覆疊空間

在拓撲學中，拓撲空間的覆疊空間是一對資料，其中是拓撲空間，是連續的滿射，並存在的一組開覆盖

使得對每個，存在一個離散拓撲空間及同胚：，而且是對第一個坐標的投影。

滿足上述性質的稱為覆疊映射。當連通時，的基數是個常數，稱為覆疊的次數或重數。

空間的覆疊構成一個範疇，其對象形如，從到態射是連續映射，且。

例子
 考慮映射，。對任意，取其開鄰域

由此可見是覆疊映射。

 莫比烏斯帶的二重覆疊空間是 。

性质
局部性质
对于任何一个覆叠都是一个局部同胚，这就是说，对任意的，都存在一个在C中的开邻域U，和p(c)在X中的开邻域V，使得p在U上的限制诱导U到V上的同胚。这说明C和X在局部上的拓扑性质是一样的。如果X是单连通的且C是连通的，则在整体上也成立，并且覆叠p变为同胚。
纤维上的同胚

萬有覆疊空間
連通空間的萬有覆疊空間（若其存在）是範疇的初始對象，換言之，對每個覆疊，存在唯一的連續映射使得。萬有覆疊若存在則必唯一。之前的便是一例。

若要求局部道路連通且局部單連通，則萬有覆疊空間存在。這類空間的主要例子有流形和單純複形。在同樣前提下，覆疊是萬有覆疊的充要條件是基本群。

正則覆疊及主叢
以下同樣要求連通、局部道路連通且局部單連通。對於覆疊映射，選定。在中的自同構群在纖維上的作用是自由的（即：是單射），對於的不同選取，此作用僅差個自然的同構。

若的作用是傳遞的，則稱為正則覆疊。萬有覆疊必正則，反之則不然。按照纖維叢的觀點，覆疊空間正是離散纖維的纖維叢，正則覆疊對應到主叢。

文獻

Category:拓扑图论
Category:代数拓扑