极点 (复分析)

亚纯函数的极点是一种特殊的奇点，它的表现如同时的奇点。也就是说，如果当时，函数，那么在处便具有极点。

定义

假设  是复平面的开子集，是的一个元素，是一个在定义域内全纯的函数。如果存在一个全纯函数和一个非负整数，使得对于所有内的，都有

那么便称为的极点。满足以上条件的最小整数称为极点的阶。一阶的极点又称为简单极点。

性质

1.函数f在极点a的极限值是.也就是说

2.由性质1.可知,如果令函数

那么代入定义可知：

其中在点解析。那么有是的m阶零点。

3.由于是全纯函数，可以表示为：



这是一个洛朗级数，它的主部分是有限的。全纯函数称为的正则部分。因此，点是的阶极点，当且仅当在处的罗朗级数中所有低于的次数都为零，而次项不为零。

评论

如果函数的一阶导数在处具有简单极点，则是的一个，但反过来不成立。

一个既不是极点又不是分支点的非可去奇点称为本性奇点。

除了一些孤立奇点外全纯的函数，且所有的奇点均为极点，则该函数称为亚纯函数。

参见
 零点
 留数

外部链接

 零点和极点的教程

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