二元运算

二元运算是種数学运算，它的運算結果跟兩個輸入值必須是同種東西，即元数为2的运算。比如說，兩個整數的加法是二元运算，因整數相加以後仍然是整數。

 定义 

如果從集合  對自己的笛卡儿积 （也就是  ）取出的任意  ，都會對應 的某個值  ，那對應規則  的本身就被稱為二元運算。

 通常写为  ，而且比起使用字母，二元运算時常以某种运算符表示，來跟普通的函數作區別。

事實上  這個記號本身就保證了：「只要  就會有  」，這個性質也稱為（二元）運算封閉性。

 常用性质和术语 
关于二元运算有很多常见的性质和术语，列举如下：

 單位元 

设  是集合  上的二元运算，，则：
 称  为一個  的左幺元，若  满足：；
 称  为一個  的右幺元，若  满足：；
 称  为  的幺元，若  既是左幺元、又是右幺元。

 逆元 

设  是集合  上帶有單位元  的二元运算，  。则：
 称  是一個  的左逆元，若  满足： 。
 称  是一個  的右逆元，若  满足： 。
 称  是  的逆元，若  既是  的左逆元、又是  的右逆元。這種情況下  常被寫作  或  。

 零元 

设  是集合  上的二元运算，  ，则：
 称  为一個左零元，若  满足：  ；
 称  为一個右零元，若  满足：  ；
 称  为零元，若  既是左零元、又是右零元。

 零因子 

设  是集合  上的帶有零元素  的二元运算，  且  。则：
 称  是一個左零因子，若  满足：  ，使得  。
 称  是一個右零因子，若  满足：  ，使得  。
 称  是一個零因子，若  既是左零因子、又是右零因子。

 交換律 

设  是集合  上的二元运算，则：
称  满足交换律，若：；

 结合律 

设  是集合  上的二元运算，则：
称  满足结合律，若： ；

 消去律 

设: 是集合上的二元运算，则：

称满足左消去律，若满足：

称满足右消去律，若满足：

称满足消去律，若同时满足左消去律与右消去律。

 幂等律 

设: 是集合上的二元运算，则：
称满足幂等律，若满足：；

 幂幺律 

设: 是集合上的二元运算，i是在下的幺元，
则：称满足幂幺律，若满足：（显然此时每个元素都是它自己的逆元）；

 幂零律 

设: 是集合上的二元运算，z是在下的零元，
则：称满足幂零律，若满足：，有（显然此时每个元素都是零元素，而且既是左零元素又是右零元素）；

 分配律 

设: 和: 是集合上的两个二元运算，则：
 称对 满足左分配律，若， 满足：，有；
 称对 满足右分配律，若， 满足：，有；
 称对 满足分配律，若對 同時滿足左分配律和右分配律。

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