合成列

在抽象代數中，合成列是藉著將代數對象（如群、模等等）拆解為簡單的成份，以萃取不變量的方式之一。以模為例，一般環上的模未必能表成單模的直和。但是我們可退而求其次，考慮一組過濾 ，使每個子商  皆為單模；這些單模稱為合成因子， 稱為合成長度，都是  的不變量。亦可考慮  的子模範疇 ，此時  可唯一表為合成因子之和；在此意義下，K-群提供了模的半單化。

合成列未必存在，即使存在也未必唯一。然而若尔当-赫尔德定理斷言：若一對象有合成列，則子商的同構類是唯一確定的，至多差一個置換。因此，合成列給出有限群或阿廷模的不變量。

 群的情形 
設  為群， 的合成列是對應於一族子群

滿足 ，使其子商  皆為非平凡的單群；易言之， 是  的極大正規子群。這些子商也稱作合成因子。對於有限群，恆存在合成列。

 模的情形 
固定環  及 -模 。 的合成列是一族子模

其中每個子商  皆為非平凡的單模 。易言之， 是  的極大子模。這些子商也稱為合成因子。若  是阿廷環，根據 Hopkins-Levitzki 定理，任何有限生成的 -模皆有合成列。

 例子 
例子. 考慮 12 階循環群 ，它具有三個相異的合成列
,
, 

合成因子分別為



其間僅差個置換。

 若尔当-赫尔德定理 
 定理. 若群 〔或 -模 〕有合成列，則任兩個合成列都有相同長度。合成因子的同構類與合成列的選取無關，其間至多差一個置換。

略證：以下僅處理模的情形，群的情形可依此類推。假設存在兩個合成列


對  行數學歸納法。若  則 ，若  則  是單模。以下假定 。

若 ，據歸納法假設， 且  與 （）之間僅差置換。此外 ，故定理成立。

設 。此時必有 。置 ，於是


取  的合成列 ，依上式知


皆為合成列，其合成因子僅差個換位。根據歸納法假設，若同刪去尾項 ，則 (*) 與 (**) 的合成因子分別等同於合成列  的合成因子，至多差個置換。是故定理得證。

 參見 
 正規列
 長度 (模論)

 站外連結 


H
H