中線定理

中線定理，又稱阿波羅尼奧斯定理，是歐氏幾何的定理，表述三角形兩邊和中線長度關係。它等價於平行四邊形恆等式。

 中線定理 
對任意三角形，設是線段的中點，為中線，則有如下關係：

 證明 
用萊布尼茨標量函數約簡，可以容易導出這性質：只需要在兩個平方中引入：

得出

是的中點，因此和相反，可知式中兩個標積抵消。又因，得出


 另一個證法 
這可能是阿波罗尼奥斯的證明方法，因為他不知道萊布尼茨函數。證明如下：
設是從到的垂足，則和是直角三角形。用勾股定理可得



所以

把和用和表達出來（記得是的中點，因此）。注意到雖然現在的情形假設在線段上，但其
他情形也可以用這個方法。


代入前式：



是直角三角形(H為於之垂足)
，因此

代入前式得出


 中線的向量表達式 
設是線段的中點，則有

 中線的另一條定理 
用標積表示，其中是到線的垂足。

從上得到中線的另一條定理。

實際上

投影在 上是，因而有.

這兩個共線向量的標積可等於或其負數，因此取絕對值。

 參見 
 閉凸集投影定理，中線定理是這定理的證明關鍵。
 平行四邊形恆等式
 斯圖爾特定理

Category:幾何定理
Category:初等几何
Category:三角形几何