取整函数

在数学和计算机科学中，取整函数是一类将实数映射到相近的整数的函数。Ronald Graham, Donald Knuth and . "Concrete Mathematics". Addison-Wesley, 1999. Chapter 3, "Integer Functions".

常用的取整函数有两个，分别是下取整函数（）和上取整函数（）。

下取整函数即為取底符號，在数学中一般记作或者或者，在计算机科学中一般记作floor(x)，表示不超过x的整数中最大的一个。


举例来说，，，，。对于非负的实数，其下取整函数的值一般叫做它的整数部分或取整部分。而叫做x的小数部分。每个分数都可以表示成其整数部分与一个真分数的和，而实数的整数部分和小数部分是与此概念相应的拓延。

下取整函数的符号用方括号表示（），称作高斯符号，首次出現是在卡爾·弗里德里希·高斯的數學著作《算术研究》。

上取整函数即為取頂符號在数学中一般记作，在计算机科学中一般记作ceil(x)，表示不小于x的整数中最小的一个。


举例来说，，，，。

计算机中的上取整函数和下取整函数的命名来自于英文的ceiling（天花板）和floor（地板），1962年由肯尼斯·艾佛森于《A Programming Language》引入。

性质

对于高斯符號，有如下性质。
按定义：
; 当且仅当  为整数时取等号。
 设  和  为正整数，则：

 当  为正整数时，有：
 其中  表示  除以  的餘數。
 对任意的整数  和任意实数 ，

一般的數值修約規則可以表述为将  映射到 ；
 高斯符號不是连续函数，但是上半连续的。作为一个分段的常数函数，在其导数有定义的地方，高斯符號导数为零。
 设  为一个实数， 为整数，则由定义， 当且仅当 。
 當  是正數時，有：

 用高斯符號可以写出若干个素数公式，但没有什么实际价值，見。
 对于非整数的 ，高斯符號有如下的傅里叶级数展开：

 根据Beatty定理，每个正无理数都可以通过高斯符號制造出一个整数集的分划。
 最后，对于每个正整数 ，其在 p 进制下的表示有  个数位。

 函數間之關係 
由上下取整函數的定義，可見

等號當且僅當為整數，即

實際上，上取整與下取整函數作用於整數，效果等同恆等函數：

自變量加負號，相當於將上取整與下取整互換，外面再加負號，即：

且：

至於小數部分，自變量取相反數會使小數部分變成關於1的「補數」：

上取整、下取整、小數部分皆為冪等函數，即函數疊代兩次的結果等於自身：

而多個上取整與下取整依次疊代的效果，相當於最內層一個：

因為外層取整函數實際衹作用在整數上，不帶來變化。

 商 
若和為正整數，且，則

若為正整數，則

若為正數，則

代，上式推出：

更一般地，對正整數，有：

對於正整數，以下兩式可將上下取整函數互相轉化：

對任意正整數和，有：

作為特例，當和互質時，上式簡化為

此等式可以幾何方式證明。又由於右式關於、對稱，可得

更一般地，對正整數，有

上式算是一種「互反律」（），與有關。

 應用 

 二次互反律 
高斯給出二次互反律的第三個證明，經艾森斯坦修改後，有以下兩個主要步驟。

設、為互異奇質數，又設


首先，利用高斯引理，證明勒让德符号可表示為和式：

同樣

其後，採用幾何論證，證明

總結上述兩步，得

此即二次互反律。一些小整數模奇質數的二次特徵標，可以高斯符號表示，如：

 質數公式 
下取整函數出現於若干刻畫質數的公式之中。舉例，因為在整除時等於，否則為，所以正整數為質數当且仅当，求和式的上限可以換成。尚有一個等價的表述：為質數當且僅當

除表示質數的條件外，還可以寫出公式使其取值為質數。例如，記第個質數為，任選一個整數，然後定義實數為

則衹用取整、冪、四則運算可以寫出質數公式：

類似還有米尔斯常数，使

皆為質數。

若不疊代三次方函數，改為疊代以為㡳的指數函數，亦有使

皆為質數。

以質數計算函數表示小於或等於的質數個數。由威尔逊定理，可知

又或者，當時：

本小節的公式未有任何實際用途。（譯文）：「雖然該些公式毫不實用⋯⋯但邏輯學家希望清晰明白不同公理體系，如何推導出算術各方面，則或許與此有關⋯⋯」（譯文）：「若數的準確值⋯⋯可以無關質數的方式表達，則該些公式之任一（或一切類似公式）的地位將截然不同。似乎沒有此種可能，但卻不能完全排除。」

其它等式

 对于所有实数x，有：

参考来源

 另见 
截尾函數

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