拟阵

拟阵是组合数学中的一个结构，是对向量空间中线性独立这一概念的概括与归纳。拟阵有许多等价的定义，其中最主要的几个定义分别是基于独立集、基底、环路、闭集、平坦、闭包算子和秩函数。

拟阵理论从线性代数和图论中借用了大量术语，主要是因为它是对这些领域中很多重要的核心概念的概括。拟阵理论在几何、拓扑学、组合优化、网络理论和编码理论中都有应用。

 定义 
拟阵有很多等价的定义方式A standard source for basic definitions and results about matroids is Oxley (1992).  An older standard source is Welsh (1976).  See Bryzlawski's appendix in White (1986) pp.298–302 for a list of equivalent axiom systems.。

独立集
就独立集来说, 一个有限的拟阵  是一个二元组 , 其中  是一个 有限集 (称之为 基础集) ， 是一个由的子集构成的 集族 (称之为 独立集) 它需要满足下面的条件:, Section 1.2, "Axiom Systems for a Matroid", pp. 7–9.
 空集 是独立的, 也就是说, . 换个说法就是, 至少有一个 的子集是独立的, 即：.
 每个独立集的子集是独立的, 即： 对于每个子集 , 如果  则 .  有时我们称之为 遗传特性.
 如果  和  是  的两个独立子集, 比有更多的元素, 则在中存在一个元素，当其加入 时得到一个比更大独立子集. 有时我们称之为 扩充特性 或者叫 独立集交换特性.

头两个特性定义了一个公认的组合结构，叫做独立系统。

基
对于有限拟阵 ，若其基础集的子集是一个极大的独立集（即添加任何一个新的元素得到的子集都不是独立集），则将称为一个基底（英文：basis）。拟阵的一种等价定义为二元组，其中 是一个有限集， 是一个由基底构成的的子集族，称为的基，满足以下条件:
 ;（即至少存在一个基底）
 对于中不同的集合以及任一元素，存在元素使得。（该条件被称为交换公理）

可以证明，一个有限拟阵的所有基底的元素个数都相同，这个数被称为拟阵的秩。

环路
对于有限拟阵 ，若其基础集的子集是一个极小的非独立集（即去掉其中任一元素得到的子集都是独立集），则将称为一个环路（英文：circuit）。拟阵的一种等价定义为二元组，其中 是一个有限集， 是一个由环路构成的的子集族，称为的环路集，满足以下条件:
 ；
 如果且，则；
 对于中不同的集合以及元素，存在使得。

可以证明，基础集的一个子集是独立集当且仅当它不包含任一环路作为子集。

秩函数

类似线性代数基底的性质，拟阵的基底具有类似的性质：的任意两个基底具有相同的元素个数。这个数字被称为拟阵的秩。

闭包

参考资料

Category:闭包算子
Category:维度
Category:几何学
Category:对偶理论