阿波羅尼奧斯圓

阿波羅尼奧斯圓是兩個相關的圓族。第一個圓族的每一個藍色圓與第二個圓族的每一個紅色圓相互正交。這些圓構成了雙極坐標系的基。阿波羅尼奧斯圓是希臘數學家阿波羅尼奧斯（古希腊语：）發現的。

定義
阿波羅尼奧斯圓是線段定義的，標記此線段為  。

第一族（藍色圓）
第一族中的每一個都由一個正實數 r 確定，這些圓定義為滿足下列條件的點 X 的軌跡：

即 X 到 C 的距離與 X 到 D 的距離之比值為 r.

當 r 很接近零時，相應的圓會靠近 C 的一側，而對接近 ∞ 的 r, 相應的圓則靠近 D 的一側。至於當r = 1 時，該圓會退化為線段 CD 之中垂線。

第二族（紅色圓）
第二族中的每個圓都由角 θ 確定， 這些圓定義為滿足下列條件的點 X 的軌跡：

其中 表示 CXD 的有向角。

當 θ 取遍 0 到 π 之所有值時，上式生成所有經過 C 和 D 的圓。

性質
不一樣圓圈的固定比例  必不一樣。每一個藍圓與藍圓之間互不同心，互不相交。

每一個藍圓與每一個紅圓以直角相交，可以簡易地解釋如下：關於一個圓心為點 C 的圓 Q ，一族的藍阿波羅尼奧斯圓的反演像，形成了一組同心圓，其圓心在點 D' 。點 D 關於圓 Q 的反演是點 D' 。同樣的變換把一族的紅圓反演為一組從點 D' 放射出來的直線。這樣，反演將雙極坐標變換為極坐標。在極坐標裏，每一條徑向線與 圓心為原點的圓圈 以直角相交。由於反演是一個共形變換，所以，每一個藍圓圈與每一個紅圓圈以直角相交。

双极坐标系

一对给定的蓝色圆（-等值曲線）和红色圆（-等值曲線）能够产生两个交点，为取得双极坐标系，需要通过一种方法指定正确的点。

等角弧是点 X 的轨迹，其与点 C 与 D 分别形成的向量之间满足以下的有向角关系：

这样的弧在红色圆内，并以点 C 与 D 为界，而圆的剩余部分由  给出。整段红色圆的描述则由两直线之间的夹角给出：

 參閱 
反演

 參考文獻 
 C. Stanley Ogilvy (1990), Excursions in Geometry, Dover. ISBN 0-486-26530-7。

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