辛矩陣

在數學中，辛矩阵是指一個的矩阵M（通常佈於實數或複數域上），使之滿足
。
其中表的轉置矩陣，而是一個固定的可逆斜對稱矩陣；這類矩陣在適當的變化後皆能表為

或

兩者的差異僅在於基的置換，其中是 單位矩陣。此外， 行列式值等於一，且其逆矩陣等於。

性質
凡辛矩阵皆可逆，其逆矩陣可表為

其中，反對稱矩陣具有如下運算性質：
 ,
 ,
 ,
 。

此外，辛矩阵構成的集合在矩陣乘法下封閉，因此一個域上的所有階辛矩阵構成一個群，記為。事實上它是的閉代數子群，其維度為。當時，帶有自然的（複）李群結構。

由定義可知辛矩阵的行列式等於；事實上，可以利用普法夫值的公式：
。
由於、，遂導出。

當時，有。換言之：二階辛矩陣即行列式等於一的二階矩陣。

辛變換
在線性代數的抽象框架裡，我們可以用偶數維向量空間上的線性變換取代偶數階矩陣，並固定一個非退化反對稱雙線性形以取代矩陣（賦有這類雙線性形的空間稱為辛向量空間），如此便得到與基底無關的定義：

 定義。一個辛向量空間上的線性變換若滿足
 。
則稱為辛變換。

考慮，由於，故；另一方面，，於是得到。由此導出辛變換之行列式值等於一。

固定的一組基，藉此將寫成矩陣，並將表成斜對稱矩陣，便回到先前的定義：
。

 相關條目 
 辛標記
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外部連結



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