Delta位勢阱

在量子力學裏，Delta位勢阱是一個阱內位勢為負狄拉克Delta函數，阱外位勢為0的位勢阱。Delta位勢阱問題專門研討，在這種位勢的作用中，一個粒子的量子行為。這是一個常見的理論問題。假若，粒子的能量是正值的，我們想要知道的是，在被Delta位勢壘散射的狀況下，粒子的反射係數與透射係數。假若，粒子的能量是負值的，這粒子會被束縛於Delta位勢阱的阱內。這時，我們想要知道的是粒子的能量與束縛的量子態。

 定義 
一個粒子獨立於時間的薛丁格方程為
；

其中，是約化普朗克常數，是粒子質量，是粒子位置，是能量，是波函數，是位勢，表達為

；

其中，是狄拉克Delta函數，是狄拉克Delta函數的強度。

 導引 
這位勢阱將一維空間分為兩個區域：與。在任何一個區域內，位勢為常數，薛丁格方程的解答可以寫為往右與往左傳播的波函數的的疊加（參閱自由粒子）：

， 
；

其中，、、、都是必須由邊界條件決定的常數，下標與分別標記波函數往右或往左的方向。是波數。 

當時，與都是行進波。可是，當時，與都隨著座標呈指數遞減或指數遞增。

在处，邊界條件是：

，
。

特別注意第二個邊界條件方程式，波函數隨位置的導數在並不是連續的，在位勢阱兩邊的差額有這麼多。這方程式的推導必須用到薛丁格方程。將薛丁格方程積分於的一個非常小的鄰域：
；(1)

其中，是一個非常小的數值。

方程式(1)右邊的能量項目是
。(2)

当时，该項趋向于0。

方程式(1)左邊是
(3)

根據狄拉克Delta函數的定義，
。(4)

而在的極限，

，(5)
。(6)

將這些結果(4)，(5)，(6)代入方程式(3)，整理后，可以得到第二個邊界條件方程式：在，
。

從這兩個邊界條件方程式。稍加運算，可以得到以下方程式：

，

。

 散射態 

假若，能量是正值的，粒子可以自由的移動於位勢阱外的兩個半空間，或。在這裏，粒子的量子行為主要是由Delta位勢阱造成的散射行為。稱這粒子的量子態為散射態。設定粒子從左邊入射。在Delta位勢阱，粒子可能會被反射回去，或者會被透射過去。我們想要知道散射的反射係數與透射係數。設定，，，。求算反射的機率幅與透射的機率幅：
，
。

反射係數是
。

這純粹是一個量子力學的效應；在經典力學裏，這是不可能發生的。

透射係數是
。

由於模型的對稱性，假若，粒子從右邊入射，我們也會得到同樣的答案。
很奇異地，給予同樣的能量、質量、與狄拉克Delta函數的強度，Delta位勢壘與Delta位勢阱有同樣的反射係數與透射係數。

 束縛態 

每一個一維的吸引位勢，都至少會存在著一個束縛態（）。由於，波數變為複數。設定。前述的振盪的波函數與，現在卻隨著座標呈指數遞減或指數遞增。為了要符合物理的真實性，我們要求波函數不發散於。那麼，與必須被設定為0。波函數變為

，
。

從邊界條件與歸一條件，可以得到
，
。

Delta位勢阱只能有一個束縛態。束縛態的能量是
。

束縛態的波函數是
。

Delta位勢阱是有限深方形阱的一個特別案例。在有限深位勢阱的深度與阱寬的極限，同時保持，就可以從有限深位勢阱的波函數，得到Delta位勢阱的波函數。

 雙井迪拉克Delta函數模型 
Delta函數模型其實是氫原子的一維版本根據維度比例由 达德利·赫施巴赫（“Dudley R. Herschbach”）D.R Herschbach, J.S. Avery, and O. Goscinski (eds.), Dimensional Scaling in Chemical Physics, Springer, (1992).  團隊所研發。此 delta函數模型以雙井迪拉克Delta函數模型最有用，因其代表一維版的水分子離子。

雙井迪拉克Delta函數模型是用以下薛丁格方程描述：

電位現為：

其中是「核間」距離於迪拉克Delta函數（負）峰值位於（圖表中棕色所示）。記得此模型與其三維分子版本的關係，我們用原子单位制且設。此處為一可調參數。從單井的例子，可推論擬設於此解為：

令波函數於Delta函數峰值相等可得行列式：

因此，是由偽二次式方程：

它有兩解。若等價情況（對稱單核），則偽二次式化為：

此「+」代表了對稱於中點的波函數（圖中紅色）而稱為偶態。接著，「-」情況為反對稱於中點的波函數其稱為非偶態（圖中綠色）。它們代表著三維的兩種最低能態之近似且有助於其分析。對稱電價的特徵能分析解為T.C. Scott, J.F. Babb,  Alexander Dalgarno  and John D. Morgan III, "The Calculation of Exchange Forces: General Results and Specific Models", J. Chem. Phys., 99, pp. 2841-2854, (1993). ：

其中W是標準朗伯W函数注意此最低能對應於對稱解。當非等電價，此為三維分子問題，其解為一般化Lambert W函數（見一般化朗伯W函数章節與相關參考）。

外部链接

 參閱 
自由粒子
無限深方形阱
有限深方形阱
有限位勢壘
球對稱位勢 
Delta位勢壘
量子穿隧效應

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