群擴張

在抽象代數中，設  為群，若存在群 ，及群的正合序列

（換言之， 是單射、 是滿射，且 ；是故可視  為  的正規子群，。）則稱群  為  的群擴張，或稱  對  的扩张。

由短正合序列的同構關係，可以定義群擴張的等價類。若某個群擴張等價於

則稱此擴張為平凡擴張。當  落在  的中心時，稱之為中心擴張。

分類
一般的群擴張不易分類。若限定  為阿貝爾群，則  對  的擴張等價類一一對應於 （參見條目 Ext函子）。

另一方面，若在群擴張  中， 為阿貝爾群，可任取一截面 （s 不一定是群同態），群  以共軛方式  在  上作用。這類擴張的等價類由群上同調  分類，並具有自然的群結構。最常見的例子是中心擴張。

李代數的擴張
利用同樣作法，也可以定義李代數的擴張。此即李代數的正合序列

若 ，稱之為中心擴張。

參考資料


Q