圓環坐標系

圓環坐標系（）是一種三維正交坐標系。設定二維橢圓坐標系包含於 xz-平面；兩個焦點  與  的直角坐標分別為  與  。將雙極坐標系繞著 z-軸旋轉，則可以得到圓環坐標系。雙極坐標系的兩個焦點，變為一個半徑為  的圓圈，包含於圓環坐標系的 xy-平面。稱這圓圈為焦圓，又稱為參考圓。

數學定義
在三維空間裏，一個點 P 的圓環坐標  最常見的定義是
 、
 、
 ；

其中， 是直角坐標， 坐標是  的弧度， 坐標是點 P 離兩個焦點的距離  與  的比例的自然對數：
 。

圓環坐標的值域為  ， ，  。

坐標曲面
每一個 -坐標曲面都是包含了焦圓，而不同心的圓球面。圓球半徑為
 。

正值  的圓球面的圓心都在正 z-軸；而負值  的圓球面的圓心則在負 z-軸。當絕對值  增加時，圓球半徑會減小，圓心會靠近原點。當圓心與原點同點時， 達到最大值  。

每一個 -坐標曲面都是不相交的環面。每一個環面都包圍著焦圓。環面半徑為
 。

 曲線與 z-軸同軸。當  值增加時，圓球面的半徑會減少，圓球心會靠近焦點。

逆變換
 是  與  的比例的自然對數：
 。

圓環坐標  可以用直角坐標  來表達。方位角  的公式為
 。

點 P 與兩個焦點之間的距離是
 、
 。

如圖 3 ， 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段  與  的夾角。這夾角的弧度是  。用餘弦定理來計算：
 。

標度因子
圓環坐標  與  的標度因子相等：
 。

方位角的標度因子為
 。

無窮小體積元素是
 。

拉普拉斯算子是
 。

其它微分算子，像  、 ，都可以用  坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

應用
圓環坐標有一個經典的應用，這是在解析像拉普拉斯方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏，圓環坐標允許分離變數法的使用。個典型的例題是，有一個圓環導體，請問其周圍的電位與電場為什麼？應用圓環坐標，我們可以精緻地分析這例題。

由於托卡馬克的圓環形狀，圓環坐標時常用在托卡馬克的核融合理論研究。

參閱
國際熱核聚變實驗反應堆

參考文獻



參考目錄





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