黎曼映射定理

在數學中，黎曼映射定理是複分析最深刻的定理之一，此定理分類了的單連通開子集。

 定理陳述 
設為單位開圓盤，為單連通開子集。若，則存在一對一的全純映射，使亦全純。換言之，與 双全純同構。

注意到二維的全純映射不外乎保持定向的共形映射，它保持角度與定向不變。

 簡史 
黎曼在他1851年的博士論文中陳述了這個結果，但其證明不完整。康斯坦丁·卡拉西奥多里在1912年發表了第一個完整證明。

 注記 
 黎曼映射定理乃是存在性定理，一般無法具體表示從至的全純映射。
 定理中對的條件極寬鬆；舉例明之，的邊界可能是碎形曲線，但仍可透過共形映射映至單位圓盤，這在直觀上是很難想像的。
 此定理對時即告失效：環型區域（形如）之間的共形映射僅有反演、縮放與旋轉。
 此定理在更高維度即不成立。
 在黎曼曲面的框架下，此定理可推廣為單值化定理：單連通黎曼曲面必同構於或。

 证明概要 
给定和，我们希望构造一个函数，它把映射到单位圆盘，把映射到。在这个证明概要中，我们假设是有界的，且其边界是光滑的，就像黎曼所做的那样。记

其中是某个（待确定的）全纯函数，其实数部分为，虚数部分为。于是显然z0是f的唯一一个零点。我们要求对于的边界上的有，因此我们需要在边界上有。由于是全纯函数的实数部分，我们知道一定是一个调和函数，也就是说，它满足拉普拉斯方程。

于是问题变为：存在某个实值调和函数，对所有的都有定义，且具有给定的边界条件吗？狄利克雷原理提供了肯定的答案。只要确立了u的存在，全纯函数的柯西-黎曼方程便允许了我们求出（这个论证依赖于是单连通的假设）。一旦构造了和，我们还需要验证所得到的函数确实满足所有需要的性质。

 文獻 
 John B. Conway, Functions of one complex variable, Springer-Verlag, 1978, ISBN 0-387-90328-3
 John B. Conway, Functions of one complex variable II, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94460-5
 Reinhold Remmert, Classical topics in complex function theory, Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98221-3
 Bernhard Riemann, Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse, Göttingen, 1851

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