黑林格-特普利茨定理

黑林格-特普利茨定理是數學泛函分析的定理，以德國數學家恩斯特·黑林格和奧托·特普利茨命名。

 敘述 
設為希爾伯特空間，是處處定義的對稱線性算子，即對任意都有等式

。

那麼，有界（因此也是連續）。

 證明 
從閉圖像定理可知，只需證明：如果序列趨於0，，那麼。因為內積在上連續，故得

所以。

 推論 
 任何對稱且在上處處定義的算子是自伴算子。
 無界自伴算子最多只能定義在希爾伯特空間的一個稠密子集上。

 物理結果 
這定理帶出了量子力學的數學基礎的一些技術難題。量子力學中的可觀察量對應到某個希爾伯特空間上的自伴算符，但一些可觀察量（如能量）的算符是無界的。這定理說這些算符不能處處定義，只能定義在稠密子集上。

以量子諧振子為例。這時希爾伯特空間是，即上平方可積函數空間，能量算符定義為（設其單位選取使得）


這算符是自伴無界的（其特徵值為1/2, 3/2, 5/2, ...），所以不能在整個上定義。

 參考 
 Dirk Werner: Funktionalanalysis (Springer, 5. Auflage 2005)

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