扁球面坐標系

扁球面坐標系（）是一種三維正交坐標系。設定二維橢圓坐標系包含於xz-平面；兩個焦點與的直角坐標分別為與。將橢圓坐標系繞著z-軸旋轉，則可以得到扁球面坐標系。（假若，繞著y-軸旋轉，則可以得到長球面坐標系。）橢圓坐標系的兩個焦點，變為一個半徑為的圓圈，包含於三維空間的xy-平面。稱這圓圈為焦圓，又稱為參考圓。扁球面坐標系可以被視為橢球坐標系的極限案例，其兩個最大的半軸的長度相同。

當邊界條件涉及扁球面或旋轉雙曲面時，扁球面坐標時常可以用來解析偏微分方程式。例如，關於佩蘭摩擦因子（）的計算，扁球面坐標扮演了極重要的角色。讓·佩蘭因此而榮獲1926年諾貝爾物理獎。佩蘭摩擦因子決定了分子的旋轉擴散（）。這程序又影響了許多科技，像蛋白質核磁共振光譜學（），的可行性。應用這程序，我們可以推論分子的流體動力體積與形狀。扁球面坐標也時常用來解析電磁學（例如，扁球形帶電的分子的電容率），聲學（例如，聲音通過圓孔時產生的散射），流體動力學（水通過消防水帶的噴口），擴散理論（紅熱的錢幣在水裏的冷卻），等等方面的問題。

第一種表述
在三維空間裏，一個點P的扁球面坐標常見的定義是
、
、
。

其中，是個實數，角度，角度。

學術界比較中意這一種扁球面坐標，因為沒有簡併；三維空間內每一點都擁有自己獨特的扁球面坐標。

坐標曲面
坐標曲面是扁球面 ：
。

它們是由橢圓繞著z-軸旋轉形成的。橢球面與xz-平面的相交，是一個的橢圓。沿著x-軸，長半軸長度為，沿著z-軸，短半軸長度為。橢圓的焦點都包含於x-軸，x-坐標分別為。

坐標曲面是半個單葉旋轉雙曲面 ：
。

假若是正值，也是正值，這半個單葉旋轉雙曲面在xy-平面以上；假若是負值，則在xy-平面以下。是雙曲線的漸近線的角度。所有雙曲線的焦點都在x-軸，x-坐標分別為。

坐標曲面是個半平面 ：
。

逆變換
用直角坐標來計算扁球面坐標，方位角的公式為
。

設定與分別為點P與焦圓的最遠距離與最近距離，以方程式表示為
、
。

坐標和的方程式分別為
、
。

標度因子
扁球面坐標與的標度因子相等：
。

方位角的標度因子為
。

無窮小體積元素是
。

拉普拉斯算子是
。

其它微分算子，像、，都可以用坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

第二種表述
另外有一組有時會用到的扁球面坐標；其中，，Smythe, 1968。。坐標曲面是個扁球面，坐標曲面是個旋轉雙曲面。從直角坐標變換至扁球面坐標：
、
、
。

其中，實數，實數，角度。

標度因子
扁球面坐標的標度因子分別為：
、
、
。

無窮小體積元素是
。

拉普拉斯算子是
。

第三種表述

另外，還有一種比較有幾何直覺性的扁球面坐標系Abramowitz and Stegun, p. 752。：
、
、
。

坐標必須大於或等於1。坐標必須在正負1之間。坐標曲面是扁球面。坐標曲面是單葉雙曲面，包含了對應於正負的半雙曲面。第三種坐標有雙重簡併：三維空間的兩點（直角坐標映射至一組扁球面坐標系）。這雙重簡併可以從直角坐標變換至扁球面坐標的公式觀察到：
、
、
。

坐標與有一個簡單的公式來表達任何一點P與焦圓的最遠距離，最近距離：
、
。

所以，點P與焦圓的最遠距離是，點P與焦圓的最近距離是。

坐標曲面
坐標曲面是扁球面 ：
。

坐標曲面是單葉旋轉雙曲面 ：
。

坐標曲面是半個平面 ：
。

標度因子
扁球面坐標的標度因子分別為：
、
、
。

無窮小體積元素是
。

拉普拉斯算子是
。

其它微分算子，像、，都可以用坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

如同球坐標解答的形式為球諧函數，拉普拉斯方程可以用分離變數法來求解，得到形式為扁球諧函數的答案。假若，邊界條件涉及扁球面，我們可以優先選擇這方法來解析。

參閱

參考文獻

參考目錄

不按照命名常規
   採用、、。
   如同Morse & Feshbach (1953)，採用來替代。

   採用混合坐標、、。

按照命名常規
 採用第一種表述，又加介紹了簡併的第三種表述。
   如同Korn and Korn (1961)，但採用餘緯度來替代緯度。
   Moon and Spencer採用餘緯度常規，又改名為。

特異命名常規
 視扁球面坐標系為橢球坐標系的極限。採用第二種表述。

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