非对称关系

在數學中，非對稱關係（）是二元關係的一種。若集合  上的二元關係  為非對稱關係，則對於所有 ，。換句話說，如果  至  存在關係，則  至  不存在關係.。 

 正式定義 
一個定義於  上的二元關係  是  的任何子集。給定 ，我們將  簡寫為 ，讀作「 至  存在關係 （ is related to  by ）」。

如果對於所有 ，若 ，則 （也就是  ），則我們稱  是非對稱的。以一階邏輯的形式可以寫成：

一個邏輯等價的定義如下：對於所有 ， 與  中至少有一為假。以一階邏輯的形式可以寫成：

非對稱關係的一個例子是定義於實數上的「小於關係」，亦即 。由於當  小於  時， 一定不小於 ，因此  是非對稱的。另一方面，「小於等於關係」則不是非對稱的，因為當  時， 和  會同時成立，不符合非對稱關係的定義。

非對稱關係不代表對稱關係的相反，上述的「小於等於關係」既不是非對稱關係，也不是對稱關係；而「空關係（）」是唯一同時是非對稱關係，也是對稱關係的關係。

非對稱關係（Asymmetric）與反對稱關係（Antisymmetric）的差異在於：反對稱關係容許自反性， 可以屬於 ，而非對稱關係不允許。如上述的「小於等於關係」即是反對稱關係的一例。

 特性 

 一個關係為非對稱的，若且唯若該關係為反對稱且非自反的.。
對於一個非對稱關係 ，對其施加限制或求其逆關係後，該關係同樣是非對稱的。例如，由「」定義的關係是非對稱關係（若  則 ），若將集合從實數限縮至整數，該關係同樣是非對稱的；求該關係的逆關係「」，該逆關係同樣是非對稱的。
一個遞移關係為非對稱的，若且唯若該關係為非自反的 Lemma 1.1 (iv). Note that this source refers to asymmetric relations as "strictly antisymmetric".：若存在  且  使得該關係不是非對稱，則由遞移性可得到 ，使得該關係同樣不是非自反關係。
一個關係為遞移性的且非對稱的，若且唯若該關係為嚴格偏序的。
一個非對稱關係不一定是全關係。例如，由「嚴格子集」定義的關係是非對稱關係（若  則 ），但不是全關係（ 又 ）。

 参见 
 反对称关系
 对称关系

參考資料

Category:数学关系