (定义虚数单位与基础运算) 备注与输出示例 Python # 虚数单位用后缀 j 表示
i = 1j
print(f"虚数单位 i = {i}")
print(f"i 的平方 i² = {i ** 2}")
# 输出：虚数单位 i = 1j
# 输出：i 的平方 i² = (-1+0j)

# 复数构造与运算
z1 = 3 + 4j    # 复数字面量
z2 = complex(1, -2)  # complex(实部, 虚部) 函数
print(f"复数 z1 = {z1}")
print(f"复数 z2 = {z2}")
print(f"z1 + z2 = {z1 + z2}")  # 加法：(4+2j)
print(f"z1 * z2 = {z1 * z2}")  # 乘法：(11-2j)

# 使用 cmath 模块进行更多运算
import cmath
print(f"e^(i*π) = {cmath.exp(1j * cmath.pi)}")  # 欧拉公式，近似 (-1+1.2246467991473532e-16j) * Python 原生支持复数类型，属于 complex 类。
 虚部使用后缀 j 或 J 表示。
 可用 real 和 imag 属性获取实部与虚部。
 cmath 模块提供复变函数。 C语言 (C99标准) #include <complex.h>
#include <stdio.h>

int main(void) {
    // 宏 I 表示虚数单位 i
    double complex i = I;
    double complex z1 = 3.0 + 4.0 * I;
    double complex z2 = 1.0 - 2.0 * I;

    // 基本运算
    double complex i_squared = i * i;
    double complex sum = z1 + z2;
    double complex product = z1 * z2;

    // 输出结果，creal()和cimag()分别提取实部和虚部
    printf("i² = %.2f %+.2fi\n", creal(i_squared), cimag(i_squared));
    // 输出：i² = -1.00 +0.00i
    printf("z1 + z2 = %.2f %+.2fi\n", creal(sum), cimag(sum));
    // 输出：z1 + z2 = 4.00 +2.00i
    printf("z1 * z2 = %.2f %+.2fi\n", creal(product), cimag(product));
    // 输出：z1 * z2 = 11.00 -2.00i

    return 0;
} * 需包含 <complex.h> 头文件，并使用标准宏 I 表示虚数单位。
 复数类型为 double complex、float complex 等。
 运算符号（+, *, -）与普通算术一致。
 使用 creal() 和 cimag() 函数提取复数的实部与虚部。
 编译时需支持C99标准（如使用 gcc -std=c99）。

註解

参见
 代數基本定理
 虚数
 复平面
 单位根
 i

参考文献
 Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998

}}

外部链接
 欧拉对多项式的复数根的研究
  i作為-1的平方根（英文視頻）
 的計算方法舉例（英文視頻）

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