垂足曲线

在曲线微分几何中，踩踏板曲綫是從給定曲綫所創造的曲綫，構造方法像自行車用腳踩踏在原有曲綫上，故稱為踩踏板曲綫，又譯作垂足曲线。给定一个曲线和一个定点P（称为垂足点或踩踏點(Pedal Point)）。在曲线的任何一条切线T上，都存在唯一的一个点X，要么是P本身，要么与P形成的直线与T垂直。垂足曲线是符合这种性质的所有点X所组成的集合。

垂足曲线不一定是连通的，例如对于多边形来说，它仅仅是一些孤立的点。

如果P是垂足点，c是曲线的一个参数方程，则垂足曲线的参数方程为：

如果垂足点是原点，则垂足曲线为：

一些例子
缩略图|右|椭圆的垂足曲线

<tr><th>给定的曲线<th>垂足点<th>垂足曲线
<tr><td>直线<td>任意<td>点
<tr><td>圆<td>圆周上<td>心脏线
<tr><td>抛物线<td>焦点<td>直线
<tr><td>其它圆锥曲线<td>焦点<td>圆
<tr><td>对数螺线<td>极点<td>相等的对数螺线
<tr><td>外摆线或内摆线<td>中心<td>玫瑰线
<tr><td>圆的渐伸线<td>圆心<td>阿基米德螺线

参考文献
Gray, A. "Pedal Curves." §5.8 in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 117-125, 1997. 
Lawrence, J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover, pp. 46-49 and 204, 1972. 
Lockwood, E. H. "Pedal Curves." Ch. 18 in A Book of Curves. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 152-155, 1967. 
Yates, R. C. "Pedal Curves." A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards, pp. 160-165, 1952. 

外部链接
 Mathworld

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