Delta位勢壘

在量子力學裏，Delta位勢壘是一個壘內位勢為狄拉克Delta函數，壘外位勢為0的位勢壘。Delta位勢壘問題專門研討，在這種位勢的作用中，一個移動的粒子的量子行為。我們想要知道的是，在被Delta位勢壘散射的狀況下，粒子的反射係數與透射係數。在許多量子力學的教科書裏，這是一個常見的習題。

 定義 

一個粒子獨立於時間的薛丁格方程為
；

其中，是約化普朗克常數，是粒子質量，是粒子位置，是能量，是波函數，是位勢，表達為

；

其中，是狄拉克Delta函數，是狄拉克Delta函數的強度。

 導引 
這位勢壘將一維空間分為兩個區域：與。在任何一個區域內，位勢為常數，薛丁格方程的解答可以寫為往右與往左傳播的波函數的疊加（參閱自由粒子）：

， 
；

其中，、、、都是必須由邊界條件決定的常數，下標與分別標記波函數往右或往左的方向。是波數。 

由於，與都是行進波。這兩個波必須滿足在的邊界條件：

，
。

特別注意第二個邊界條件方程式，波函數隨位置的導數在並不是連續的，在位勢壘兩邊的差額有這麼多。這方程式的推導必須用到薛丁格方程。將薛丁格方程積分於的一個非常小的鄰域：
；(1)

其中，是一個非常小的數值。

方程式(1)右邊的能量項目是
。(2)

在的極限，這項目往著0去。

方程式(1)左邊是
(3)

根據狄拉克Delta函數的定義，
。(4)

而在的極限，

，(5)
。(6)

將這些結果(4)，(5)，(6)代入方程式(3)，稍加編排，可以得到第二個邊界條件方程式：在，
。

從這兩個邊界條件方程式。稍加運算，可以得到以下方程式：

，

。

 反射與透射 

由於能量是正值的，粒子可以自由的移動於位勢壘外的兩個半空間，或。可是，在Delta位勢壘，粒子會遇到散射狀況。設定粒子從左邊入射。在Delta位勢壘，粒子可能會被反射回去，或者會被透射過去。我們想要知道散射的反射係數與透射係數。設定，，，。求算反射的機率幅與透射的機率幅：
，
。

反射係數是
。

透射係數是
。

這純粹是一個量子力學的效應，稱為量子穿隧效應；在經典力學裏，透射係數等於0，粒子不可能會透射過位勢壘。

由於模型的對稱性，假若，粒子從右邊入射，我們也會得到同樣的答案。
很奇異地，給予同樣的能量、質量、與狄拉克Delta函數的強度，Delta位勢壘與Delta位勢阱有同樣的反射係數與透射係數。

 參閱 
自由粒子
無限深方形阱
有限深方形阱
有限位勢壘
球對稱位勢 
Delta位勢阱
量子穿隧效應

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