集合域

在集合代数中，域，或者代数，是指一种有序对，其中  是集合， 是由集合  的一些子集构成的一种集类，它满足  自身是它的元素，且对加法（有限并）封闭和乘法（有限交）及逆（余集）运算封闭。在这样的集类中，空集类似于 0，因为和它相加（并）的任何集合结果还是自身；全集相当于 1，因为和它相乘（交）的任何集合还是自身。

也可把满足上述条件的集类称为域或代数

定义

非空集类  若满足以下条件：

 ；
 (对有限并、有限交封闭)；
 (对补集运算封闭).

则称其为  上的一个代数。

或者可以把代数定义为有元素  和空集、对有限交（或有限并）和余集运算封闭的  的子集类，这两者是等价的。

性质
无论从哪个定义出发，利用德摩根定律和集合交与并运算的分配律，都可列出代数具有如下性质：空集和全集是它的元素、对有限并和有限交封闭、对补集运算封闭、对差集运算封闭。

一个代数也一定是一个环。用可列不交并封闭一个代数，将得到一个σ-代数，而后者是数学严格化测度论与概率论非常重要的一种集类。

其中用可列不交并封闭一个代数  得到的新集类定义是：

其他定义

  是  的幂集布尔代数的子代数。在明确上下文时，亦称 F 为集合域。
  的元素称为点，而  的元素称为复形。 

集合域在布尔代数的表示理论中扮演中心角色。所有布尔代数都可以被表示为集合域。

 参见 
 内部代数

 Stone布尔代数表示定理

 布尔环

参考

 Goldblatt, R., Algebraic Polymodal Logic: A Survey, Logic Journal of the IGPL, Volume 8, Issue 4, p. 393-450, July 2000
 Goldblatt, R., Varieties of complex algebras, Annals of Pure and Applied Logic, 44, p. 173-242, 1989

 Naturman, C.A., Interior Algebras and Topology, Ph.D. thesis, University of Cape Town Department of Mathematics, 1991

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Category:测度论