嘉當矩陣

在數學中，嘉當矩陣是由法國數學家埃利·嘉當引入的一類特別矩陣，最大的應用在於李代數的分類理論。在有限維代數的表示理論中，嘉當矩陣另有其它意義。

李代數 
所謂廣義嘉當矩陣是具有下述性質的方陣 ：
 各項皆為整數：。
 對角線上的項等於二：。
 非對角線項非正：
 。
 存在正對角方陣  使  可以寫成 ，其中  是對稱方陣。

第四個條件可由第一及第五個條件導出。在第五個條件中，若可取  為正定，則稱  為嘉當矩陣。

若兩個嘉當矩陣差一個排列矩陣的共軛：，則稱兩者同構。若一嘉當矩陣同構於分塊對角的嘉當矩陣，則稱之為可化的，反之則稱為不可化。

由半單李代數可以得到根系，對應的廣義嘉當矩陣定義為

其中  是選定的單根。單李代數對應於不可化嘉當矩陣。

不可化嘉當矩陣可透過連通丹金圖分類。具體方式是取  個頂點（n 為嘉當矩陣  的階數），將頂點  以  條邊相連。定義每個頂點的權  使得 ，若兩個相鄰頂點  的權不同，則規定邊從權大者指向小者。這套模式類似於從根系定義丹金圖的手法。

有限維代數的表示理論
對於域  上的有限維結合代數 ，考慮不可約、-有限維左 -模 ，對每個 ，存在唯一的不可分解左射影模  （至多差一個同構），使得 。取  為  在  的合成列中作為合成因子的重數。方陣  稱為  的嘉當矩陣。

參考資料


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