理想類群

理想類群（）是代數數論的基本對象之一，簡稱類群。
一個代数数域的理想类群是形如  的商群; 此处 是代数数域的整数环的所有分式理想构成的群; 而是这个群的子群，包含所有可以被一个元素生成的分式理想(类似主理想的定义)。
理想类群在一定程度上可以测量的整数环中算术基本定理(唯一分解)被破坏程度: 只有当理想类群的秩为1时，代数数域的整数环才是唯一分解整环。理想类群的秩又被称作为代数数域的“类数”。

形式定義
設  為戴德金整環。此時  中的非零理想對乘法構成一個交換么半群。

今將定義其上的等價關係：設  為二非零理想，定義


理想么半群對此關係的商構成一個交換群 ，稱為  的理想類群。

另一套進路是考慮  的非零分式理想構成之交換群，再考慮它對主分式理想  之商，由此得到的對象自然同構於理想類群。

性質
 理想類群為平凡群的充要條件是該戴德金整環為主理想環。
 設  為數域， 為其中的代數整數環，因而是戴德金整環。此時可證明  是有限群。其元素個數記為 ，稱作類數。

例子
考慮二次域 。考慮理想
 。
易證此非主理想，因此理想類群非零。事實上，其理想類群是二階循環群。

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