幂零元

在抽象代数中，對环  的一个元素  ，若存在一個正整數  使得  等於環 的加法單位元時，稱  是一个幂零元（）。

 例子 
 首先来看一个矩阵中的例子。在3阶方阵中，矩阵：

 是一个幂零元，因为 。

 在商环Z/9Z中，同余类3是一个幂零元，因为32是同余类0。
 對不滿足交換律的环 中，如果元素  和  满足  ，那么元素 （如果非零的话）是一个幂零元，因为  。在矩阵環中的一个例子是：

 其中 

 性质 
在非平凡的交换环中，幂零元不可能是乘法的可逆元。每个幂零元显然都是零因子。

在交换环中，所有的幂零元组成一个理想，称作这个环的。每个素理想都包含所有的幂零元，实际上，所有素理想的交集就是环的诣零根。

如果  是幂零元，那么  是一个可逆元，因为由  可得
  。

更一般地，在满足交换律的情况下，可逆元与幂零元之和依然是一个可逆元。

一个域上的n阶方阵是幂零元，当且仅当它的特征多项式等于。

参见
环

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