閉圖像定理

閉圖像定理是數學中泛函分析的一條定理。

 敘述 
設，為巴拿赫空間，為線性算子。定義的圖像為的子空間
 。
賦予範數，使得成為巴拿赫空間。那麼，這定理指是連續的（與有界等價）當且僅當在內是閉集。

 證明 
閉圖像定理可以從開映射定理推導出來。

是閉集的充分必要條件是如果序列（即對任意有），而，那麼，。如果是連續的，從連續性立刻可知是閉集，因為連續性是更強的條件：如果，則。

如果是閉集，可以在定義線性算子
 ，
 。
顯然，因此是有界算子。

是巴拿赫空間中的閉子空間，所以是巴拿赫空間。也是巴拿赫空間，是雙射，從而由開映射定理的系可知，其逆為有界算子。

因為，故也是有界的。

 推論 
從這定理可得出黑林格-特普利茨定理──希爾伯特空間上處處定義的對稱線性算子是有界的。

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