戴德金η函數

戴德金η函數（Dedekind eta function）是定義在上半平面的全純函數，這是權1/2的模形式之一例。

對每個屬於上半平面的複數，置，則η函數表為

η函數滿足以下函數方程：


此處的根號是方根函數在右半平面的解析延拓
 。

一般而言，對，我們有

其中的自守因子定為
。
而為戴德金和

由此函數方程可知η是權1/2的模形式，因此可由η構造更多的模形式，例如魏爾施特拉斯的模判別式即可表為
。

事實上，由函數方程可知是權12的模形式，而這類模形式構成複一維向量空間，比較傅里葉展開的常數項，上式立可得證。

拉馬努金有一個著名的猜想：在傅立葉展開式中，對任一素數，的係數的絕對值恆。此猜想最後由德利涅證明。

上述諸例點出了模形式與若干古典數論問題的聯繫，例如以二次型表示整數以及整數分拆問題。赫克算子（英語：Hecke operator）理論闡釋了模形式與數論的關鍵聯繫，同時也聯繫了模形式與表示理論。

文獻
 Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (1990), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97127-0

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