上下文无关语言

上下文无关语言是可以用上下文无关文法定义的形式语言。所有上下文无关语言的集合同一于下推自动机所接受的语言的集合。

 例子 

一个原型上下文无关语言是 ，它是所有非空、偶数长度字符串的语言，字符串的整个前半部分都是 ，整个后半部分都是 。 由文法  生成，并被下推自动机  接受，这里的  定义如下：

这里的 z 是初始栈符号而 x 意味着弹出动作。

上下文无关语言在编程语言中有很多应用。大多数算术表达式可用上下文无关文法生成。

 闭包性质 

上下文无关语言闭合于下列运算下。就是说，如果 L 和 P 是上下文无关语言而 D 是正则语言，下列语言也是上下文无关语言：

 L 的 Kleene星号  
 L 在字符串同态 φ 下的像 φ(L)
 L 和 P 的串接 
 L 和 P 的并集 
 L 和（正则语言）D 的交集  

上下文无关语言不闭合于补集，交集或差集下。

 在交集下不闭包 

上下文无关语言不闭合于交集下。其证明在 Sipser 97 中被作为习题给出。选用语言  和 ，它们都是上下文无关的。它们的交集是 ，它可以用上下文无关语言的泵引理证实为非上下文无关的。

 可判定性性质 

上下文无关语言的下列问题是不可判定的：
等价：给定两个上下文无关文法 A 和 B， 吗？
 吗？
 吗？
 吗？

上下文无关语言的下列问题是可判定的：
 吗？
L(A) 是有限的吗？
成员关系：给定任何字 w， 吗？（成员关系问题甚至是多项式可判定的 - 参见CYK算法）

 上下文无关语言的性质 

 上下文无关语言的反转（reverse）也是上下文无关的，但是补（complement）不必须是。
 所有正则语言都是上下文无关的，因为它们可以用正则文法描述。 
 存在不是上下文无关的上下文有关语言。
 要证明给定语言不是上下无关的，可以采用上下文无关语言的泵引理。

 引用 
  Chapter 2: Context-Free Languages, pp.91–122.

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