雙球坐標系

雙球坐標系（）是一種三維正交坐標系。設定二維雙極坐標系包含於 xz-平面。設定這雙極坐標系的兩個焦點  與  包含於 z-軸。將雙極坐標系繞著 z-軸旋轉，則可以得到雙球坐標系。在這二維雙極坐標系裏，坐標  的等值曲線是圓圈。 經過旋轉後，圓圈變成一個環面，而圓圈的圓心變成一個包含於 xy-平面的圓圈，稱為環心圓。稱環心圓至環面的距離為環小半徑。

基本定義
在三維空間裏，一個點 P 的雙球坐標  最常見的定義是
 、
 、
 ；

其中， 是直角坐標， 坐標是  的弧度， 坐標是點 P 離兩個焦點的距離  與  的比例的自然對數：
 。

坐標曲面
每一個紅色的 -坐標曲面都是包含了兩個焦點  與  環面。，每一個環面的環心圓都不相同。這些環心圓都包含於 xy-平面。環小半徑為
 。

當絕對值  增加時，環小半徑會減小，環心圓會靠近原點。當環心圓與原點同點時， 達到最大值  。

每一個藍色的 -坐標曲面都是不相交的圓球面。每一個圓球面都包圍著一個焦點；圓球心都包含於 z-軸。圓球半徑為
 。

它們的圓球心都包含於 z-軸。正值  的圓球面在  半空間；而負值  的圓球面在  半空間。 曲線則與 xy-平面同平面。當  值增加時，圓球面的半徑會減少，圓球心會靠近焦點。

逆變換

雙球坐標  可以用直角坐標  來表示。方位角  的公式為
 。

點 P 與兩個焦點之間的距離是
 、
 。

 是  與  的比例的自然對數：
 。

如圖 3 ， 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 之間的夾角。這夾角的弧度是  。用餘弦定理來計算：
 。

標度因子
雙球坐標  與  的標度因子相等：
 。

方位角的標度因子為
 。

無窮小體積元素是
 。

拉普拉斯算子是
 。

其它微分算子，像  ，  ，都可以用  坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

應用
雙球坐標有一個經典的應用，這是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏，雙球坐標允許分離變數法的使用。一個典型的例題是，有兩個不同半徑的圓球導體，請問其周圍的電位與電場為什麼？應用雙球坐標，我們可以精緻地分析這个问題。

參閱

參考目錄






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