离散正弦变换

離散正弦變換（DST for Discrete Sine Transform）是一種與傅立葉變換相關的變換，類似離散傅立葉變換，但是只用實數矩陣。離散正弦變換相當於長度約為它兩倍，一個實數且奇對稱輸入資料的的離散傅立葉變換的虛數部分（因為一個實奇輸入的傅立葉變換為純虛數奇對稱輸出）。有些變型裡將輸入或輸出移動半個取樣。

一種相關的變換是離散餘弦變換，相當於長度約為它兩倍，實偶函数的離散傅立葉變換。參考DCT本文有關邊界條件和不同的DCT和DST關聯的一般討論。

 應用 

離散正弦變換常被用來由譜方法解偏微分方程，這時候離散正弦變換的不同的變數對應著兩端不同的奇/偶邊界條件。

 定義 

形式上，離散正弦變換是一個線性的可逆函數，其中R為實數集，或等價的說是一個 方陣。離散正弦變換有幾種稍微不同定義的變形，皆根據以下公式之一把個實數變換到另個實數。

 DST-I 

一個DST-I矩陣為正交矩陣（差一個係數）。

的實數abc的DST-I變換等價於8點實數0abc0(-c)(-b)(-a)（奇對稱）的DFT轉換，再除2（而DST-II~DST-IV等價於DFT有半個取樣的位移）。

因而DST-I對應的邊界條件是：對奇對稱，也對奇對稱；也類似。

 DST-II 

 DST-III 

 DST-IV 

一個DST-IV矩陣為正交矩陣（差一個係數）。

 DST V-VIII 

 反變換 

DST-I的反變換是把DST-I乘以。
DST-IV的反變換是把DST-IV乘以。
DST-II的反變換是把DST-III乘以，反之亦然。

類似離散傅立葉變換，這些定義前面的歸一係數只是習慣，不同人有不同定義。例如有人在變換前面乘，使反變換和變換在形式上更相似，而不需另外的歸一係數。

 計算 

 相關條目 

離散傅立葉變換
離散餘弦變換

 參考資料 

S. A. Martucci, "Symmetric convolution and the discrete sine and cosine transforms," IEEE Trans. Sig. Processing SP-42, 1038-1051 (1994). 
Matteo Frigo and Steven G. Johnson: FFTW, http://www.fftw.org/ . A free (GPL) C library that can compute fast DSTs (types I-IV) in one or more dimensions, of arbitrary size. Also M. Frigo and S. G. Johnson, "The Design and Implementation of FFTW3," Proceedings of the IEEE 93 (2), 216–231 (2005). 

 外部連結 

 離散正弦變換 

Category:數字信號處理
Category:变换编码