抛物面

抛物面(英文：Paraboloid)是二次曲面的一种。抛物面有两种：椭圆抛物面和双曲抛物面。椭圆抛物面在笛卡儿坐标系中的方程为：



双曲抛物面在笛卡儿坐标系中的方程为：

性质
当a = b时，曲面称为旋转抛物面，它可以由抛物线绕着它的轴旋转而成。它是抛物面反射器的形状，把光源放在焦点上，经镜面反射后，会形成一束平行的光线。反过来也成立，一束平行的光线照向镜面后，会聚集在焦点上。

曲率

椭圆抛物面的参数方程为：

高斯曲率为：

平均曲率为：

它们都是正数，在顶点处最大，越远离顶点曲率越小，并趋近于零。

双曲抛物面的参数方程为：

高斯曲率为：

平均曲率为：

乘法表
如果把双曲抛物面

顺着+z的方向旋转π/4的角度，则方程为：

如果，则简化为：
.
最后，设，我们可以看到双曲抛物面
.
与以下的曲面是全等的：

因此它可以视为乘法表的几何表示。

两个函数

和

是调和共轭，它们在一起形成解析函数

它是函数的解析延拓。

参见
 椭球
 双曲面
 类球面
 二次曲面
 抛物面反射器

参考文献
Beyer, W. H. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 133, 1987. 
Gray, A. "The Paraboloid." §13.5 in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 307-308, 1997. 
Harris, J. W. and Stocker, H. "Paraboloid of Revolution." §4.10.2 in Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer-Verlag, p. 112, 1998. 
Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S. Geometry and the Imagination. New York: Chelsea, pp. 10-11, 1999. 
Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, 1999. 

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