雙極圓柱坐標系

雙極圓柱坐標系（）是一種三維正交坐標系。往 z-軸方向延伸二維的雙極坐標系 ，則可得到雙極圓柱坐標系。雙極坐標系的兩個焦點  與  ，其直角坐標  分別設定為  與  。延伸至三維空間，這兩個焦點分別變成兩條直線， 與  ，稱為焦線。

基本定義
雙極圓柱坐標  通常定義為
 、
 、
 ；

其中，點  的  坐標等於  的弧度， 坐標等於  與  的比例的自然對數
。

注意到焦線  與  的坐標分別為  與  。

坐標曲面
不同  的坐標曲面是一組不同圓心線，而相交於兩個焦線  與  的圓柱面：
 。

它們的圓心線都包含於 yz-平面。正值  的圓柱面的圓心線都在  半空間；而負值  的圓柱面的圓心線則在  半空間。當絕對值  增加時，圓半徑會減小，圓心線會靠近原點。當圓心線包含原點時， 達到最大值  。

不同  的坐標曲面是一組圍著焦線，互不相交，不同半徑的圓柱面。半徑為
 。

它們的圓心線都包含於 xz-平面。正值  的圓柱面在  半空間；而負值  的圓柱面在  半空間。  平面則與 yz-平面同平面。當  值增加時，圓柱面的半徑會減少，圓心線會靠近焦點。

逆變換
雙極圓柱坐標  可以用直角坐標  來表示。點 P 與兩個焦線之間的距離是
 、
 。

 是  與  的比例的自然對數：
 。

 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段  與  的夾角。這夾角的弧度是  。用餘弦定理來計算：
 。

z-坐標的公式不變：
 。

標度因子
雙極圓柱坐標  與  的標度因子相等；而  的標度因子是 1 ：
 、
 。

所以，無窮小體積元素等於
 。

拉普拉斯算子是
 。 

其它微分算子，例如  與  ，都可以用雙極圓柱坐標表達，只需要將標度因子代入正交坐標系的一般方程式內。

應用
雙極圓柱坐標有一個經典的應用，這是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏，雙極圓柱坐標允許分離變數法的使用。一個典型的例題是，有兩個互相平行的圓柱導體，請問其周圍的電場為什麼？應用雙極圓柱坐標，我們可以精緻地分析這例題。

參閱

參考文獻




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