除以零

在數學中，被除數的除數（分母）是零或將某數除以零，可表達為，是被除數。在算式中沒有意義，因為沒有數目，以零相乘（假設），由於任何數字乘以零均等於零，因此除以零是一個沒有定義的值。此式是否成立端視其在如何的數學設定下計算。一般實數算術中，此式為無意義。在程序設計中，當遇上正整數除以零程序會中止，正如浮點數會出現無限大或NaN值的情況，而在Microsoft Excel及Openoffice或Libreoffice的Calc中，除以零會直接顯示#DIV/0!
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 基本算術 
基本算術中，除法指將一個集合中的物件分成若-{干}-等份。例如，個蘋果平分給人，每人可得個蘋果。同理，個蘋果只分給人，則其可獨得個蘋果。

若除以又如何？若有顆蘋果，無人（解作沒有）來分，每「人」可得多少蘋果？問題本身是無意義的，因根本無人來，論每「人」可得多少，根本多餘。因此，，在基本算術中，是無意義或未下定義的。

另種解釋是將除法理解為不斷的減法。例如「除以」，換一種說法，減去兩個，餘下，即被除數一直減去除數直至餘數數值低於除數，算式為餘數。若某數除以零，就算不斷減去零，餘數也不可能小於除數，使得算式與無窮拉上關係，超出基本算術的範疇。此解釋也有一問題，即為無窮大乘以零仍是零。

 早期嘗試 
婆羅摩笈多（598–668年）的著作《》被視為最早討論零的數學和定義涉及零的算式的文本。但當中對除以零的論述並不正確，根據婆羅摩笈多所說，

830年，另一位數學家在其著作《》試圖糾正婆羅摩笈多的錯誤，但不成功：

婆什迦羅第二嘗試解決此問題，答案是讓。雖然此定義有一定道理，但會導致一个悖論：的结果可以是任意一个数，所以所有的数都是相同的。Zero 

在微積分和数学分析中，像或這一類極限稱為不定型。不定型是可以計算的，結果可能是任意数。

缩略图|200px|安卓手機計算器除以0顯示無限大

 代數處理 
若某數學系統遵從域的公理，則在該數學系統內除以零必須為沒有意義。這是因為除法被定義為是乘法的逆向操作，即值是方程中的解（若有的話）。若設，方程式可寫成或直接。因此，方程式沒有解（当时），但是任何數值也可解此方程（当时）。在各自情況下均沒有獨一無二的數值，所以未能下定義。

 除以零的謬誤 
在代數運算中不當使用除以零可得出無效證明：

式：

試：
：正確
：正確
得出：

除以零得出

簡化，得出：

以上謬論假設，某數除以0是容許的，並且。

另一个简洁的证明
設，則兩邊同時减去，由平-{方}-差公式得兩邊除以，故。
通过上面的過程，证明了一切数字等于。此謬論是由於簡化的过程不正確，計算過程使用了「除以零」。

因為是零，所以不能夠把左右兩邊的刪去。

 虛假的除法 
在矩陣代數或線性代數中，可定義一種虛假的除法，設，當中代表的虛構倒數。這樣，若存在，則。若，則；參見广义逆。

 數學分析 

 扩展的实数轴 
表面看來，可以藉着考慮隨着趨向的來定義「除以零」。

對於任何正數，右極限是

另一方面，左極限是

由於左極限及右極限不相同，因此函數在的極限不存在，該點沒有定義。同樣地，若是負數，極限也不存在。

如果分子及分母均為零或趨向零，則可使用洛必達法則計算。

不定型極限
不定型（Indeterminate Form）的極限可透過四则运算或洛必達法則計算。

考慮函數

如果直接代入，會得到零除以零，這是沒有意義的。

但透過約簡分子及分母，該點的極限是可以計算的。

此外，函數的極限可透過洛必達法則計算。

若隨着趨向，與均趨向，該極限可等於任何實數或無限，或者根本不存在，視乎及是何函數。

 形式推算 
運用，正號、負號或沒有正負號因情況而定，除以零定義為：

 黎曼球 
集合為黎曼球（），在複分析中相當重要。

 计算机科学 
+ 不同程式語言下除以零的结果 程式語言 整数 浮点数 C语言 未定义行为，早期计算机可能崩潰；如果0是常量，可能导致编译警告。 无穷大或NaN Java 抛出ArithmeticException异常 无穷大或NaN JavaScript  无穷大或NaN Python 抛出ZeroDivisionError异常 抛出ZeroDivisionError异常；但是部分Python包提供的运算函数除外
在计算机中，除以零的结果根据编程语言、软硬件环境、数据类型、数值而不同。部分语言中，无论是整数还是浮点数，除以0均会产生异常，而在另一部分语言中，整数除以零会产生异常或未定义行为，而浮点数除以零的结果如下：

零与NaN除以零：NaN（注：NaN不等于NaN）
零与NaN以外的数除以符号相同的0（如1除以0）：正无穷大
零与NaN以外的数除以符号不同的0（如1除以-0、-1除以0）：负无穷大

 注釋 

 參考 
  1957 (1999 Dover edition), Introduction to Logic, Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN 0-486-40687-3 (pbk.).

 Charles Seife 2000, Zero: The Biography of a Dangerous Idea, Penguin Books, NY, ISBN 0 14 02.9647 6 (pbk.). 

 Alfred Tarski 1941 (1995 Dover edition), Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences, Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN 0-486-28462-X (pbk.).

 延伸閱讀 
 Jakub Czajko (July 2004) "", Chaos, Solitons and Fractals, volume 21, number 2, pages 261–271.

 參見 
 漸近線
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 引力奇點

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