二次域

在代數數論中，二次域是在有理數域上次數為二的數域。二次域可以唯一地表成，其中無平方數因數。若，稱之為實二次域；否則稱為虛二次域或複二次域。虛實之分在於是否為全實域

二次域的 研究肇源甚早，起初是作為二次型理論的一支。二次域是代數數論的基本對象之一，雖然如此，至今仍有一些未解猜想，如類數問題。

整數環與判別式
二次域裡的整數環定義為該域中的代數整數。當時，整數環可描述為，否則為。當時，這些整數稱為高斯整數，當時，稱為艾森斯坦整數。

根據上述描述，的判別式不難計算：當時判別式為，否則則為。

二次域上的分歧理論
設，為素數。數論關注的問題是如何在中分解成素理想之積。根據數域的分歧理論，應考慮以下情形：

是慣性的：仍為素理想，此時。
分裂：為兩個相異素理想之積，此時。
分歧：為某個素理想之平方，此時含有非零的冪零元。

根據之前對判別式的計算，可知分歧當且僅當整除的判別式（或，取決於）；對其餘無窮多個素數，前兩個情形皆會發生，而且其機率在某種意義上相等。

素p分圆域和二次域
分圆域素p（p＞2）次根群所产生二次子域，也是伽罗瓦理论（埃瓦里斯特·伽罗瓦）的一个结论，在有理域上有惟一指数2Galois子群，，二次域特例d=-1时成称高斯整环，有判别式p的p=4N+1-P，P = 4N +3才有素分解，高斯整环分歧条件叫高斯周期（Gaussian period）。

其他的分圆域
如果一个分圆域，他们有额外的2-扭伽罗瓦群，那麽就至少包含三个二次域。一般通过分圆域二次子域的判别式D的可以得到D次单位根组成的子域（D-th roots of unity）。这表示一个事实，即二次域的前导子（conductor） 是判别式D的绝对赋值 （value） 。

参考文献

  Chapter 6.

  Chapter 3.1.

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