连通图

连通图（）是图论中最基本概念之一，其定义基于连通的概念。在一个无向图G中，若从顶点到顶点有路径相连（从到也一定有路径），则称和是连通的。如果G是有向图，那么连接和的路径中所有的边都必须同向。如果图中任意两点都是连通的，那么图被称作连通图。图的连通性是图的基本性质。连通度是指为了让图分解成孤立的子图所要删除的顶点数的最小值。连通度是刻画网络的一个重要指标。

 严格定义 

对一个图G= (V,E)中的两点和，若存在交替的顶点和边的序列（在有向图中要求有向边属于E），则两点和是连通的。是一条到的连通路径，和分别是起点和终点。当时，被称为回路。如果通路中的边两两不同，则是一条简单通路，否则为一条复杂通路。如果图G中每两点间皆连通，则G是连通图。

一个有向图被称作弱连通(weakly connected)的，如果将所有有向边替换为无向边之后的无向图是连通的，如果对于任意一对顶点，，或者存在一条从到的有向路径，或者存在一条从到的有向路径，则该图是单连通(unilaterally conncected)的，如果对于如果对于任意一对顶点，，同时存在一条从到的有向路径和一条从到的有向路径，则该图是强连通(strongly connected)的。

 分量和割 
无向图G的一个极大连通子图称为G的一个连通分量（或连通分支）。每一个顶点和每一条边都属于唯一的一个连通分量，连通图只有一个连通分量，即其自身；非连通的无向图有多个连通分量。

有向图中的强连通分量是其极大的强连通子图。强连通图只有一个强连通分量，即是其自身；非强连通的有向图有多个强连通分量。

连通图的割点是指一个由顶点组成的集合，在删除了这些点之后，会变得不连通。点连通度是割点集阶数的最小值。如果图不是完全图，且,则图是-点连通的。更确切地来说，如果图（不论是否完全）可以在删除了个点之后变得不连通，却不能在删除个点之后变得不连通，则图是-点连通的，特别地，阶数为的完全图是-点连通的。

一对端点,的割点是是指一个由顶点组成的集合，在删除了这些点之后，,会变得不连通。局部连通度是,的最小割点集的阶数。在无向图上，局部连通度是对称的，也就是说，，另外，除了完全图之外，为所有不相邻的点对,的局部联通度中的最小值。

类似的概念可以用来定义边连通度。如果在上删除一条边可以导致不连通性，则这条边被称作桥。更一般地，割边是指一个由边组成的集合，在
在删除了这些边之后，会变得不连通。边连通度在是最小的割边集的大小，局部边连通度是

如果图的边连通度大于等于，则它被称作-边连通的。

在一个图上，以下的不等式成立:，其中是的最小度(minimum degree)。
如果图的点连通度等于其最小度,则被称作极大连通的，如果它的边连通度等于其最小度，则它被称作极大边连通的。
Super- and hyper-连通
如果图上，每一个最小的割点集都能孤立一个顶点，则图被称作super-connected或者 super-κ。如果删除了每一个最小的割点集之后图都会分成两个连通分量，并且其中一个是单点，那么图被称作hyper-connected或hyper-κ。 如果图上删除了每一个最小的割点集之后都分成了两个连通分量，则图被称作semi-hyper-connected或semi-hyper-κ。

一个割点集被称作non-trivial的，如果对于任意不属于的顶点，其邻域都不包含在中。的superconnectivity可以被表示成：
。

一个non-trivial 割边和edge-superconnectivity' 可以被类似地定义。

 门格尔定理 
图论中关于连通性最重要的定理之一门格尔定理，它用顶点之间独立路径的个数刻画了图点连通和边连通度。令
，为图的两个顶点，一系列连接和的路径被称作点独立的，如果它们之间除了，之外，不会有相同的顶点。类似地，它们被称作边独立的，如果它们不会有相同的边。
和点独立的路径的个数被记作，边独立的路径的个数被记作。
门格尔定理告诉我们，若
，不相同，则，若，不相同且不相邻，则
 。
事实上，这其实是最大流最小割定理的特殊情况。

 连通度的计算方面 
判断两个顶点是否连通这一问题可以被搜索算法迅速的解决，例如广度优先算法。更一般地，判断一个图是否连通，以及一个图连通分量的计数问题可以被较快地解决（例如使用并查集，一个简单算法的伪代码可以写成：

 从的任意一个顶点开始
 使用深度优先或广度优先搜索所有与该顶点连通的顶点，并计数
 搜索完成，如果计数等于的阶数，则是连通的，否则不连通。

根据门格尔定理，在连通图上，对于任意一对顶点，，，可以通过最大流最小割算法迅速的计算，因此，的边连通度和点联通度分别作为，的最小值，可以被迅速地计算。

 连通图的个数 
阶（小于等于16）的不同的连通图的个数在 On-Line Encyclopedia of Integer Sequences中被记录在 中，前几个份量是
 n 个数 2 1 3 4 4 38 5 728 6 26704 7 1866256 8 251548592

 一些例子 
 不连通图的边连通度和点连通度均为
 1-点连通等价于阶数大于等于的图的连通性。
 阶完全图的边连通度是,其他类型的阶图的边连通度严格小于
 在树中，任意两个顶点之间的局部边连通度都是

 其他性质 
 连通性被图同态保持
 如果是连通的，则它的线图也是连通的
 图是2-边连通的，当且仅当它有一个定向，且是强连通的。
 根据G. A. Dirac的结论，如果图是-点连通的，且，则对于每k个顶点组成的集合，存在一个环经过这个集合上所有的顶点。.. 在时，反过来亦成立。

 一个无向图G= (V,E)是连通的，那么边的数目大于等于顶点的数目减一：，而反之不成立。

 如果G= (V,E'')是有向图，那么它是强连通图的必要条件是边的数目大于等于顶点的数目：，而反之不成立。

 没有回路的无向图是连通的当且仅当它是树，即等价于：。

 参见 
 代数连通度
 Cheeger constant (graph theory)
 Dynamic connectivity, 并查集
 扩展图
 Strength of a graph
 參考文獻 

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