完整系統

在經典力學裏，假若一個系統的所有的約束條件都是完整約束，則稱此系統為完整系統（）。完整約束以方程式表達為
 ；
其中，是每一個粒子之位置，是時間。

假若一個約束條件不能夠以上述方程式表達，則稱此約束條件為非完整約束。

假若一個系統有任何約束條件不是完整約束，則稱此系統為非完整系統。

轉換至廣義坐標
完整約束方程式只跟位置、時間有關，跟速度無關。完整約束方程式可以幫助消除相關的變量。假設變量是完整約束函數的一個參數，則可以將從系統裏所有的方程式中消除。首先，必須求出的函數：

。

將函數代入系統裏所有提到的方程式，就可以消除相關變量。

假設一個物理系統原本的自由度是。現在，新設定個完整約束作用於此系統。那麼，這系統的自由度減少為。可以使用個獨立廣義坐標來描述這系統的運動。廣義坐標的轉換方程式為
。

微分形式
有些時候，一個物理系統的某約束條件會以微分形式的方程式來表示，而不是以上述函數形式。思考第個約束條件的微分形式的方程式：
；

其中，，分別為微分與的係數。

假若此約束方程式是可積分的，也就是說，存在有一個函數的全微分滿足相等關係式
，

則此約束條件是完整約束；否則，此約束條件是非完整約束。請注意到，所有的完整約束和某些非完整約束都可以表示為微分形式的方程式；但是，並不是所有的非完整約束都可以這樣表示。跟廣義速度有關的非完整約束就不能這樣表示。所以，假若知道一個約束條件的微分形式的方程式，這約束條件到底是完整約束，還是非完整約束，需要看其微分形式的方程式是否可積分來決定。

系統分類
為了要有條不紊地研究經典力學，必須有一個合理的分類制度。物理系統可以分類為完整系統與非完整系統。許多理論或方程式成立的條件之一，就是系統裏所有的約束都必須是完整約束。例如，假若一個物理系統是完整系統與單演系統，則拉格朗日方程式成立的必需與足夠的條件是哈密頓原理。

實例
一個簡單擺的擺錘遵守完整約束
 ；
其中，是擺錘的位置，是擺長。

剛體內部的粒子們遵守完整約束
；

其中， , 分別是粒子與的位置，是它們之間的距離。

參閱
拉格朗日力學
哈密頓力學
非完整系統
定常系統
單演系統
保守系統

參考文獻

Category:力學
Category:經典力學
Category:拉格朗日力學
Category:哈密頓力學
Category:物理学系统

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