可数选择公理

可数选择公理，指示为，是公理化集合论的类似于选择公理的一个公理。它声称非空集合的任何可数搜集都一定有选择函数。保羅·寇恩证明了ACω在Zermelo-Fraenkel集合论（）中是不可证明的。

足够证明可数多可数集合的并集是可数的。它还足够证明所有无限集合都是戴德金无限的（等价的说：有可数无限的真子集）。对于开发数学分析特别有用，这里的很多结果依赖于实数的可数集合有选择函数（考虑为有理数的柯西序列的集合）。

是弱形式的选择公理（AC），它声称非空集合的“所有”搜集一定有一个选择函数。AC明确的蕴涵了依赖选择公理（DC），而DC足够证明。但是要严格弱于DC（而DC严格弱于AC）。

用法
作为应用的例子，下面是所有无限集合是戴德金无限的一个证明（在中）：

设是无限的。对于每个自然数，设是的所有元素子集的集合。因为是无限的，每个是非空的。對序列应用，便得到了序列（)，这里的每个是有个元素的的子集。
集合可能是相交的，但是我们可以定义

是与所有的并集的差集，。
明显的每个集合都有至少1個和至多个元素，而集合是兩兩不相交的。再對序列應用，便得到了序列，其中。
所以所有都是相異的，而包含一个可数集合。定義把每个映射到的函数（并固定所有的其他元素），f是从到的一一映射，它不是满射，这证明了是戴德金无限的。

参见

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