同倫群

在數學中，同倫群是拓撲空間的一種同倫不變量。同倫群的研究是同倫理論的基石之一，一般空間的同倫群極難計算，即使對球面  的情形，至今也沒有完整結果。

定義
設  為拓撲空間而  為  維球面。選定基點 。定義  為 ，也就是由保持基點的連續映射  的同倫類構成的集合。為了方便起見，以緯垂坐標表示球面上的點，即： 表示  在商映射  下的像。取  的基點為 。

注意到當  時， 而  的元素一一對應到   的連通分支。

對於 ， 帶有自然的群結構：首先，我們構造一個連續映射：

在此  定義為將兩份  沿基點黏合得到的拓撲空間。映射  定義為

直觀來看， 的效應相當於將球面  沿赤道掐扁。

給定 ，我們定義 ，由於 ，此函數有完善的定義。此外也不難驗證  僅依賴於  的同倫類。

可以證明運算  滿足群公理，其單位元素為常值映射 。 不外就是基本群；而當  時， 是阿貝爾群，稱為高階同倫群。不同基點對應的同倫群只差一個自然同構。

若在定義中省掉基點，則得到的集合  等同於  在  作用下的軌道集。可見若 ， 未必有自然的群結構。

纖維化導出長正合序列
設  為保基點的塞爾纖維化，纖維的同倫類定義為 。此時可導出同倫群的長正合序列（以下略去基點）：


儘管這裡的  只是個集合，而  未必是阿貝爾群，它們仍帶有特殊的元素（ 的單位元、 中包含基點的連通分支），可以用這些元素定義正合序列。

纖維化映射是計算高階同倫群的基本手段。

相對同倫群
給定 ，可以定義相對同倫群  為映射  的同倫類，這意味著我們僅考慮滿足  的連續映射，以及其間滿足相同限制的同倫。若取  為一點，便回到同倫群的原始定義。相對同倫群也有纖維化長正合序列。

文獻



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