無限深方形阱

在物理學裏，無限深方形阱（infinite square potential），又稱為無限深位勢阱（infinite potential well），是一個阱內位勢為 0 ，阱外位勢為無限大的位勢阱。思考一個或多個粒子，永遠地束縛於無限深位勢阱內，無法逃出。關於這些粒子的量子行為的問題，稱為無限深方形阱問題，又稱為無限深位勢阱問題，盒中粒子問題（particle in a box problem），是一個理論問題。假若，阱內只有一個粒子，則稱為單粒子無限深方形阱問題。假若，阱內有兩個粒子，則稱為雙粒子無限深方形阱問題。假若，這兩個粒子是完全相同的粒子，則問題又複雜許多，稱為雙全同粒子無限深方形阱問題。在這裏，只討論單粒子無限深方形阱問題。

在經典力學裏，應用牛頓運動定律，可以非常容易地求得無限深方形阱問題的解答。假設粒子與阱壁的碰撞是彈性碰撞，粒子的動能保持不變。則這粒子在方形阱的兩阱壁之間來回移動，碰撞來，碰撞去，而速率始終保持不變。在任意時間，粒子在阱內各個位置的機率是均勻的。

在量子力學裏，這問題突然變得很有意思。許多基要的概念，在這問題的解析中，呈現了出來。由於問題的理想化與簡易化，應用薛丁格方程，可以很容易地，雖然並不是很直覺地，求得解答。滿足這薛丁格方程的能量本徵函數，是表達粒子量子態的波函數。每一個能量本徵函數的能量，只能是離散能級譜中的一個能級。很令人驚訝的是，離散能級譜中最小的能級不是 0 ，而是一個有限值，稱為零點能量！這系統的最小能級量子態的能級不是 0 。

更加地，假若測量粒子的位置，則會發現粒子在阱內各個位置的機率大不相同。在有些位置，找到粒子的機率是 0 ，絕對找不到粒子。這些結果與經典力學的答案迥然不同。可是，這些結果所根據的原理，早已在許多精心設計的實驗中，廣泛地證明是正確無誤的。

簡介

這問題的薛丁格方程解答，明確地呈現出粒子的某些量子行為。這些量子行為與實驗的結果相符合；可是，與經典力學的理論預測，有很大的衝突。特別令人注目地是，這量子行為是自然地從邊界條件產生的，而不是人為勉強加添造成的。這解答乾淨俐落地展示出，任何類似波的物理系統，自然地會產生量子行為；與平常的想法恰恰相反，量子行為不是像變魔術一般變出來的。

無限深方形阱問題的粒子的量子行為包括：
能量量子化：　表達粒子量子態的能量本徵函數，其伴隨的能量不是任意值，而只能是離散能級譜中的一個能級。
零點能量：　粒子最小的允許能級，稱為零點能量，不是 0 。
波節點： 恰恰與經典力學相反，薛丁格方程預測會有波節的存在。這意味著在阱內某些地方，找到粒子的概率是零。

不論這問題有多麼地簡單，由於能夠完全地解析其薛丁格方程，這問題可以導致對量子力學有更深刻的理解。實際上，這問題也非常的重要。無限深方形阱問題可以用來模擬許多真實的物理系統。例如，一個導電電子在一根直的，極細的奈米金屬絲內的量子行為。更詳細內容，請參閱條目奈米線。

一維阱
一個粒子束縛於一維無限深方形阱內，阱寬為  。阱內位勢為 0 ，阱外位勢為無限大。粒子只能移動於束縛的方向（  方向）。如圖示，一維無限深方形阱的本徵函數  與本徵值  分別為
 ，
 ；

其中， 是正值的整數， 是普朗克常數， 是粒子質量。

導引
一維不含時薛丁格方程可以表達為
 ；(1)

其中， 是複值的、不含時間的波函數， 是跟位置有關的位勢， 是正值的能量。

在阱內，位勢  。一維不含時薛丁格方程約化為

 。(2)

這是一個已經經過頗多研究的二階常微分方程。一般解本徵函數  與本徵值  是

 ，(3a)

 ；(3b)

其中， 與  是常數，可以是複值， 是實值的波數（因為  是正值的，所以， 必須是實數。）。

為了求得一般解  的常數  ，  ，與波數  的值，必須具體表明這問題的邊界條件。由於粒子趨向於位勢低的地區，位勢越高，找到粒子的機率  越小。在  ，  兩個阱壁位置，位勢無限的高，找到粒子的機率是微乎其微： 。所以，邊界條件是

