位置算符

在量子力學裏，位置算符（）是一種量子算符。對應於位置算符的可觀察量是粒子的位置。位置算符的本徵值是位置向量。採用狄拉克標記，位置算符  的本徵態  滿足方程式
 ；

其中， 是本徵值，是量子態為  的粒子所處的位置， 只是一個數值。

位置空間表現
設定量子態  。量子態  、 的位置空間表現，即波函數，分別定義為
 、
 。

在位置空間裡，定義算符  為
 。

在位置空間裡，使用連續本徵態  所組成的基底，任意量子態  展開為
 。

將量子算符  作用於量子態  ，可以得到
 。

應用狄拉克正交歸一性， ，這方程式與左矢  的內積為
 。

量子態  的展開式為
 。

應用狄拉克正交歸一性，這方程式與左矢  的內積為
 。

所以，兩個波函數  、 之間的關係為
 。

總結，位置算符  作用於量子態  的結果  ，表現於位置空間，等價於波函數  與  的乘積  。位置算符  的位置空間表現是位算符  ，可以稱算符  為位置算符。

本徵函數
假設，在位置空間裡，位置算符  的本徵值為  的本徵函數是  。用方程式表達，
 。

這方程式的一般解為，
 ；

其中， 是常數， 是狄拉克δ函數。

注意到  無法歸一化：
 。

設定  ，函數  滿足下述方程式：
 。

這性質不是普通的正交歸一性，這性質稱為狄拉克正交歸一性。因為這性質，位置算符的本徵函數具有完備性，也就是說，任意波函數  都可以表達為本徵函數的線性組合：
 。

雖然本徵函數  所代表的量子態是無法實際體現的，並且嚴格而論，不是一個函數，它可以視為代表一種理想量子態，這種理想量子態具有準確的位置  ，因此，根據不確定性原理，這種理想量子態的動量呈均勻分佈。

期望值
採用位置空間表現，設想一個移動於一維空間的量子粒子。在這裏，希爾伯特空間是  ，是實值定義域的平方可積函數的空間。兩個態向量的內積是 
 。

對於任意量子態  ，可觀察量  的期望值為
  。

位置算符  作用於量子態  的結果，表現於位置空間，等價於波函數  與  的乘積，所以，
  。

粒子處於  與  微小區間內的機率是
 。

粒子位置與機率的乘積在位置空間的積分，就是粒子位置的期望值。

三維案例
推廣至三維空間相當直截了當，參數為三維位置  的波函數為  ，位置的期望值為
 ；

其中， 是積分體積。

位置算符  的作用為
 。

對易關係
位置算符與動量算符的對易算符，當作用於波函數時，會得到一個簡單的結果：
 。

所以， 。這關係稱為位置算符與動量算符的對易關係。由於兩者的對易關係不等於 0 ，位置與動量彼此是不相容可觀察量。 與  絕對不會擁有共同的基底量子態。一般而言， 的本徵態與  的本徵態不同。

根據不確定性原理，
 。

由於  與  是兩個不相容可觀察量， 。所以， 的不確定性與  的不確定性的乘積  ，必定大於或等於  。

參考文獻

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