婆罗摩笈多-斐波那契恒等式

婆罗摩笈多-斐波那契恒等式 是以下的恒等式：

这个恒等式说明了如果有两个数都能表示为两个平方数的和，则这两个数的积也可以表示为两个平方数的和。例如，

(1)和(2)都可以用展开多项式的方法来证实。(2)可以通过把(1)中的换成来得出。

这个等式在整数环和有理数环中都成立。更一般地，在任何的交换环中都成立。 

它在数论中有很多应用，例如费马平方和定理说明任何被4除余1的素数都能表示为两个平方数的和，则根据婆罗摩笈多-斐波那契恒等式，任何两个被4除余1的素数的积也都能表示为两个平方数的和。

證明

而若將與互換位置，即可得

相关等式

四平方和恒等式是一个类似的等式，含有四个平方和，与四元数有关。还有一个。

与复数的关系

如果、、和是实数，那么这个等式与複數的绝对值的乘法性质是等价的，也就是说： 



由于



两边平方，得

根据绝对值的定义，

用范数来解释

在、、和是有理数的情况中，这个等式可以解释为域的范数是积性的。也就是说：

 且

而且



所以，这个等式就是说



参见
 婆罗摩笈多矩阵
 复数
 四平方和恒等式

外部链接
PlanetMath
MathWorld 

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