角平分线长公式

在平面几何中，角平分線長公式是計算三角形內、外角平分線長度的公式。在三角形  中， 的内角平分線交对边  于点  ，外角平分線交直线  于点  ，则三角形的内、外角平分線的长度为：

若记  边长为  ， 边长为  ， 边长为  ，记内角平分線  长为  ，外角平分線  长为  ，则三角形的内、外角平分線的长度可以表示为：

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 证明  
内角平分线长
作  的内角平分線交对边  于点  。延长  至点  ，使  。

得内角平分线长公式（i）：

外角平分线长
作  的外角平分線交直线  于点  。延长  至点  ，使  。

得外角平分线长公式（i）：

推导
根据角平分线定理，有：

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代入式（i），得到角平分线长公式（ii）：

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将余弦公式代入式（ii），得到角平分线长公式（iii）：

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将半角公式代入式（iii），得到角平分线长公式（iv）：

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与其他定理的关系
斯图尔特定理
角平分线长公式是斯图尔特定理的特殊情况，或者说推论。根据斯图尔特定理，对于三角形  的任意一边  上的任意一点  ，有：

当点  是内角平分线足时，根据角平分线定理，有：

联立之后，即可得到内角平分线长公式（i）或（ii）。同理，可以推出外角平分线长公式（i）或（ii）。

施泰纳-莱穆斯定理
利用角平分線長公式，可以证明施泰纳-莱穆斯定理——有两条内角平分线长度相等的三角形是等腰三角形。

化简后得到： 

连乘的其他各项都为正数，从而推出： 

 名称 
在欧美，角平分線長公式没有特殊的名称。在中国大陆，有文獻將内角平分線長公式（i）称为“斯库顿定理”，乃是以荷兰数学家命名。而在欧美，指的是等边三角形外接圆的一个性质，与三角形角平分线无关。

 參見 
中線長公式
角平分線定理

参考文献

Category:三角学
Category:三角形几何
Category:几何定理
Category:数学公式