霍普夫代數

在數學中，霍普夫代數（英文: Hopf algebra）是一類雙代數，亦即具有相容的結合代數與餘代數結構的向量空間，配上一個對極映射，後者推廣了群上的逆元運算 。霍普夫代數以數學家海因茨·霍普夫命名，此類結構廣見於代數拓撲、群概形、群論、量子群等數學領域。

 定義 
所謂霍普夫代數，是指一個域  上的雙代數 ，配上一個線性映射 （稱為對極映射），使得下述圖表交換：

antipode commutative diagram

利用 Sweedler 記號，此定義亦可表為


對極映射可理解為  對卷積之逆，故其若存在必唯一。當 ，則稱  為對合的；交換或餘交換霍普夫代數必對合。

根據定義，有限維霍普夫代數的對偶空間也帶有自然的霍普夫代數結構。

 例子 
群代數. 設  為群，可賦予群代數  下述霍普夫代數結構：




有限群上的函數. 設  為有限群，置  為所有  的函數，並以逐點的加法與乘法使之成為結合代數。此時有自然的同構 。定義：




仿射代數概形的座標環：處理方式同上。

泛包絡代數. 假設  是域  上的李代數，置  為其泛包絡代數，定義：


後兩條規則與交換子相容，因此可唯一地延拓至整個  上。

 李群的上同調 
李群的上同調代數構成一個霍普夫代數，其代數結構由上同調的上積給出，餘代數結構則來自群乘法 ，由此導出


對極映射來自 。這是霍普夫代數的歷史起源，事實上，霍普夫藉著研究這種結構，得以證明李群上同調的結構定理：

定理（霍普夫，1941年） H. Hopf, Uber die Topologie der
 Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer 
Verallgemeinerungen, Ann. of Math. 42 (1941), 22-52. Reprinted in Selecta Heinz Hopf, pp. 119-151, Springer, Berlin (1964). .
 設  為  上的有限維分次交換、餘交換之霍普夫代數，則 （視為 -代數）同構於由奇數次元素生成的自由外代數。

 量子群與非交換幾何 

上述所有例子若非交換便是餘交換的。另一方面，泛包絡代數的某些「變形」或「量子化」可給出非交換亦非餘交換的例子；這類霍普夫代數常被稱為量子群，儘管嚴格而言它們並不是群。這類代數在非交換幾何中相當重要：一個仿射代數群可以由其座標環構成的霍普夫代數刻劃，而這些霍普夫代數的變形則可設想為某類「量子化」了的代數群（實則非群）。

 文獻 
 Eiichi Abe, Hopf Algebras (1980), translated by Hisae Kinoshita and Hiroko Tanaka, Cambridge University Press. ISBN 0-521-22240-0
 Jurgen Fuchs, Affine Lie Algebras and Quantum Groups, (1992), Cambridge University Press. ISBN 0-521-48412-X
 Ross Moore, Sam Williams and Ross Talent: Quantum Groups: an entrée to modern algebra
 Pierre Cartier, A primer of Hopf algebras, IHES preprint, September 2006, 81 pages

 註記 

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