度規函數

度規函數是數學凸分析的一個重要函數。設為或上的向量空間，有需要時可以假設為拓撲向量空間。設為在內的凸集，且包含原點。那麼的度規函數是從到的函數，定義為
,
如果為空集，定義。

從定義立刻得到以下結果，可以進一步說明度規函數：

 若是在中的開集，那麼；
 若是在中的閉集，那麼。

 性質 
 凸性 

 只取有限值的條件 

同樣地可立刻看出這條件當是的內點時成立。易證逆命題在有限維時成立：簡潔做法是看到既是有限值和處處定義的凸函數，因而連續，故此包含在內且是的鄰域。

當是在的內部時，可以想像這樣一幅圖畫：函數取值1的點正好是凸集的邊界，其他正數值的水平面是其位似形。如果有不在任一個水平面上的點，函數在該點取值為。

最後再補充一點。在實向量空間時，相對點對稱，其度規函數避開值，這度規函數便是半範數；在複向量空間也有同樣結論，只需把對稱的定義，修改為與任何模為1的複數相乘都不變。

 原點外不取0值的條件 
從定義看出度規函數在原點外一點取 值，當且僅當從原點過的射線包含在凸集內。

因此立刻可知在賦範向量空間內，有界凸集的度規函數不在原點外取 值。

逆命題對有限維空間內的閉凸集成立，用半徑為1的球面的緊緻性證明。

用途
 在拓撲向量空間理論，引入一族適合的度規函數，便能夠以半範數描繪局部凸空間的特性。

 在凸集的幾何中，度規函數是有用的工具，能把純幾何問題（研究超平面），轉變成純分析問題（研究超平面的方程）。在凸集分離和支撐超平面理論的一個基礎結果，就是哈恩-巴拿赫定理的幾何形式，其中的證明關鍵，在觀察到對適合方程的超平面，要求超平面避開給定包含原點的開凸集，與要求函數和凸集的度規函數適合不定方程是相同的。

 參考書目
Jean-Baptiste Hiriart-Urruty and Claude Lemaréchal, Fundamentals of convex analysis, coll. « Grundlehren Text Editions », Springer, 2001, ISBN 3540422056, p. 128-130

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Category:函数