对数积分

对数积分是一个特殊函数。它出现在物理学的问题中，在数论中也有重要性，主要出現在與質數定理與黎曼猜想的相關理論之中。

积分表示法
对数积分有一个积分的表示法，对所有的正实数都有定义：

在这里，ln表示自然对数。函数1/ln (t)在t = 1处有一个奇点，当x > 1时，这个积分只能用柯西主值的概念来解释：

 特殊值與欧拉对数积分 
由於這個積分在x趨近於1時，值會趨近於負無窮大，有些數學家為了避免麻煩，常會選擇另外一個相似的定義，欧拉对数积分定义为：

或

函数li(x)有一個正根，它出现在x ≈ 1.45136 92348 ...。这个数称为Ramanujan-Soldner常数。

其中是不完全伽玛函数。

级数表示法
函数li(x)与指数积分Ei(x)有以下的关系：

其中。这个等式提供了li(x)的一个级数表示法：

其中γ ≈ 0.57721 56649 01532 ...是欧拉-马歇罗尼常数。一个收敛得更快的级数，是：

渐近展开式
当x → ∞，函数有以下的渐进表现：

其中是大O符号。完整的渐近展开式为：

或

注意，作为渐近展开式，这个级数是发散的：只有级数前面有限个项才是较好的估计。这个展开式可从指数积分的渐近展开式直接推出。

数论中的重要性
对数积分在数论中十分重要，出现在小于某个整数的素数个数的估计中。例如，質數定理表明：

其中π(x)是小于或等于x的素数的个数。

参见
 指数积分
 三角积分

参考文献
 Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 5) 

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