自由粒子

在物理學裏，自由粒子是不被位勢束縛的粒子。在經典力學裏，一個自由粒子所感受到外來的淨力是0。

假若，一個粒子的能量大於在任何地點的位勢，，不會被位勢束縛，則稱此粒子為自由粒子。更強版的定義，還要求位勢為常數。假若，一維空間分為幾個區域，只有在每個區域內，位勢為常數；在區域與區域之間，位勢不相等，則稱此粒子為半自由粒子。自由粒子或半自由粒子的能量大於位勢，，不會被位勢束縛，能量不是離散能量譜的特殊值，而是大於或等於的任意值。

本條目只論述強版定義的自由粒子。由於能量與位勢都不是絕對值，可以設定位勢為0，再根據新舊位勢的差額，調整能量。

古典自由粒子 
古典自由粒子的特點是它移動的速度是不變的。它的動量是
。

其中，是粒子的質量。

能量是
。

非相對論性的自由粒子
描述一個非相對論性自由粒子的含時薛丁格方程式為
；

其中，是約化普朗克常數，是粒子的波函數，是粒子的位置，是時間。

這薛丁格方程式有一個平面波解：
；

其中，是波向量，是角頻率。

將這公式代入薛丁格方程，這兩個變數必須遵守關係式
。

由於粒子存在的機率等於1，波函數必須歸一化，才能夠表達出正確物理意義。對於一般的自由粒子而言，這不是問題。因為，自由粒子的波函數，在位置或動量方面，都是局部性的。

動量的期望值是
。

能量的期望值是

。

代入波向量與角頻率的關係方程，可以得到熟悉的能量與動量的關係方程：
。

波的群速度定義為
；

其中，是粒子的經典速度。

波的相速度定義為
。

在量子力學裏，一個自由粒子的動量與能量不必須擁有特定的值。自由粒子的波函數以波包函數表示為
；

其中，積分區域是-空間。

為了方便計算，只考虑一維空間，
；

其中，振幅是量子疊加的係數函數。

逆反過來，係數函數表示為
；

其中，是在時間的波函數。

所以，知道在時間的波函數，通過傅立葉轉換，可以推導出在任何時間的波函數。

相對論性的自由粒子

相對論性的自由粒子的量子行為，需要用特別的方程專門描述：
克莱因-戈尔登方程描述中性的，自旋為零的，相對論性的自由粒子的量子行為。
狄拉克方程描述相對論性的電子（自旋為）的量子行為。

參閱
 態疊加原理
 無限深方形阱
 有限深方形阱
 有限位勢壘
 球對稱位勢
 Delta位勢阱
 Delta位勢壘
 波包

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