完美長方體

完美長方體，又稱完美盒，指任意两顶点之间的距离（即棱長、面對角線和體對角線）都是整數的長方體。

求完美長方體的棱長，即求下列方程組之正整數解：




注：a、b、c是棱長，d、e、f是面對角線長，g是體對角線長。

它相当于在欧拉长方体问题上再添上了最后的这个条件。

截至2015年5月，還沒有找到任何完美長方體，亦未有人证明完美长方体不存在。經由電腦搜尋顯示，若存在完美長方體，其中一個邊長需大於3·1012Durango Bill. The “Integer Brick” Problem ，且最小邊長需大於1010Randall Rathbun, Perfect Cuboid search to 1e10 completed - none found. NMBRTHRY maillist, November 28, 2010.。現時只找到一些接近完美盒，例如其中一邊是無理數，其他邊和對角線均為整數的例子，如：
棱長分別為672、153與104，其面對角線分別為、680與185，體對角線為697。

另外，亦有面、體對角線均為整數，但棱長只有兩個是整數，另一條是無理數的例子。如：

棱長為18720、與7800這個例子。

完美平行六面體
一個完美平行六面體為邊長、面對角線長及體對角線長皆為整數的平行六面體。平行六面體的角度不需要是整數，故完美長方體可視為完美平行六面體的特例。在2009年發現了數十個完美平行六面體的例子。.

相关条目
歐拉長方體
黃金矩形

参考文献
Durango Bill's The “Integer Brick” Problem
Weisstein, Eric W.  "Perfect Cuboid" From MathWorld--A Wolfram Web Resource. 

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