半單模

在模論中，一個環  上的左模  若可表為單模的直和，便稱  為半單模。

本條目中的環皆有乘法單位元素 。對於右模，相應的陳述依然成立。

等價定義
以下陳述彼此等價：
  是單模的和。
  是其單子模的和。
 對每個子模 ，存在子模  使得 。

性質
 若  是半單模，則其子模與商模亦然。
 若  是半單模，則  亦然。

半單環
藉由環的乘法運算，每個環  都可視為左（或右） -模。若  是半單 -模，則稱  為半單環。可以證明：環  是半單左模若且唯若它是半單右模。半單環必然兼為諾特環與阿廷環。

半單環的角色之一，在於半單環  上的模都是半單模，而且任何單左模都可嵌入  中，成為其極小左理想。這遂大大便利了對 -模結構的研究。

對於非交換環，單環未必是半單環，儘管術語上引人如此聯想。

例子
 若  為域、 為  階有限群，則群代數  半單的充要條件是  的特徵不整除 。此結果是有限群表示理論的基石。
 Artin-Wedderburn 定理給出了半單環的結構：一個環  半單若且唯若它同構於 ，其中每個  皆為除環、 表示  上的  矩陣代數。
 設  為域  上之有限維向量空間，。則  是多項式環  上的左模，結構由  給出。此時  半單的充要條件是  在代數閉包  上可對角化。

文獻
 N. Bourbaki, Algèbre commutative (1983) Chapitre, VIII et IX, Masson.
 R.S. Pierce. Associative Algebras. Graduate Texts in Mathematics vol 88.
 T.Y. Lam. A First Course in Non-commutative Rings. Graduate Texts in Mathematics vol 131.

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