動量算符

在量子力學裏，動量算符（）是一種算符，可以用來計算一個或多個粒子的動量。對於一個不帶電荷、沒有自旋的粒子，作用於波函數  的動量算符可以寫為
 ；

其中， 是動量算符， 是約化普朗克常數， 是虛數單位， 是位置。

給予一個粒子的波函數  ，這粒子的動量期望值為
 ；

其中， 是動量。

導引 1
對於一個非相對論性的自由粒子，位勢  ，不含時薛丁格方程式表達為
 。

其中， 是約化普朗克常數， 是粒子的質量， 是粒子的波函數， 是粒子的位置， 是粒子的能量。

這薛丁格方程式的解答  是一個平面波：
 ；

其中， 是波數， 。

根據德布羅意假說，自由粒子所表現的物質波，其波數與自由粒子動量的關係是
 。

自由粒子具有明確的動量  ，給予一個系綜許多相同的自由粒子系統。每一個自由粒子系統的量子態都一樣。標記粒子的動量算符為  。假若，對於這系綜內，每一個自由粒子系統的動量所作的測量，都得到同樣的測量值  ，那麼，不確定性  ，這自由粒子的量子態是確定態，是  的本徵態，在位置空間()裏，本徵函數為  ，本徵值為  ：
 。

換句話說，在位置空間裏，動量算符的本徵函數必須是自由粒子的波函數  。

為了要達到此目標，勢必要令
 。

所以，可以認定動量算符的形式為
 。

導引 2
在古典力學裏，動量是質量乘以速度：
 。

在量子力學裏，由於粒子的位置不是明確的，而是機率性的。所以，猜想這句話是以期望值的方式來實現：
 。

那麼，用積分方程式來表達，
 ；

其中， 是波函數。

取微分於積分號下，
 。

由於  只是一個位置的統計參數，不跟時間有關，

 。(1)

含時薛丁格方程式為
 ；

其中，  是位勢。

其共軛複數為
 。

將上述兩個方程式代入方程式 (1)，可以得到
 。

使用分部積分法，并利用当x趋于无穷大时波函数趋于零的特性，有
 ，(2)

 。(3)

方程式 (2) 與 (3) 的減差（使用分部積分法，并利用当x趋于无穷大时波函数趋于零的特性）
 。

所以，
 。

對於任意波函數  ，這方程式都成立。因此，可以認定動量算符  為  。

厄米算符
由於每一種經過測量而得到的物理量都是實值的。所以，可觀察量  的期望值是實值的： 
 。

對於任意量子態  ，這關係都成立：
 。

根據伴隨算符的定義，假設  是  的伴隨算符，則  。因此，
 。

這正是厄米算符的定義。所以，表示可觀察量的算符  ，都是厄米算符。

動量是一個可觀察量，動量算符應該也是厄米算符：選擇位置空間，量子態  的波函數為  ，
 。

對於任意量子態  ， 。所以，動量算符確實是一個厄米算符。

本徵值與本徵函數
假設，動量算符  的本徵值為  的本徵函數是  ：
 。

這方程式的一般解為，
 ；

其中， 是常數。

假設  的定義域是一個有限空間，從  到  ，那麼，可以將  歸一化：
 。

 的值是  。動量算符的本徵函數歸一化為  。

假設  的定義域是無窮大空間，則  不是一個平方可積函數：
 。

動量算符的本徵函數不存在於希爾伯特空間內，不能直接地積分  於無窮大空間，來使  歸一化。

換另一種方法，設定  。那麼，
 ；

其中， 是狄拉克δ函數。

這性質不是普通的正交歸一性。稱這性質為狄拉克正交歸一性。因為這性質，動量算符的本徵函數是完備的。也就是說，任意波函數  都可以表達為本徵函數的線性組合：

 ；

其中，係數  是
 。

正則對易關係
位置算符與動量算符的交換算符，當作用於一個波函數時，有一個簡單的結果：
 。

所以， 。這關係稱為位置算符與動量算符的正則對易關係。由於兩者的正則對易關係不等於 0 ，位置與動量彼此是不相容可觀察量。 與  絕對不會有共同的基底量子態。一般而言， 的本徵態與  的本徵態不同。

根據不確定性原理，
 。

由於  與  是兩個不相容可觀察量， 。所以， 的不確定性與  的不確定性的乘積  ，必定大於或等於  。

參考文獻

D