分離變數法

數學上，分離變數法是一種解析常微分方程或偏微分方程的方法。使用這方法，可以藉代數來將方程式重新編排，讓方程式的一部分只含有一個變數，而剩餘部分則跟此變數無關。這樣，隔離出的兩個部分的值，都分別等於常數，而兩個部分的值的代數和等於零。

常微分方程

假若，一個常微分方程可以寫為
 。

設定變數  。那麼，
 ．(1)

只要是  ，就可以將方程式兩邊都除以  ，再都乘以  ：
 。

這樣，可以將兩個變數  ， 分離到方程式的兩邊。由於任何一邊的表達式跟另外一邊的變數無關，表達式恆等於常數  。因此，可以得到兩個較易解的常微分方程；
 。

第二種方法
有些不喜歡用的數學家，或許會選擇將公式 (1) 寫為
 。

這寫法有一個問題：無法比較明顯的解釋，為什麼這方法叫作分離變數法？

隨著  積分公式的兩邊，可以得到
 。(2)

應用换元积分法，
 。

假如，可以求算這兩個積分，則這常微分方程有解。這方法允許將導數  當做可分的分式看待，可以較方便的解析可分的常微分方程。這在實例 (II)的解析裏會有更詳細的解釋，

實例 (I)
常微分方程式  可以寫為
 ；(3)

其中， 。

設定  ， 。套用公式 (1) ，這常微分方程式是可分的。

進一步編排，則
 。

變數  ， 分別在公式的兩邊。將兩邊積分，
 。

積分的結果是
 ；

其中， 是個積分常數。稍加運算，則可得
 。

在這裏，檢查此解答的正確與否。計算導數  。答案應該與原本的問題相同。（必須仔細地計算絕對值。絕對符號內不同的正負值，分別地造成了  的正值與負值。而當  時， ）。

特別注意，由於將公式 (3) 的兩邊除以  跟  ，必須檢查兩個函數  與  是否也是常微分方程式的解答（在這個例子裏，它們都是解答）。參閱 。

實例 (II)
人口數值的成長時常能夠用常微分方程來表達
  ；

其中， 是人口數值函數， 是時間參數，  是成長的速率， 環境的容納能力。

將方程式的兩邊都除以 ．再隨著時間  積分，
 。

應用换元积分法，
 。

稍微運算，則可得
 ；

其中， 是常數。

偏微分方程

給予一個  元函數  的偏微分方程，有時候，為了將問題的偏微分方程式改變為一組常微分方程，可以猜想一個解答；解答的形式為
 ，

或者
 。

時常，對於每一個自變量  ，都會伴隨著一個分離常數。如果，這個方法成功，則稱這偏微分方程為可分偏微分方程 ()。

實例 (III)
假若，函數  的偏微分方程為
  。

猜想解答為
 。

那麼，
 。

因為  只含有  、 只含有  、 只含有  ，這三個函數的導數都分別必須等於常數。更明確地說，將一個偏微分方程改變為三個很簡單的常微分方程：
 、
 、
 ；

其中， 都是常數， 。

偏微分方程的答案為
 ；

其中， 是常數。

實例 (IV) 
思考一個典型的偏微分方程，
  。

首先，猜想答案的形式為
 。

代入偏微分方程，
  。

或者，用單撇號標記，
 。

將方程式的兩邊除以  ，則可得
 。
由於任何一邊的表達式跟另外一邊的變數無關，表達式恆等於常數   ：
 。

因此，可以得到兩個新的常微分方程式：
 、
 。

這兩個常微分方程式都是齊次的二階線性微分方程。假若， ，則這兩個常微分方程都是用來表達諧振問題的方程式。解答為
 ，
 ；

其中， 是振幅常數， 是相位常數。這些常數可以由邊界條件求得。

參閱
拉普拉斯-龍格-冷次向量
哈密頓-雅可比方程
亥姆霍茲方程

參考文獻
 A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. 。

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