圓柱坐標系

圓柱坐標系（）是一種三維坐標系統。它是二維極坐標系往 z-軸的延伸。添加的第三個坐標  專門用來表示點離 xy-平面的高低。按照國際標準化組織建立的約定 (ISO 31-11) ，徑向距離、方位角、高度，分別標記為   。

定義
如圖右，點的圓柱坐標是  。
 是點與 z-軸的垂直距離。
 是線在 xy-面的投影線與正 x-軸之間的夾角。
 與直角坐標的  等值。

符號約定
圓柱坐標系的記號並不統一。ISO標準31-11推薦，這裡的是徑向距離，是方位角，而是高度。但是，徑向距離也常表示為或，方位角也常表示為或，高度坐標也常表示為或（如果圓柱軸被認為是水平的）或任何特定於上下文的字母。

坐標系變換
三維空間裏，有許多各種各樣的坐標系。圓柱坐標系只是其中一種。圓柱坐標系與其他坐標系的變換需要用到特別的方程式。

直角坐標系

使用以下方程式，可以從直角坐標變換為圓柱坐標：
 、
 、
 。

特別注意，當求取方位角時，必須依照  所處的象限來計算正確的反正切值。

相反地, 可以從圓柱坐標變換為直角坐標：
 、
 、
 。

球坐標系

使用以下方程式，可以從球坐標變換為圓柱坐標：
、
 、
 。

相反地, 可以從圓柱坐標變換為球坐標：
 、
 、
 。

圆柱坐标系下的微积分公式
圓柱坐標系的坐標因子分別為
 、
 、
 。
在許多關於圓柱坐標系的問題中，我們時常需要知道線元素與體積元素的方程式；用這些方程式來求解關於徑長或體積的積分問題。線元素是
 。

面積元素是
 。

體積元素是
 。

劈形算符表示為
 。
拉普拉斯算子是
 。

其它微分算子，像  ，  ，都可以用  坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

應用
圓柱坐標常被用來分析，選用 z-軸為對稱軸，有軸對稱特性的物體。例如，一個無限長的圓柱，具有直角坐標方程式 ；用圓柱坐標來表示，有一個非常簡易的方程式 。這也是圓柱坐標系名稱的由來。

参见
在圆柱和球坐标系中的del

參考資料

參閱

Y

de:Polarkoordinaten#Zylinderkoordinaten
fi:Koordinaatisto#Sylinterikoordinaatisto
ro:Coordonate polare#Coordonate cilindrice