 。(4)

代入方程 (3a) 。在  ，可以得到
 。(5)

在  ，可以得到
 。(6)

方程 (6) 的一個簡易解是  。可是，這樣，波函數是  。這意味著一個不可能的物理答案：粒子不在阱內！所以，不能接受這簡易解。設定  ，則  。那麼，必須要求

 ;(7)

其中，整數  。

注意到  狀況必須被排除，因為，不能容許波函數是  的物理答案：粒子不在阱內！

為了求得  值，波函數需要歸一化，一個粒子必須存在於整個一維空間的某地方：
 。

常數  的值為
 。(8)

常數  可以是任何複數，只要絕對值等於 ；可是，這些不同值的  都對應於同樣的物理狀態。所以，為了方便計算，選擇  。

最後，將方程 (7) ，(8) 代入方程 (3a) ，(3b) 。一維無限深方形阱問題的能量本徵方程與能量本徵值（能級）是
 ，

 。

如同前面所述，此問題只容許量子化的能級。由於  ，最低的能級，稱為零點能量，大於 0 。這答案可以用不確定原理解釋。因為粒子束縛於有限的區域，位置變異數有上界。所以，粒子的動量的變異數大於 0 ，粒子必須擁有能量。這能量隨著阱寬的減小而增加。

很重要的一點是，雖然表達粒子量子態的能量本徵函數，其能量只能是離散能級譜中的一個能級。這並不能防止粒子擁有任意的能量，只要這能量大於零點能量。根據態疊加原理，粒子的量子態，可以是幾個能量本徵函數的疊加。當測量粒子的能量時，測量的答案，只可能是疊加的幾個能級中的一個能級。由於測量會造成波函數塌縮，不能對同一個粒子做多次的測量，而指望得到有意義的答案。必須假設準備了許多同樣的系統。對每一個系統內的粒子，做同樣的測量。雖然，每一次的測量的答案，只可能是疊加的幾個能級中的一個能級。所有答案的的平均值，是粒子的能量期望值。

啟發導引
能量本徵值的公式可以啟發地被推導出來。試想，兩個阱壁必定是波函數的波節。這意味著，阱寬必須剛好能夠容納半個波長的整數倍：
 ；

其中， 是波長， 是正值的整數。

應用德布羅意假說，粒子的動量  是
 。

代入聯繫能量與動量的經典公式，則可以得到系統的能量本徵值。
 。

二維阱

一個粒子束縛於二維無限深方形阱內，阱寬在  與  方向，分別為   ， 。阱內位勢為 0 ，阱外位勢為無限大。粒子只能移動於束縛的方向（  與  方向）。二維無限深方形阱的本徵函數  與本徵值  分別為

其中， 與  是正值的整數。

導引
在這二維的問題裏，粒子束縛於一個二維位勢阱內，在阱內，二維的解答方程與方程 (2) 類似，是一個二階偏微分方程：
。

應用分離變數法 。首先，假設  是兩個不相關的函數  與  的乘積， 只含有變數  ， 只含有變數  ：
 。

將  的假設方程代入二維方程，則可得到
 。

將這方程兩邊都除以  ，則可得到
 。

由於方程左邊圓括號內的兩個項目  、 分別只跟  、 有關，兩個項目分別都必須等於常數：

 ，
 ；

其中， 與  都是常數， 。

這樣，可以得到兩個約化的一維薛丁格方程：
 ，
 。

前面，已經解析了同樣形式的一維薛丁格方程（方程 (2) ）。將那裡的答案移接到這裡，

 ，
 ；

其中，整數  ， 。

將兩個方程合併，可以得到解答：
 ，

 。

三維阱
同樣地，應用分離變數法於三維阱問題，可以得到能量本徵函數與能量本徵值：
 ，

 ；

其中， 。

當兩個以上的阱寬相等的時候，對應於同樣的總能量，會存在有多個不同的波函數。這狀況稱為簡併，是由物理系統的對稱性造成的。例如，假設 一個三維阱的  ，則  ， ， 的波函數與  ， ， 的波函數，兩個波函數的能量相等。由於在這物理系統裏，有兩個阱寬相等，這物理系統對稱於繞著 z-軸的  旋轉。

參考文獻

參閱
 態疊加原理
 自由粒子
 有限深方形阱
 有限位勢壘
 球對稱位勢
 Delta 位勢阱
 Delta 位勢壘
 量子穿隧效應 
 盒中氣體 
 隨機電動力學

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