弱*拓撲

弱*拓撲是賦範向量空間的對偶空間上的一種拓撲。弱*拓撲的的重要性，在於它使得單位球是緊集（巴拿赫-阿勞格魯定理）；相反地在線性算子範數誘發的拓撲中，單位球未必緊緻。（結果成立當且僅當賦範向量空間為有限維。）

定義
在域（是或）上的賦範空間中，每一個元素，都可以定義對偶空間上的一個線性算子。弱*拓撲是在上最弱的拓撲，使得所有這樣的都是連續的。

弱*拓撲可以更具體的定義，在上給出它的鄰域基：對任何，集合

其中，，是的弱*開的鄰域基。

收斂
弱*拓撲的收斂條件很簡單：序列在弱*拓撲中收斂，如果對任何都有，即逐點收斂到。弱*收斂記作。

弱*收斂性比依範數收斂性弱。如果，其中是的範數，則必然逐點收斂於，因而有；但是，不一定有，甚至可能。

半範數
對偶空間加上弱*拓撲是一個局部凸空間，因此可以由給予一個半範數的系統定義弱*拓撲。對，
,
構成這樣一個半範數的系統。

參考
K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, Lecture Notes in Mathematiks 56, 1968

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