連續性方程式

在物理學裏，連續性方程式（）是描述守恆量傳輸行為的偏微分方程式。在適當條件下，質量、能量、動量、電荷等都是守恆量，因此很多傳輸行為都可以用連續性方程式來描述。

連續性方程式是局域性的守恆定律方程式。與全域性的守恆定律相比，這種守恆定律条件更强。本條目內的所有關於連續性方程式的範例都表達了同樣的思想──在任意區域內某種守恆量總量的改變，等於從邊界進入或離去的數量；守恆量不能夠增加或減少，只能夠從某一個位置遷移到另一個位置。

每一種連續性方程式都既可以用積分形式表達（使用通量積分），描述任意有限區域內的守恆量；也可以用微分形式表達（使用散度算符），描述任意位置的守恆量。其微分形式与積分形式通过散度定理相互关联。

概論
微分形式
一般的連續性方程式的微分形式為
 ；

其中， 是某物理量  的密度（每單位體積的物理量）， 是  的流量密度（每單位面積每單位時間的物理量）的向量函數（）， 是  在每單位體積每單位時間的生成量。

假若  則稱  為「源點」；假若  則稱  為「匯點」。假設  是没有产生或湮滅的守恆量，（例如，電荷），則  ，連續性方程式變為
 。

從簡單的「能量連續性方程式」到複雜的納維-斯托克斯方程式，這方程式可以用來表示任意連續性方程式。该方程式也是平流方程式（）的推廣。

另一些物理學中的方程式也具有類似連續性方程式的數學形式，例如電場的高斯定律或引力场的高斯重力定律。但是他们通常不被稱為連續性方程式，因為  並不代表真實物理量的流動。

積分形式
根據散度定理，連續性方程式可以寫為等價的積分形式：

 ；

其中， 是包住體積  的任意固定（不隨時間改變）閉曲面， 是在體積  內的  總量， 是在積分體積  內源點與匯點的總生成量每單位時間， 是微小面向量積分元素。

舉一簡例，假設  是台北101大樓， 是在大樓內某時間的總人數， 是由門口、牆壁、屋頂、地基等等，共同組成的曲面，則連續性方程式表明，當人們進入大樓時（代表穿過曲面的內向通量），或當大樓裏面的孕婦生產時（代表源點的  ），在大樓裏面的總人數會增加；而當人們離開大樓時（代表穿過曲面的外向通量），在大樓裏面的總人數會減少。

 電磁理論 

在電磁理論裏，連續性方程式可以視為一條經驗定律，表達局域電荷守恆，或是從馬克士威方程組推導出的結果。「電荷連續性方程式」表明，電荷密度  的變率與電流密度  的散度，兩者的代數和等於零：
  。

 馬克士威-安培方程式滿足局域電荷守恆的連續性方程式 
馬克士威-安培方程式為
  ；

其中， 是磁場， 是電場， 是磁常數， 是電常數。

取散度於方程式的兩邊，由於旋度的散度必是零，
  。

高斯定律的方程式為
 。

將這方程式代入，可以得到
 。 

電流是電荷的流量。連續性方程式可以這樣論述：假若電荷從某微小體積元素移動出去（電流密度的散度是正值），則在那微小體積元素內的總電荷量會減少，電荷密度的變率是負值。從這解釋可以察覺，連續性方程式就是電荷守恆。

四維電流
四維電流密度定義為
  ；

其中， 標記時空坐標， 是光速。

電荷守恆可以簡潔地由四維電流密度的散度表達，即連續性方程式
  ；

其中， 。

流體力學
在流體力學裏，連續性方程式表明，在任何穩定態過程中，質量進入物理系統的速率等於離開的速率。Clancy, L.J.(1975), Aerodynamics, Section 3.3, Pitman Publishing Limited, London。此时連續性方程式与電路學的克希荷夫電流定律类似。「質量連續性方程式」的微分形式為
 ；

其中， 是流體質量密度， 是流速向量場，兩者相乘後為质量通量。

假設流體是不可壓縮流，則密度  是常數，質量連續性方程式簡化為體積連續性方程式：
 。

這意味著，在所有位置，速度場的散度等於零；也就是說，局域的體積變率為零。

在另一方面，納維-斯托克斯方程式是一個向量連續性方程式，描述動量守恆。

能量
根據能量守恆，能量只能夠傳輸，不能夠生成或湮滅，这意味着「能量連續性方程式」。這是在熱力學定律（）外，能量守恆的另一种數學表述，即，
 ；

其中， 是能量密度（單位體積的能量）， 是能量通量向量（數值大小為單位截面面積每單位時間傳輸的能量，方向為截面的外法线方向）。

根據傅立葉定律（），對於均勻傳導介質，
 ；

其中， 是熱導率， 是溫度函數。

能量連續性方程式又可寫為热传导方程，
 。

量子力學

在量子力學裏，從機率守恆可以得到「機率連續性方程式」假设一個量子系統的波函數為  ，機率流 的定義為
 ；

其中， 是約化普朗克常數， 是質量， 是  是共軛複數， 是取括弧內項目的虚部。

連續方程式與機率守恒定律
機率流滿足量子力學的連續方程式：
 ；

其中， 是機率密度。

應用高斯公式，可以等價地以積分方程式表示，
 ；(1)

其中， 是任意三維區域， 是  的邊界曲面。

方程式 (1) 左邊第一個體積積分項（不包括對於時間的偏微分）是測量粒子位置時粒子在  內的機率。第二個曲面積分是機率流出  的通量。總之，方程式 (1) 表明，粒子在三維區域  內的機率對於時間的微分，与其流出三維區域的機率  的通量，兩者之和等於零。

連續方程式推导
測得粒子在三維區域  內的機率  是
 。

機率對於時間的導數是
 ；(2)

注意到  的含時薛丁格方程式為
 ；

其中， 是位勢。

將含時薛丁格方程式代入方程式 (2) ，可以得到
 。

應用一則向量恆等式，可以得到
 。

這方程式右手邊第一項與第三項互相抵銷，將抵銷後的方程式代入，
 。

將機率密度方程式與機率流定義式代入，
 。

该等式對於任意三維區域  都成立，所以被積項目在任何位置都必須等於零：
 。

參閱
 歐拉方程式
 諾特定理

 參考文獻 

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