高斯和

在數論中，高斯和是一種單位根的有限和，可抽象地表為


其中  為有限交換環， 為同態， 亦為同態，對於 ，可定義 。

這類有限和常見於代數數論與解析數論。此時通常取 ，特徵  必為  之形式（），此處的  不外是一個狄利克雷特徵。這類高斯和有時也記為 ，出現於狄利克雷L函數的函數方程中。

高斯和的絕對值可透過抽象調和分析的方法導出，其確切值則較難確定。高斯首先算出了二次高斯和，此時取 ，其中  為素數，並取  為勒讓德符號。高斯和遂化為下述指數和：

高斯得到的結果是：


由此可導出二次互反律的一種證明；二次高斯和也與Theta 函數理論相關。

文獻

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