传递闭包

数学中，集合X上的二元关系 R 的传递闭包是包含R的X上的最小的遞移關係。

例如，如果 X 是由人组成的集合（不论人活着与否）而R是关系“为父子”，则 R 的传递闭包是关系“x 是 y 的祖先”。再比如，如果 X 是空港的集合而关系 xRy 为“从空港 x 到空港 y 有直航”，则 R 的传递闭包是“可能经一次或多次航行从 x 飞到 y”。

存在性和描述

对于任何关系 R，R 的传递闭包总是存在的。传递关系的任何家族的交集也是传递的。进一步地，至少存在一个包含 R 的传递关系，也就是平凡的: X × X。R 传递闭包给出自包含 R 的所有传递关系的交集。

我们可以用更具体术语来描述 R 的传递闭包如下。定义在 X 上的一个关系 T，称 xTy 当且仅当存在有限的元素(xi)序列，使得 x = x0 并且

x0Rx1, x1Rx2, …, xn−1Rxn 和 xnRy
形式上写为

容易检查出关系 T 是传递的并且包含 R。进一步地，任何包含 R 的传递关系也包含 T，所以 T 是 R 的传递闭包。

证实 T 是包含 R 的最小传递关系

设 A 是任何元素的集合。

假定: GA 传递关系 RAGA  TAGA。所以 (a,b)GA(a,b)TA. 所以，特定的 (a,b)RA。

现在通过 T 的定义，我们知道了 n (a,b)RnA。接着，i, in  eiA。所以，有从 a 到 b 路径如下: aRAe1RA...RAe(n-1)RAb。

但是，通过 GA 在 RA 上的传递性，i, in  (a,ei)GA，所以，(a,e(n-1))GA  (e(n-1),b)GA，所以通过 GA 的传递性，我们得到了 (a,b)GA。矛盾于 (a,b)GA。

因此，(a,b)AA, (a,b)TA  (a,b)GA。这意味着 TG，对于任何包含 R 的传递的 G。所以，T 是包含 R 的最小传递闭包。

推论

如果 R 是传递的，则 R = T。

用途

注意两个传递关系的并集不必须是传递的。为了保持传递性，必须采用传递闭包，例如在取两个等价关系或预序的并的时候。为了获得新的等价关系或预序，必须选用传递闭包（自反性和对称性在等价关系的情况下是自动的）。

有向无环图(DAG)的传递闭包是 DAG 的可到达性关系和一个严格偏序。

 与复杂性的关系 

在计算复杂性理论中，复杂度类 NL 严格对应于可使用一阶逻辑和传递闭包表达的逻辑句子的集合。这是因为传递闭包性质有密切关系于 NL-完全问题 STCON，找到在一个图中的有向路径。类似的，类 L 是一阶逻辑带有交换传递闭包。在向二阶逻辑增加了传递闭包的时候，我们得到 PSPACE。

 有关概念 

 关系 R 的传递简约是有 R 作为它的传递闭包的最小关系。一般来说它不唯一。

 算法 
计算图的传递闭包的有效算法可见于 here 。最简单的技术是Floyd-Warshall算法。

 引用 
 Lidl, R. and Pilz, G., 1998, Applied abstract algebra, 2nd edition, Undergraduate Texts in Mathematics,  Springer, ISBN 0-387-98290-6

 外部連結 

 "Transitive closure and reduction ", The Stony Brook Algorithm Repository, Steven Skiena  . 

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