勒壤得轉換

勒壤得轉換（）是一個在數學和物理中常見的技巧，得名於阿德里安-馬里·勒壤得（Adrien-Marie Legendre）。该操作是一个实变量的实值凸函数的对合变换。它经常用于经典力学中从拉格朗日形式到哈密顿形式的推导、热力学中热力学势的推导以及多变量微分方程的求解。

 概述 
為了研究一個系統內部蘊藏的數學結構，表述此系統的函數關係  改用一個新函數  來表示，其變數  是  的導數， 。而   的值是如右圖藍線在 y 軸的负截距

換句話說，從 x 值到 y 值的函數，轉換成 f(x) 在 x 點的導數到在 x 點切線 y 截距的函數

该方法由阿德里安-馬裡·勒壤得發明，因此被命名為勒壤得轉換：函數  為  的勒壤得轉換；

用方程式表示

 。
此式子表示  中的 u 對  而言是個參數，且參數 u 會滿足  的 。即求算表達式關於變數  的極值。

為方便討論，把討論限定在 為嚴格單調遞增。會有這方程式是因為在  也就是斜率不變的狀況下，對每個而言，所有與曲線相交且斜率為的直線族為 。若令，該直線即是在的切線方程式。把x當作常數並由右圖直接觀察可知，在的情況下，值是最小的，也就是說直線方程式中這部分是最大的，而正好 ，正是原方程式所求的極值。

勒壤得轉換是點與線之間對偶性關係（）的一個應用。函數  設定的函數關係可以用  點集合來表示；也可以用切線(在嚴格單調遞增的討論下，切線跟導數p有一對一的關係)集合表示。

若將勒壤得轉換廣義化，則會變為勒壤得-芬伽轉換（）。勒壤得轉換時常用於熱力學與哈密頓力學。

 定義 

给定区间和凸函数，则其勒让德变换为函数，

其中表示上确界，定义域为

当为凸函数时，这个函数有良好的定义。

不难将勒让德变换推广到定义在凸集 上的凸函数：其变换为定义在

上的函数

其中表示和 的点积。

从导数的角度理解勒让德变换

对于实轴上具有可逆一阶导数的凸函数，其勒让德变换
的一阶导数与的一阶导数互为反函数，反过来说，这个条件可以给出至多相差一个常数的。

 最大值式定義 
更詳細地定義勒壤得轉換，為了求得  關於  的最大值，設定  關於  的偏導數為零：
 。

則
 。(1)

這表達式必為最大值。因為，凸函數  的二阶导数是負數：
 ；

用方程式 (1) 來計算函數  的反函數  。代入  方程式，即可以得到想要的形式：
 。

計算  的勒壤得轉換，所需的步驟為：
 找出导函數  ，
 計算导函數  的反函數   ，
 代入  方程式來求得新函數  。

這定義切確地闡明：勒壤得轉換製造出一個新函數  ；其新自變數為  。

 反函數式定義 
另外一種勒壤得轉換的定義是：假若兩個函數  與  的一階導數是互相的反函數；
 ，
或者，
 ，
則  與  互相為彼此的勒壤得轉換。

依照定義，
 ，
 。

思考下述運算：
 。

所以，
 ；
這裏， 。

這答案是標準答案；但並不是唯一的答案。設定
 ，
也可以滿足定義的要求。在某些情況下（例如：熱力勢（），會採用非標準的答案。除非另外註明，此頁面一律採用標準答案。

 數學性質 
以下討論，函數  的勒壤得轉換皆標記為  。

 標度性質 
勒壤得轉換有以下這些標度性質：
 ，

 ，

由此可知，一個  次齊次函數的勒壤得轉換是一個  次齊次函數；這裏，
 。

 平移性質 
 ，

 。

 反演性質 
 。

 線形變換性質 
讓  成為一個從  到  的線形變換。對於任何定義域為  的凸函數  ，必有
 ；

這裏， 是  的伴隨算子定義為
 。

例子

例一
指数函数

的勒让德变换为
，
因为它们的一阶导数 与 互为反函数。

 應用 

 熱力學 
在熱力學裏，使用勒壤得轉換主要的目的是，將一個函數與所含有的一個自變數，轉換為一個新函數與所含有的一個新自變數，（此新自變數是舊函數對於舊自變數的偏導數）；將舊函數減去新自變數與舊自變數的乘積，得到的差就是新函數。勒壤得轉換可以用來在各種熱力勢（）之間作轉換。例如，內能  是外延量（）熵  ，體積  ，與化學成份（） 的顯函數
 。

對於  ，函數  （非標準的）勒壤得轉換為焓函數  ：

 ，
 。

一個熵與內含量（）壓力的函數。當壓力是常數時，這函數很有用。

對於  ，函數  勒壤得轉換為吉布斯能函數  :
 ，
 。

對於  ，函數  勒壤得轉換為亥姆霍兹自由能函數  :
 ，
 。

這些自由能函數時常用在常溫的物理系統。

 古典力學(哈密頓力學) 
在經典力學裏，勒壤得轉換專門用來從拉格朗日表述導引出哈密頓表述，或反導之。拉格朗日量  是廣義坐標  與廣義速度  的函數；而哈密頓量  將函數的自變量轉換為廣義坐標  與廣義動量  ：
 ，
 。

 正則變換 
正則變換廣泛地應用勒壤得轉換在其理論裏。正則變換是一種正則坐標的改變， ，而同時維持哈密頓方程式的形式，雖然哈密頓量可能會改變。正則變換的方程式為

 ，
 ，
 ；

這裏， 是舊正則坐標， 是新正則坐標， 是舊哈密頓量， 是新哈密頓量， 是生成函數。

 參閱 
 哈密頓力學
 切觸幾何
 正則變換

 參考文獻 



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