埃倫費斯特定理

在量子力學裏，埃倫費斯特定理（）表明，量子算符的期望值對於時間的導數，跟這量子算符與哈密頓算符的對易算符，兩者之間的關係，以方程式表達為
；

其中， 是某個量子算符， 是它的期望值， 是哈密頓算符， 是時間， 是約化普朗克常數。

埃倫費斯特定理是因物理學家保羅·埃倫費斯特命名。在量子力學的海森堡繪景裏，埃倫費斯特定理非常顯而易見；取海森堡方程式的期望值，就可以得到埃倫費斯特定理。埃倫費斯特定理與哈密頓力學的劉維定理密切相關；劉維定理使用的泊松括號，對應於埃倫費斯特定理的對易算符。實際上，從根據經驗法則，將對易算符換為泊松括號乘以  ，再取  趨向於 0 的極限，含有對易算符的量子定理就可以改變為含有泊松括號的經典定理。

 薛丁格繪景下的推導 
假設，一個物理系統的量子態為  ，則算符  的期望值對於時間的導數為

薛丁格方程表明哈密頓算符  與時間  的關係為
 。

其共軛為
 。

因為哈密頓算符是厄米算符， ，所以，
 。

將這三個方程式代入  的方程式，則可得到
 。

所以，埃倫費斯特定理成立：
 。

有時算符  不隨時間變化，則  等於零。

 海森堡繪景下的推導 
海森堡繪景下的推導更為直接。有海森堡運動方程式

直接取等式兩邊的算子的期望值可得

等式左邊的態向量不含時，因此可以把  一項移到狄拉克符號外，因此有

實例
使用埃倫費斯特定理，可以簡易地證明，假若一個物理系統的哈密頓量顯性地不含時間，則這系統是保守系統。

從埃倫費斯特定理，可以計算任何算符的期望值對於時間的導數。特別而言，速度的期望值和加速度的期望值。知道這些資料，就可以分析量子系統的運動行為。

守恆的哈密頓量
考慮哈密頓算符  ：
 。

假若，哈密頓量顯性地不含時間， ，則
 ，

哈密頓量是個常數 。

位置的期望值對於時間的導數
試想一個質量為  的粒子，移動於一維空間．其哈密頓量是

 ;

其中， 為位置， 是動量， 是位勢。

應用埃倫費斯特定理，
。

由於  ，位置的期望值對於時間的導數等於速度的期望值：
。

這樣，可以得到動量  的期望值。

動量的期望值對於時間的導數
應用埃倫費斯特定理，
 。

由於  與自己互相交換，所以， 。又在坐標空間裏，動量算符  不含時間： 。所以，
 。

將泊松括號展開，
 。

使用乘法定則，
 。

在量子力學裏，動量的期望值對於時間的導數，等於作用力  的期望值。

經典極限
取經典極限， ，則可得到一組完全的量子運動方程式：
 ，
 。

這組量子運動方程式，精確地對應於經典力學的運動方程式：
 ，
 。

取「經典極限」，量子力學的定律約化為經典力學的定律。這結果也時常被稱為埃倫費斯特定理。這經典極限是什麼呢？標記  為  。設定  。泰勒展開  於  ：
 。

由於  ， ，

 。

這近似方程式右手邊的第二項目就是誤差項目。只要這誤差項目是可忽略的，就可以取經典極限。而這誤差項目的大小跟以下兩個因素有關：
一個是量子態對於位置的不可確定性。
另一個則是位勢隨著位置而變化的快緩。

參閱
維里定理

參考文獻

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