雙代數

在數學中，域  上的雙代數是兼具  上之結合代數（具單位元）與餘代數的結構，而且這兩種結構彼此相容。最重要的特例之一是霍普夫代數。

定義
相容性意味著餘乘法與餘單位元都是單位結合代數的同態，這也等價於乘法及單位元是餘代數之同態，因為兩者由相同的交換圖刻画。

由單位圖表的對稱性，也可導出下述事實：如果  是雙代數，而且  具有良好的對偶空間 （例如當  維度有限時），則  也帶有自然的雙代數結構。

圖表
定義中的相容性由以下交換圖給出：

乘法與餘乘法相容：
500px|Bialgebra commutative diagrams

乘法與餘單位元相容：
310px|Bialgebra commutative diagrams 

餘乘法與單位元相容：
Bialgebra commutative diagrams

單位元與餘單位元相容：
125px|Bialgebra commutative diagrams 

在此  是代數乘法，而  是代數之單位元。 是餘代數乘法，而  是餘代數單位元。 定義為 。

式子
若以算式具體描述，則相容關係有如下之表示（在此採用省略  之 Sweedler 記法）：

乘法與餘乘法相容：

乘法與餘單位元相容：

餘乘法與單位元相容：

單位元與餘單位元相容：

在此我們省略代數乘法之映射 ，而直接以兩項並置表之。同理，單位元  直接以單位元素  表示（對應到 ）。

相關文獻
 Eiichi Abe, Hopf Algebras (1980), translated by Hisae Kinoshita and Hiroko Tanaka, Cambridge University Press. ISBN 0-521-22240-0

參見
 霍普夫代數
 餘代數
 結合代數

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