旋轉群

在經典力學與幾何學裏，所有環繞著三維歐幾里得空間的原點的旋轉及旋轉的複合組成的群稱為三維旋轉群Jacobson (2009), p. 34, Ex. 14.，有時會用SO(3) 來表示。

關於原點的旋轉是一個保持向量長度，保持空間取向（遵守右手定則或左手定則）的線性變換。兩個旋轉的複合是一個新的旋轉。每一個旋轉都有一個獨特的逆旋轉。上的恆等函數滿足旋轉的定義，可以作為群的單位元。旋轉的複合運算滿足結合律。由於符合上述四個要求，所有旋轉的集合是一個群。

每一個非平凡的旋轉可以由過原點的旋轉軸及旋轉角度給出。旋轉的複合不滿足交換律，因此三維旋轉群是非阿貝爾群。

更多地，旋轉群擁有一個天然的流形結構。對於這流形結構，旋轉群的運算是光滑的；所以，它是一個李群。

旋轉變換是從到的線性變換，因此選定的基後，每一個旋轉都可以由一個3乘3的矩陣表示。特別地，如果選定的是上的一個標準正交基，那麼每一個旋轉都可以由一個行列式為1的3乘3的正交矩陣表示。所以SO(3)群可以由一個由行列式為1的正交矩陣及矩陣乘法組成的群表示。這些矩陣被稱為特殊（行列式為1）()正交() 矩陣，這解釋了為甚麼我們用符號SO(3)來表示三維旋轉群。

 長度與角度 
除了保持長度（保長），旋轉也保持向量間的角度（保角）。原因是兩向量u和v的內積可寫作：

R3中的保長轉換保持了純量內積值不變，也因此保持了向量間的角度。包括SO(3)在內的一般性情形，參見古典群。

 正交矩陣與旋轉矩陣 

每一個旋轉會將一個的標準正交基映射到另一個標準正交基。作為有限維向量空間上的線性變換，旋轉變換可以由一個矩陣表示。令為給定的一個旋轉。關於的標準基，的列為。由於標準基是標準正交的，亦保持向量間的角度和向量長度，的列將構成另一個標準正交基。標準正交的條件可以表示為

其中為的轉置，為3乘3的單位矩陣。滿足此條件的矩陣稱為正交矩陣。所有3乘3的正交矩陣構成的群記作O(3)，包含了所有取向的旋轉。

除了保持長度不變，合適的旋轉保持空間取向不變。一個行列式為正值的矩陣將保持空間取向不變，反之，一個行列式為負值的矩陣將反轉空間取向。對於正交矩陣，暗示了，因此。行列式為1的正交矩陣組成的子群稱為特殊正交子群，記作SO(3)。

因此所有旋轉可以由一個具有單位行列式的正交矩陣唯一表示。更多地，因為旋轉的複合與矩陣乘法相對應，所以三維旋轉群與特殊正交群SO(3)同構。

瑕旋轉對應行列式為-1的正交矩陣，它們不構成一個群，因為兩個瑕旋轉的複合是一個正規旋轉（因為其行列式為1）。

 群結構 

 旋轉軸 

三維空間中非平凡的旋轉，皆繞著一個固定的「旋轉軸」，此旋轉軸是R3的特定一維線性子空間（參見：歐拉旋轉定理）。旋轉作用在與旋轉軸正交的二維平面，如同尋常的二維旋轉。既然二維旋轉皆可以旋轉角φ表示，則任意三維旋轉則可用旋轉軸搭配旋轉角來表示。

舉例來說，繞著正z軸旋轉φ角的逆時針旋轉為

給定R3中一單位向量n以及角度φ，設R(φ, n)代表繞n軸作角度φ的逆時針旋轉，則：
 R(0, n)為相等轉換（identity transformation），n任意單位向量；
 R(φ, n) = R(−φ, −n)；
 R(π + φ, n) = R(π − φ, −n)。

利用這些特性，參數為旋轉角φ（範圍： 0 ≤ φ ≤ π）與單位向量n的任意旋轉有如下性質：
 若φ = 0，n可為任意單位向量；
 若0 < φ < π，n為特定單位向量；
 若φ = π，n為彼此反向的兩特定單位向量；亦即，旋轉R(π, ±n)是等價的。

 有限子群 
SO(3)中只有很少的几个有限子群，且它们全部是熟悉的对称群，包括有：
 Ck：绕一条直线转过角度2π/k的倍数的旋转的循环群
 Dk：正k边形的二面体群
 T：将正四面体映为自身的十二个旋转四面體群
 O：立方体或正八面体旋转的24阶八面體群
 I：正十二面体或正二十面体的60个旋转的二十面體群

 相關條目 
 旋轉
 正交群
 歐拉角
 定向纏結
 四元數與空間旋轉
 剛體
 球諧函數

 詮釋 

 參考文獻 

Category:李群
Category:旋轉對稱
Category:三维旋转
Category:立體幾何