雙曲正弦

在數學中，雙曲正弦是一種雙曲函數，是雙曲幾何中，與歐幾里得幾何的正弦函數相對應的函數。雙曲正弦可以視為正弦函數的類似物，然而雙曲正弦不具備週期性，且在定義域為實數的情況下，其值域也包括了整個實數域。一般的正弦可以表示為單位圓上特定角構成之弦長的一半，或該角與圓之交點的y座標；而雙曲正弦則代表單位雙曲線上特定雙曲角構成之雙曲弦長的一半，或該雙曲角與單位雙曲線之交點的y座標。雙曲正弦一般以sinh表示(1999) Collins Concise Dictionary, 4th edition, HarperCollins, Glasgow, , p. 1386，在部分較舊的文獻中有時會以表示。

 定義 
雙曲正弦一般計為（有時會簡寫為），其在複變分析中定義為:

其中是。

也就是說，雙曲正弦等同於指數函數與其倒數之差的一半。雙曲正弦也可以視為自然指數函數的

在雙曲幾何中，雙曲正弦函數類似於歐幾里得幾何中的正弦函數。

 性質 
 一般性質 
雙曲正弦在實數中是一個連續函數，在複數中是一個全純函數，因此在整個複數域中雙曲正弦處處可微，其導函數為雙曲餘弦函數。
雙曲正弦是一個奇函數。
在實數域中，雙曲正弦是一個嚴格遞增函數。其中在區間上是凹函數、在區間上是凸函數。

 三角學性質 
根據雙曲正弦與雙曲餘弦的指數定義，可以推得：

其與經典的歐拉公式類似。

當時，有以下恆等式:


 特殊值 
雙曲正弦存在一些特殊值：




其中為黃金比例

參見
正弦

 參考文獻 

Category:双曲函数