嵌入 (数学)

數學上，嵌入是指一個數學結構經映射包含到另一個結構中。某個物件  稱為嵌入到另一個物件  中，是指有一個保持結構的單射，這個映射  就給出了一個嵌入。上述「保持結構」的準確意思，需由所討論的結構而定。一個保持結構的映射，在範疇論中稱為態射。

要表達  是一個嵌入，有時會使用帶鉤箭號 。但這個帶鉤箭號有時只留作表示包含映射時用。

拓撲與幾何
點集拓撲
拓撲學上，一個嵌入是一個單射，使得拓撲空間到其像上為同胚。換言之，兩個拓撲空間 , 之間的一個連續單射  是一個拓撲嵌入，如果  給出  與  間的同胚（空間  上的拓撲是由  誘導的子空間拓撲。）凡是連續單射的開映射或閉映射都是拓撲嵌入，不過一個嵌入也可能既非開映射也非閉映射：當其像  不是  中的開集或閉集時，便發生這種情況。

微分拓撲
在微分拓撲中，令 , 為光滑流形，而  為光滑映射。則如果f的微分處處皆為單射，則稱  為一個浸入。此時的嵌入定義為一個符合拓撲嵌入定義的單射浸入，又稱為光滑嵌入。換言之，嵌入是微分同胚於其像，所以嵌入的像必是子流形。浸入是一個局部嵌入，即在每點，都有鄰域，使得限制到這鄰域上的是嵌入。如果 是緊緻流形，則M的浸入必是嵌入。

光滑嵌入的一個重要情形是在  為時。這情形引起興趣之處，在於對任何  維流形 ， 需多大才保證有從  到的光滑嵌入。惠特尼嵌入定理指  便足夠，而且是最好的上界。例如嵌入一個  維的實射影平面便需要 。

如果將光滑嵌入的定義中， 為光滑映射的條件放寬為 映射，其中  是正整數，而其餘條件不變，則 稱為  嵌入。

黎曼幾何
在黎曼幾何中，設, 是黎曼流形，一個等距嵌入是一個光滑嵌入 ，令黎曼度量保持不變，即將  由  拉回等於 ，就是 。更明確言之，對  中任何一點，及任何兩個切向量

都有

度量空間
設, 為度量空間，映射是一個拓撲嵌入。如果  和（定義在  上）都是利普希茨連續，則稱  為雙利普希茨嵌入(bi-Lipschitz embedding)。換言之，如果存在常數，使得
，
則稱  為(-)雙利普希茨嵌入。

一個更廣義的嵌入是擬對稱嵌入(quasisymmetric embedding)。如前設  為拓撲嵌入。 稱為(-)擬對稱嵌入，如果存在同胚 （即  且  為嚴格遞增的連續函數），使得  中任何三點 ,  ,  若滿足
，
其中 ，則有

若  是一個 -雙利普希茨嵌入，可令 ，則  是 -擬對稱嵌入。

雙利普希茨嵌入的一個相關概念是擬等距嵌入。擬等距嵌入雖名為嵌入，卻不一定是嵌入，因其未必是單射。

代數
域論
域論上，從一個域  到另一個域  中的一個嵌入，是一個環同態 。因為環同態的核是一個理想，而域的理想只有0及整個域本身，又 ，故其核不能為整個域，即知核為0。因此這個環同態必定是單態射，而  和在  中的  同構。所以可稱兩個域之間的任何同態為嵌入。

序理論
關於序理論中的嵌入，可參見序嵌入。

參考
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Category:微分幾何
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