作用量-角度坐标

在經典力學裏，作用量-角度坐標（action-angle coordinate）是一組正則坐標，通常在解析可積分系統 () 時，有很大的用處。應用作用量-角度坐標的方法，不需要先解析運動方程式，就能夠求得振動或旋轉的頻率。作用量-角度坐標主要用於完全可分的 哈密頓-亞可比方程式（哈密頓量顯性地不含時間，也就是說，能量保持恆定）。作用量-角度變數可以用來定義一個環面不變量。因為，保持作用量的不變設定了環的曲面，而角度是環面的另外一個坐標，粒子依照著角度，捲繞於環面。

在量子力學早期，波動力學發展成功之前，波耳-索末菲量子化條件 () 是研究量子力學的利器。此條件闡明，作用量必須是普朗克常數常數的整數倍。愛因斯坦對於  深刻的理解 與 非可積分系統 量子化的困難，都是以 作用量-角度坐標的環面不變量 來表達。

在哈密頓力學裏，作用量-角度坐標也可以應用於微擾理論，特別是在決定緩漸不變量。關於一個自由度很小的動力系統的非線形微擾，混沌理論研究的最早的一個結果是  。這定理闡明，對於微小微擾，環面不變量是穩定的。

作用量-角度坐標，對於戶田晶格 () 的解析，對於  的定義，更廣義地，對於一個系統同光譜 () 演化的構想，都佔有關鍵地位。

導引
保守的哈密頓量系統
主條目：哈密頓特徵函數

假設，在一個物理系統裏，哈密頓量是保守的，也就是說，哈密頓量  不顯含時間；
 ；

其中， 是運動常數， 是廣義坐標， 是廣義動量。

採用哈密頓特徵函數  為正則變換的第二型生成函數。變換方程式為
 ，
 ；

其中， 是新廣義坐標， 是新廣義動量。

新哈密頓量  與舊哈密頓量  相等：
 。

新廣義動量的哈密頓方程式為
 。

所以，新廣義動量是常數  ：
 ，

假設，這物理系統的哈密頓-亞可比方程式  為完全可分的，則哈密頓特徵函數  可以分離為  個函數  ：
 。

哈密頓特徵函數與新舊正則坐標的關係是
 ，
 。

週期性運動
假若，粒子的運動是週期性運動，最常見的例子如振動或旋轉都是週期性運動，則可以設計一個新正則坐標－作用量-角度坐標  。定義作用量為
 ；

這閉路徑積分的路徑是粒子運動一週期的路徑。

由於廣義動量  只跟  、 有關，經過積分，作用量 只跟  有關。所以，作用量向量  只是個常數向量。哈密頓特徵函數可以表達為
 。

雖然是同樣的物理量，函數的參數不同，形式也不同。

定義角度  為

 。

由於所有的廣義坐標  都相互獨立，所有的廣義動量  也都相互獨立，所以，所有的作用量  都相互獨立，作用量-角度坐標可以正確的用為正則坐標。這樣，哈密頓特徵函數可以用正則坐標作用量-角度坐標表達為
 。

新哈密頓量  與舊哈密頓量  相等：
 。

因為作用量  只是常數向量，所以，
 。

新哈密頓量  ，只跟作用量  有關，跟角度  無關。

角度  隨時間的導數  ，可以用哈密頓方程式決定：
 。

每一個  都是常數，所以， 也是常數：
 ；

其中， 是積分常數。

運動頻率
假設原本廣義坐標  的振蕩或旋轉的運動週期為  ，則其對應的角度變數  的改變是  。進一步了解物理量  的性質，猜想  與廣義坐標  週期性運動的頻率有關。可是，因為角度  是廣義座標  與作用量  的函數，無法確定前面的猜想。為了證實這論點，計算週期  ：
 。

新哈密頓量  與舊哈密頓量  相等。所以，
 。

假若  是個循環坐標，那麼，其共軛動量  必是個常數，可以從作用量的定義積分內提出來：
 ；

其中， 是  運動一週期的值。

這樣，
 。

代入週期  的公式，
 。

肯定地， 是廣義坐標  的頻率。

假若  不是循環坐標，則不能將其共軛動量  從作用量的定義積分內提出來，必須採用另外一個方法計算。從角度的定義，可以察覺角度  跟廣義坐標  、作用量  有關： 
 。

保持作用量不變，角度的虛位移  是：
 。

在一個週期性物理系統裏，每一個廣義坐標  都有它運動的週期  。假若，其中有任何廣義坐標的週期與別的廣義坐標的週期不相同，則稱此物理系統為多重週期性物理系統。假若，兩個廣義坐標的週期不同  、 。在做閉路徑積分的時候，就必須使用使用一個新的週期  ，讓閉路徑積分能夠開始與結束於同一點．假若，兩個週期的比例是個有理數，則稱這兩個週期互相可通約的。設定新週期為
 ；

其中， 、 、 、 ，都是正值的整數。

同樣地，在多重週期性物理系統裏，假若，每一個廣義坐標的週期與其它的廣義坐標的週期都是互相可通約的，則此系統是完全可通約的，稱此系統為完全可通約系統。那麼，新週期  為
 ；

其中， 、 ，都是正值的整數。

經過一個週期  ，角度  的變化是：

 。

由於作用量  是個常數，可以將它從積分內提出： 
 。

所以，頻率是 
 。

假若，有任何兩個互相不可通約的廣義坐標  、 ，其週期  、 的比例是無理數。那麼， 不可能與  同時回到同一點。雖然如此，有理論證明， 、 仍舊分別是  、 的頻率。

傅立葉級數
角度  是一組互相獨立的廣義坐標。所以，一般而言，每一個廣義坐標  可以用角度的傅立葉級數表示：
 ；

其中，  是傅立葉級數係數。

在大多數實際案例，物理系統的哈密頓-亞可比方程式  為完全可分的。那麼，一個原本廣義坐標  只需用其相應的角度變數的傅立葉級數表示：
 。

基本規則總結
一般程序有三個步驟：
 計算作用量變數  。
 用作用量變數表示原本哈密頓量。
 取哈密頓量關於作用量變數的導數。這樣，可以求得頻率  。

簡併度
在有些案例，兩個不同的廣義坐標會有相同的頻率；也就是說， for  。稱這些案例的運動狀態為簡併。

簡併的運動給出暗示，很可能有更多的保守量。例如，克卜勒問題的頻率是簡併的，這對應於拉普拉斯-龍格-冷次向量的恆定性。

簡併的運動還給出暗示，在多於一種坐標系統裏，哈密頓-亞可比方程式會是完全可分的。例如，克卜勒問題在球坐標系與拋物線坐標系，都是完全可分的。

參考文獻
 Lev D. Landau and E. M. Lifshitz, (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).

 H. Goldstein, (1980) Classical Mechanics, 2nd. Ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9. pg. 457-477.

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