阿贝尔判别法

阿贝尔判别法（Abel test）是一个用于判断无穷级数是否收敛的方法。阿贝尔判别法有两种不同的形式，一个是用来判断实数项级数的收敛，另一个是用来判断复数项级数的收敛。

实数项级数的阿贝尔判别法

给定两个实数项数列和，如果数列满足

 收敛

 是单调且有界的

则级数

收敛。

复数项级数的阿贝尔判别法

一个相关的审敛法，也称为阿贝尔判别法，通常用来判断幂级数在收敛圆的边界上的收敛性。如果

而级数

在|z| < 1是收敛，而在|z| > 1时发散，系数{an}是正的实数，当n > m时单调递减并收敛于零，则f(z)的幂级数在单位圆上处处收敛，除了z = 1以外。当z = 1时，不能使用阿贝尔判别法，所以那个点的收敛性必须另外讨论。注意，利用变量代换ζ = z/R，阿贝尔判别法也可以用来判断收敛半径R ≠ 1的幂级数的收敛性。(Moretti, 1964, p. 91)

证明
假设z是单位圆上的一个点，z ≠ 1。则

所以，对于任何两个正整数p > q > m，我们有

其中Sp和Sq是部分和：

但是，由于|z| = 1，而当n > m时，an是单调递减的正实数，我们又有

现在我们可以使用柯西判别法来证明f(z)的幂级数在z ≠ 1时收敛，因为sin(½θ) ≠ 0是一个定值，而我们可以通过选择足够大的q，来使aq+1小于任何给定的ε > 0。

注解

参考文献
Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964

外部链接
 PlanetMath.org 

Category:级数
Category:无穷级数
Category:审敛法
Category:包含证明的条目