欧拉定理 (几何)

在平面几何学中的欧拉定理是说，三角形的外心与内心之间的距离 可表示为

其中为外接圆半径，为内切圆半径。

从欧拉定理可推出欧拉不等式 (當三角形等邊時，等號成立)：

 ≥ 

 证明 
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(1)當時，表示外心與內心重合，此時易證三角形為正三角形，且，因此。

(2)當大於時，請參考右下圖：

(a)设三角形的外心为，内心为，延长交外接圆于，则为弧的中点。连延长交外接圆于，过作垂直于，为垂足，则。易证三角形与三角形相似，故，即。所以。

(b)连接，因

，

，

所以，有，由(a)的結論知。

(c)設延长线交外接圆于 两点，则，所以，即。

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