理想的根

在數學中的環論領域，一個理想的根是一個較大的理想，它約略是該理想的某種閉包。根理想是等於其自身的根的理想。

理想的根又可分為雅各布森根與冪零根，前者較後者為大。

交換環的冪零根
設  為交換環， 為其理想。該理想的冪零根 （或 ）定義為
。

由二項式定理可知  也是一個理想，並包含 。當取  時，相應的根即是冪零元素的集合，也稱作環的冪零根，有時記為 。記  為商同態，則


利用局部化技巧，也可證明
 。

為具體起見，考慮較簡單的例子 。每個非零理想都可寫成 ，此處  取遍所有素數， 則是非負整數。易證
 。

雅各布森根
設  為環（未必交換），其雅各布森根  定義為所有單右 -模的零化子之交。對於雙邊理想 ，設  為商同態，定義 。

雅各布森根還有諸種等價的定義。當  交換時，有下述簡單的性質：
 。
換言之，此即所有包含  的極大理想之交。由此立見 。

文獻
 David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.

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