邻域系

定义
的映射（指的幂集的幂集）。这样将的每个点映射至的子集族。称为的邻域系（或称邻域系统，的元素称为的邻域），当且仅当对任意的，满足如下邻域公理：

 U1：若，则。
 U2：若，则。（邻域系对邻域的有限交封闭）。
 U3：若，，则。
 U4：若，则存在，使且对所有，有。

从邻域出发定义其它拓扑空间的基础概念：
 从邻域定义开集：的子集是开集，当且仅当对任意，有。（是其中每个点的邻域）。
 从邻域定义开核：的子集的开核。
 从邻域定义闭包：的子集的闭包。

参照滤子的定义。给定点x，其邻域系恰构成了一个滤子，称为邻域滤子。

邻域基
点的邻域基或局部基，就是邻域滤子的滤子基。它是的子集，满足：每个x的邻域  都存在，使。
（，使，）

反之，给出邻域基，可以反推出相应的邻域滤子：。Stephen Willard, General Topology (1970) Addison-Wesley Publishing (See Chapter 2, Section 4)

 例子 
一个点的邻域系也平凡的是这个点的邻域基。

若拓扑空间X是不可分拓扑，则任何点 x 的邻域系是整个空间

在度量空间中，对于任何点 x，围绕 x 有半径 1/n 的开球序列形成可数邻域基 。这意味着所有度量空间都是第一可数的。

在半赋范空间中，就是带有由半范数引发的拓扑的向量空间，所有邻域系统可以通过点 0 的邻域系统的平移来构造，
。
这是因为向量加法在引发的拓扑中是分离连续的。所以这个拓扑确定自它的在原点的邻域系。更一般的说，只要拓扑是通过平移不变度量或伪度量定义的以上结论就是真的。 

非空集合 A 的所有邻域系是叫做 A 的邻域滤子的滤子。

拓扑空间 X 中所有点 x 的局部基的并集是 X 的基。

 参见 
邻域
基 (拓扑学)
局部凸拓扑向量空间
滤子 (数学)

註釋

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