辛群

在數學中，辛群可以指涉兩類不同但關係密切的群。在本條目中，我們分別稱之為Sp(2n,F)與Sp(n)。後者有時也被稱作緊緻辛群以資區別。許多作者偏好不同的記法，通常是差個二的倍數。本條目採用的記法與矩陣的大小相稱。

 Sp(2n, F) 
域F上次數為2n的辛群是由2n階辛矩阵在矩陣乘法下構成的群，記為Sp(2n,F)。由於辛矩陣之行列式恆等於一，此群是SL(2n,F)的子群。

抽象而言，辛群可定義為F上一個2n維向量空間上保存一個非退化、斜對稱雙線性形的所有可逆線性變換。帶有這種雙線性形的向量空間稱為辛向量空間。一個辛向量空間V產生的辛群記為Sp(V)。

當n=1，有Sp(2,F)=SL(2,F)，當n>1時，Sp(2n,F)是SL(2n,F)的真子群。

通常將域F取為實數域、複數域或非阿基米德局部域，如p進數域。此時辛群Sp(2n,F)是維度等於的連通代數群。是單連通的，而的基本群則同構於。

的李代數可以刻劃為滿足下列條件的2n階方陣：

其中表示的轉置矩陣，而是下述反對稱矩陣

 Sp(n) 
緊辛群  定義為 （表四元數）上保持標準埃爾米特形式

之可逆線性變換。換言之， 即四元數上的酉群。有時此群也被稱為超酉群。 即單位四元數構成之群，拓撲上同胚於三維球 。

 並不同構於之前定義的 。下節將解釋其間的聯繫。

 是  維之緊緻、連通、單連通實李群，並滿足

其李代數由滿足下述關係的 n 階四元數矩陣構成

其中  是  的共軛轉置（在此取四元數之共軛運算）。李括積由矩陣之交換子給出。

緊辛群  有时称为酉辛群，记为 

辛群之間的關係
以上定義之與之李代數在複化後給出相同的單李代數。此李代數記作。此李代數也就是複李群之李代數，記作。它有兩個不同的實形式：
 緊緻形式，即之李代數。
 正規形式，即。

 辛群之間的關係   矩陣 李群 dim/R dim/C 緊緻 π1 Sp(2n, R) R  實  n(2n + 1)  –  否 Z Sp(2n, C) C  複  2n(2n + 1)  n(2n + 1)  否 1 Sp(n) H  實  n(2n + 1)  –  是 1

參見
 正交群
 酉群
 射影酉群
 辛流形、辛矩阵、辛向量空间、扭對稱符號
 哈密顿力学

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