群上同調

在同調代數中，群上同調是一套研究群及其表示的代數工具。群上同調源於代數拓撲，在代數數論上也有重要應用；它是現代類域論的基本構件之一。

起源
群論中的指導思想之一，是研究群  及其表示的關係。群  的表示是 -模的特例：一個 -模是一個阿貝爾群  配上  在  上的群作用 。等價的說法是： 是群環  上的模。通常將  的作用寫成乘法 。全體 -模自然地構成一個阿貝爾範疇。

對給定的 -模 ，最重要的子群之一是其 -不變子群

若  是一個 -子模（即：是  的子群，且在  的作用下不變），則  上賦有自然的 -模結構，，但是未必有 。第一個群上同調群  可以設想為兩者間差異的某種量度。一般而言，可以定義一族函子 ，其間關係可以由長正合序列表示。

形式建構
以下假設  為有限群，全體 -模構成阿貝爾範疇，其間的態射  定義為滿足  的群同態 。由於此範疇等價於 -模範疇，故有充足的內射對象。

函子  是從 -模範疇映至阿貝爾群範疇的左正合函子。定義  為其導函子。根據導函子的一般理論，可知：

 長正合序列：若  為 -模的短正合序列，則導出相應的長正合序列


在上述定義中，若固定一個域 ，並以  代替 ，得到的上同調群依然同構。

標準分解
導出函子的定義來自內射分解，不便於具體計算。然而注意到 ，其中  被賦予平凡的  作用：，故群上同調可以用Ext函子表達為

另一方面，-模範疇中也有充足的射影對象，若取一  的射影分解 ，則有自然的同構 。最自然的分解是標準分解




而  由  給出。

定義 ，其元素為形如  的函數，並滿足 ，稱之為齊次上鏈。根據  在  上的作用，這種  由它在形如  的元素上的取值確定。藉此，可將上鏈複形  描述為 
  的元素為  之函數。


其中的元素稱為非齊次上鏈。

綜上所述，得到 。

例子
較常用的上同調是  與 。從標準分解可導出以下的描述：

準此要領，亦有


群同調
上述理論有一對偶版本：對於任一 -模 ，定義  為形如  的元素生成之子模。考慮從 -模範疇映至阿貝爾群範疇的函子


這是一個右正合函子，其導出函子稱為為群同調 。群同調可以藉Tor函子描述為


對於有限群，群同調與群上同調可在塔特上同調群的理論下得到一貫的描述。

非阿貝爾群上同調
將上述定義中的 -模  改成一般的群 （未必交換），並帶有  的作用 （稱之為 -群）。此時仍然可以定義第零個及第一個群上同調：


須留意  並不是群，而是帶有一個指定元素的集合（來自  的單位元素），以下所謂的正合性，都應該在此意義下理解。

若  是 -群的短正合序列，則有長正合序列

若 落在  的中心，此序列右端可再加一項 。

性質
Res 與 Cor
若  為群同態，則可將任一 -模透過  視為 -模，此運算導出上同調之間的映射

此映射與群上同調的長正合序列相容。當  是  的子群而  是包含映射，導出的映射稱為限制映射，記為 Res。

由於我們假設  為有限群，必有 ，此時映射

導出一個上限制映射 。

 定理. 

中心擴張
若  是平凡的  模（即 ），則  中的元素一一對應於  對  的中心擴張的等價類


中心擴張意謂： 是群擴張，而且  落在  的中心內。

具體描述方法是：任取一映射 。 不一定是群同態，但存在函數  使得 。 及  刻劃了  的群結構。不難驗證  滿足 ，而  的選取對應於 ，所以  僅決定於唯一的一個中心擴張。反之，任一  都來自於某個中心擴張，證畢。

譜序列
若  是  的正規子群，則有下述譜序列


對於射影有限群，此式依然成立。
參考文獻

 , Chapter II

 , Chapitre VII



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