分裂域

在抽象代数中，一个系数域为的多项式的分裂域（根域）是的“最小”的一个扩域，使得在其中可以被分解为一次因式的乘积，其中的是中元素。一个上的多项式并不一定只有一个分裂域，但它所有的分裂域都是同构的：在同构意义上，上的多项式的分裂域是唯一的。

术语与定义
称一个系数域为的多项式  在的某个扩域中分裂，当且仅当这个多项式可以用这个域中的元素来分解（分裂）成最简单的一次因式的乘积：

其中的，。换句话来说，的根都在中。

使得在其中分裂的扩域有很多，譬如对于某个使得分裂的的，它任意的扩域也都满足。然而其中“最小”的域在同构意义上是唯一的。所谓的“最小”域，是指这样的一个扩域：
在里，，可以分解为一次因式的乘积；
在的任何真子域（不等于自身）里，都无法如此分解。这样的扩域称为在上的分裂域。

例子

如果是有理数域，多项式为  

那么其分裂域可以是在中添加三次单位根和2的立方根而得到的扩域：。因为这时可以写作：


同一个多项式在不同的域上的分裂域不一定相同，比如：
多项式在实数域 R上的分裂域是复数域 C。
多项式在准有限域 GF7上的分裂域是GF72.

多项式在准有限域 GF7上的分裂域是GF7，因为在其上已经分解完毕。

性质
给定多项式，在 上的分裂域，假设在里，分解为

那么。

对于域的一个代数闭域扩域和上的一个多项式，存在在上的唯一的一个分裂域，使得。 

对于的一个可分扩张，的伽罗瓦闭包是一个分裂域，也是的包含的一个“最小”的伽罗瓦扩张。这样的一个伽罗瓦闭包包含了中任意元素，在上的极小多项式在上的分裂域。

 参见 

 代数扩张
 正规扩张
 极小多项式
 可分扩张

参考来源

 Dummit, David S., and Foote, Richard M. (1999).  Abstract Algebra (2nd ed.).  New York:  John Wiley & Sons, Inc.  ISBN 0-471-36857-1. 
 David A. Cox. Galois Theory (1st ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-43419-1 

外部链接
李華介，簡介Galois理論 

Category:域论

de:Körpererweiterung#Zerfällungskörper