朗斯基行列式

在数学中，朗斯基行列式（Wronskian）名自波兰数学家約瑟夫·瑪麗亞·何內-朗斯基，是用于计算微分方程的解空间的函数。

对于给定的 n 个n-1 次连续可微函数，f1、...、fn，它们的朗斯基行列式 W(f1, ..., fn) 为：

行列式的第 i 列是f1、...、fn 各函数的 i-1 次导数。组成这个行列式的 n 阶方阵也称作这 n 个函数的基本矩阵。

在解线性微分方程时，朗斯基行列式可以用阿贝尔恒等式来计算。

 朗斯基行列式与线性无关解 

朗斯基行列式可以用来确定一组函数在给定区间上的线性相关性。

对于 n 个n-1 次连续可微函数 f1、...、fn，它们的朗斯基行列式 W(f1, ..., fn) :

定理：

如果 f1、...、fn 在一個區間 [a, b] 上線性相關，則 W(f1, ..., fn) 在區間 [a, b] 上恆等於零。

也就是说，如果在某些点上 W(f1, ..., fn) 不等于零，则 f1、...、fn 线性无关

注意，若 W(f1, ..., fn) 在区间 [a,b] 上恒等于零，函数组不一定线性相关。

 齐次线性微分方程 

考虑 n 阶线性微分方程：


其中是区间 [a,b] 上的连续函数。并考虑，即 n 阶齐次线性微分方程的情形：


对于一组给定的初始值：

方程 (1) 有唯一解。如果初始值不定的话，(2) 的任一解加上仍然是 (1) 的解。而对于 (2) ，任意k个 (2) 的解的和仍然是 (2) 的解，因此 (2) 的解集构成一个线性空间，称为 (2) 的解空间。

 定理的证明 
如果 f1、...、fn 在一个区间 [a,b] 上线性相关，则存在不全为零的系数使得对区间 [a,b] 上的任意 t，

因为“微分”是线性算子，所以这个等式可以“延伸”到n-1阶导数。故有以下方程组：

将看作变量，则上式变为一个 n 元齐次线性方程组，由于这个方程有非零解，系数矩阵的行列式 W(f1, ..., fn) = 0。

进一步可以证明， W(f1, ..., fn) 要么在区间 [a,b] 上恒等于零，要么处处不为零（没有零根）。于是可以证明 (2) 有 n 个线性无关的解，并且它们线性张成的空间就是 (2) 的解空间。所以， (2) 的解空间是一个 n 维线性空间。 (2) 一组 n 个线性无关的解称作它的一个基本解组。

 例子 

1. 考虑三个函数：1、x和x2，在任意一个区间上，他们的朗斯基行列式是：

不等于零，因此，这三个函数在任一个区间上都是线性无关的。

2.考虑另三个函数：1、x2和2x2+3，在任意一个区间上，他们的朗斯基行列式是：

事实上三者线性相关。

3.上面已经提到，朗斯基行列式等于零的函数组不一定线性相关。下面是一个反例：考虑两个函数，x3和|x3|，即x3的绝对值。计算两者的朗斯基行列式

他们的朗斯基行列式恒等于零，但两者显然线性无关。

 参考 
微分方程
行列式
线性方程组

 外部链接 
 Paul's Online Math Notes，更多的例子。（英文） 

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