正交座標系

在數學裏，一個正交坐標系定義為一組正交坐標，其坐標曲面都以直角相交（注意：很多作者采用爱因斯坦记号对坐标标号使用上标并非表示指数）。坐標曲面定義為特定坐標的等值曲面，即為常数的曲线、曲面或超曲面。例如，三維直角坐標是一種正交坐標系，它的為常數，為常數，為常數的坐標曲面，都是互相以直角相交的平面，都互相垂直。正交坐标系是曲线坐标系的特殊的但极其常见的形式。

动机
正交座標時常用來解析一些出現於量子力學、流體動力學、電動力學、熱力學等等的偏微分方程。舉例而言，選擇一個恰當的的正交座標來解析氫離子的波函數或消防水管的噴水，也許會比用直角座標方便的多。這主要是因為恰當的正交座標能夠與一個問題的對稱性相配合，從而促使應用分離變數法來成功的解析關於這問題的方程式。分離變數法是一種數學技巧，專門用來將一個複雜的維問題變為個一維問題。很多問題都可以簡化為拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程，這些方程式可以用很多種正交座標來分離。拉普拉斯方程可以在13个正交坐标系中分离（本文列出的14个中圆环坐标系除外），而亥姆霍茲方程可以在11个正交坐标系中分离。

概述
正交坐標的度規張量絕對沒有非對角項目。換句話說，無窮小距離的平方，可以寫為無窮小坐標位移的平方和：
；

其中，是維數，標度因子是度規張量的對角元素的平方根：

。

這些標度因子可以用來計算一個正交坐標系的微分算子。例如，梯度、拉普拉斯算子、散度、或旋度。

在數學裏，存在有各種各樣的正交座標系。應用二維直角座標系的共形映射方法，可以簡易的生成這些正交座標系。一個複數的任何全純函數，其複值的導數，如果不等於零，則會造成一個共形映射。如果答案可以表達為，則與的等值曲線以直角相交，就如同原本的與的等值曲線以直角相交。

三維與更高維的正交座標系可以由一個二維正交座標系生成，只要將二維正交座標往一個新的座標軸投射（形成類似圓柱座標系的座標系），或者將二維正交座標繞著其對稱軸旋轉。可是，也有一些三維正交座標系，例如橢球座標系，則不能夠用上述方法得到。更一般的正交坐标可以从一些必要的坐标曲面/曲线起步并通过考虑它们的而得到。

 向量代数 
在正交坐標系裏，內積的公式仍舊不變：
。

向量微積分
從前面的距離公式，可以觀察出，一個正交坐標的無窮小改變，其相伴的長度是。因此，一個位移向量的全微分等於

；

其中，是垂直於等值曲面的單位向量，指向著增值最快的方向，這些單位向量形成了一個局部直角坐標系的坐標軸。

因此，向量沿著周線的線積分等於

；

其中，是向量在單位向量方向的分量：
。

類似地，一個無窮小面積元素是
，

一個無窮小體積元素是
。

例如，向量對於一個曲面的曲面積分是

。

 球坐標系實例 
right
直角坐標與球坐標的變換方程式為

、
、
。

直角坐標的全微分是
、
、
。

所以，無窮小距離的平方是
 。

標度因子是
、
、
。

向量沿著周線的線積分等於
。

向量對於一個曲面的曲面積分是

。

 三維微分算子 

  算子  正交坐標公式标量场的梯度向量场的散度向量场的旋度标量场的拉普拉斯算子
上面表达式可以使用列維-奇維塔符號的更简洁形式书写，定义，并使用爱因斯坦记号，即在同时出现上标和下标的项目上求此项所有可能的总和:
 算子 表达式 标量场的梯度 向量场的散度向量场（只3D）的旋度 标量场的拉普拉斯算子 

二维正交坐标系表格
+坐标系复数变换和等值线的形状注释直角直线, 直线圆, 直线若则为极坐标系抛物线抛物线, 抛物线点偶极圆, 圆椭圆椭圆, 双曲线 对于大距离看似对数极双极圆, 圆对于大距离看似点偶极双曲线, 双曲线椭圆, 抛物线

三维正交坐标系表格

除了直角坐标系之外，下表列出其他常见的正交坐标系Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ，为了简明性在坐标列中使用了区间符号。

 曲线坐标 (q1, q2, q3) 从直角坐标(x, y, z)转换 缩放因子 球极坐标系   圆柱坐标系   抛物柱面坐标系    抛物线坐标系    椭圆柱坐标系    长球面坐标系    扁球面坐标系    双极圆柱坐标系   圆环坐标系   双球坐标系   圆锥坐标系   抛物面坐标系 
其中    椭球坐标系 
其中   

微分算子导引
 梯度導引 
一個函數的梯度朝某個方向的分量，等於方向導數  朝方向的值：
；

其中，是朝方向的無窮小位移。

假若，這與正交坐標軸同方向。那麼，。所以，函數的梯度朝的分量是；也就是說，
。

 散度導引 
。

取右手邊第一個項目，
。

應用向量恆等式與，可以得到
 。

總合所有項目，
。

 旋度導引 
。

取右手邊第一個項目，
。

應用向量恆等式，

。

應用向量恆等式，
。

總合所有項目，
 。

 拉普拉斯算子 

。

引用

参见
坐标系

斜交坐标系（度規張量有非對角項目）
在圆柱和球坐标系中的del

 參考文獻 
 Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill, pp. 164-182。

 Morse PM and Feshbach H. (1953) Methods of Theoretical Physics, McGraw-Hill, pp. 494-523, 655-666。

 Margenau H. and Murphy GM. (1956) The Mathematics of Physics and Chemistry, 2nd. ed., Van Nostrand, pp. 172-192。

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