志村簇

在數學中的代數幾何與數論領域，志村簇是一類特殊的代數簇，可視之為模曲線在高維度的類推。粗略地說，志村簇乃是埃爾米特對稱空間對某個代數群之同餘子群的商；最簡單的例子是上半平面對  的商。一維的志村簇有時也被稱為志村曲線。

志村五郎在1960年代研究了上述商空間的緊化，其目的在推廣複乘法理論及互逆律見其著作 Introduction to Arithmetic Theory of Automorphic Functions。；在此需要的基本結果是 Baily-Borel 定理（1966）Baily,W.L., Borel,A.: Compactication of arithmetic quotients of bounded symmetric domains, Ann. Math.84 (1966), 442 - 528.。此後，人們也發現志村簇是某類霍奇結構的模空間。

典範模型
按照定義，志村簇本身僅是一個複流形。志村五郎證明了每個志村簇都可以定義在一個唯一確定的數域  上，由此也可解釋志村簇與數論問題的關聯。這個結果是志村五郎陳述其互逆律的出發點。

在朗蘭茲綱領中的角色
志村簇在朗蘭茲綱領扮演重要地位。根據朗蘭茲的猜想，對任一定義在數域  上的代數簇 ，其哈瑟-韋伊ζ函數將會來自一個自守表示。至今已知的結果全是  為志村簇的情形。

在這個方向上，一個指導性的結果是 Eichler-志村同餘關係：此結果保證了模曲線的哈瑟-韋伊ζ函數可表成源自模形式的L函數之積，其中每個模型式的權都是二，並具有明確的表示式。事實上，志村五郎發展其理論的動機就是推廣這個結果。

文獻 
James Arthur (Editor), David Ellwood (Editor), Robert Kottwitz (Editor) Harmonic Analysis, the Trace Formula, and Shimura Varieties : Proceedings of the Clay Mathematics Institute, 2003 Summer School, the Fields Institute, (Clay Mathematics Proceedings,) ISBN 082183844X
Deligne, Pierre; Milne, James S.; Ogus, Arthur; Shih, Kuang-yen Hodge cycles, motives, and Shimura varieties. Lecture Notes in Mathematics, 900. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1982. ii+414 pp. ISBN 3-540-11174-3 
Deligne, Pierre Variétés de Shimura: interprétation modulaire, et techniques de construction de modèles canoniques.  Automorphic forms, representations and L-functions (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Part 2, pp. 247--289, Proc. Sympos. Pure Math., XXXIII, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1979. 
 Deligne, Pierre Travaux de Shimura. Séminaire Bourbaki, 23ème année (1970/71), Exp. No. 389, pp. 123--165. Lecture Notes in Math., Vol. 244, Springer, Berlin, 1971. 
J. Milne,   Shimura varieties and motives  U. Jannsen (ed.)  S. Kleiman (ed.)  J.-P. Serre (ed.) , Motives , Proc. Symp. Pure Math. , 55: 2 , Amer. Math. Soc.  (1994)  pp. 447–523

J. S. Milne Introduction to Shimura varieties , chapter 2 of the book edited by  Arthur, Ellwood, and Kottwitz (2003)
Shimura, Goro, The Collected Works of Goro Shimura (2003), five volumes

註記

外部連結


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