二面體群

在數學中，二面體群  是正  邊形的對稱群，具有  個元素。某些書上則記為 。除了  的情形外， 都是非交換群。

 生成元與關係 
抽象言之，首先考慮  階循環群 。反射  是  上的自同構，而且 。定義二面體群為半直積


任取  的生成元 ， 由  生成，其間的關係是


 的元素均可唯一地表成 ，其中 ，。

 幾何詮釋 

二面體群也可以詮釋為二維正交群  中由
  （旋轉  弧度）
  （對 x 軸反射）
生成的子群。由此不難看出  是正 n 邊形的對稱群。

 性質 
  的中心在  為奇數時是 ，在  為偶數時是 。
 當  為奇數時， 同構於  與二階循環群的直積。同構可由下式給出：

其中 ，。
 當  為奇數時， 的所有反射（即：二階元素）彼此共軛；當  為偶數，則反射元在共軛作用下分解成兩個軌道；從幾何方面解釋，二者差意在於反射面是否通過正  邊形的頂點。
 若 ，則 ，由此可導出  共有  個子群，其中的算術函數  與  分別代表  的正因數個數與正因數之和。

 表示 
當  為奇數時， 有兩個一維不可約表示：

當  為偶數時， 有四個一維不可約表示：


其餘不可約表示皆為二維，共有  個，形如下式：

其中  是任一 n 次本原單位根， 過 。由  給出的表示相等價若且唯若 。

 文獻 

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