群環

在抽象代數中，群環是從一個群  及交換環  構造出的環，通常記為  或 。其定義為：

  （換言之，這是由基底  張出的自由 -模）

其上的 -線性乘法運算由  給出。 對 -模的加法與上述乘法形成一個 -代數。乘法單位元素為 。

最常用的是  或  的群環。對於後者， 成為  的表示：；若  為有限群，則稱此表示為正則表示。正則表示與有限群的表示理論有密切的聯繫。

對於無窮階的群 ，迄今對群環的結構仍所知甚少。對於局部緊拓撲群，通常採用  或  對摺積構成的代數，較有利於研究群的拓撲性質及其表示。

 定義 

 例子 
令  ，即階為  的循環群，其中  為群的一個生成元，  為其單位元。群環  中的元素  可以表示成

其中  ， 以及  皆為  中的元素，即複數。

對群環中其他的元素  ，我們可以定義群環的加法

以及乘法


 基本性質 

文獻

 C.W. Curtis, I. Reiner,   Representation theory of finite groups and associative algebras, Interscience  (1962)
 D.S. Passman, The algebraic structure of group rings, Wiley  (1977)

Q
Q