法图引理

在测度论中，法图引理（）说明了一个函数列的下极限的积分（在勒贝格意义上）和其积分的下极限的不等关系。法图引理的名称来源于法国数学家，被用来证明测度论中的法图-勒贝格定理和勒贝格控制收敛定理。

叙述

设为一个测度空间， 是一个实值的可测正值函数列。那么：

其中的函数极限是在逐点收敛的意义上的极限，函数的取值和积分可以是无穷大。

证明

定理的证明基于单调收敛定理（非常容易证明）。设为函数列 的下极限。对每个正整数，逐点定义下极限函数：

于是函数列单调递增并趋于 。 

任意，我们有，因此 

于是

据此，由单调收敛定理以及下极限的定义，就有：

反向法图引理
令为测度空间中的一列可测函数，函数的值域为扩展实数（包括无穷大）。如果存在一个在 上可积的正值函数，使得对所有的都有，那么

这里只需弱可积，即。

证明：对函数列应用法图引理即可。

推广
推广到任意实值函数

法图引理不仅对取正值的函数列成立，在一定限制条件下，可以扩展到任意的实值函数。令为测度空间中的一列可测函数，函数的值域为扩展实数（包括无穷大）。如果存在一个在上可积的正值函数，使得对所有的都有，那么

证明：对函数列应用法图引理即可。

逐点收敛

在以上的条件下，如果函数列在上μ-几乎处处逐点收敛到一个函数，那么


证明：是函数列的极限，因此自然是下极限。此外，零测集上的差异对于积分值没有影响。

依测度收敛

如果函数列在上依测度收敛到，那么上面的命题仍然成立。

证明：存在的一个子列使得

这个子列仍然依测度收敛到，于是又存在这个子列的一个子列在上μ-几乎处处逐点收敛到，于是命题成立。

外部链接

参考来源

 H.L. Royden, "Real Analysis", Prentice Hall, 1988.

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