譜序列

在同調代數中，譜序列是一種藉著逐步逼近以計算同調或上同調群的技術，由讓·勒雷在1946年首創。其應用見諸代數拓撲、群上同調與同倫理論。

動機
讓·勒雷當初為了研究代數拓撲學，而引入層的概念，從而面臨計算層上同調的問題。為此，勒雷發明了現稱勒雷譜序列的計算方法，它聯繫了一個層的上同調群與其正像的上同調群。

人們很快就發現：勒雷譜序列只是一個特例。譜序列還現身於纖維化等幾何問題；更抽象地說，對合成函子取導函子也會得到譜序列，稱為格羅滕迪克譜序列。雖然導範疇在理論層面提供了較簡鍊的框架，譜序列仍是最有效的計算工具。

由於譜序列包含大量的項，實際計算時往往會陷入帶（至少）三重指標的群或模的迷陣。在許多實際狀況中，譜序列最後會「塌陷」，此時譜序列可以給出明確的資訊。若譜序列不塌陷，則須靠一些竅門取得有用的資訊。

形式定義
以下固定一個阿貝爾範疇 ，常見例子是一個環上的模範疇。譜序列是一個非負整數  及下述資料：
 對所有整數 ，有範疇中的一個對象 。
 自同態 ，滿足 ，稱為邊界映射或微分。
 從  到  的同構。

通常省去  與  的同構，而寫成等式。

最基本的例子是鏈複形 ，它帶有一個微分 。取 ，並令 ，於是必有 ；這個新鏈複形上的微分只有一個自然的選擇，就是零映射。於是有 。綜之，我們得到一個鏈複形範疇上的譜序列：




由於只有  時微分映射才可能非零，此序列在第一步後就不含任何新資訊。

較常見的是雙分次模（或層）範疇上的譜序列，表作 ，此時的微分映射次數與  有關：對於上同調譜序列， 的次數是 。對於同調譜序列，通常將各項寫成 ，微分映射  的次數是 。

譜序列之間的態射  定義為一族態射 ，使之與同構  交換。譜序列對此構成了一個阿貝爾範疇。

正合偶
交換代數中大部分的譜序列來自鏈複形，而已知構造譜序列最有力的方法是 William Massey 的正合偶。正合偶在代數拓撲學中很常見，此時對於許多譜序列，正合偶是唯一已知的構造法。事實上，正合偶可以用來構造所有已知的譜序列。

同樣固定一個阿貝爾範疇（通常取一個環上的雙分次模），一個正合偶是：
right
 一對對象 
 三個態射：




使之滿足下述正合條件：
Image f = Kernel g
Image g = Kernel h
Image h = Kernel f

將這組資料簡記為 。正合偶通常以三角形表示。 對應到譜序列的  項，而  是一些輔助資料。

為了得到譜序列的後續項，以下將構造導出偶。令：




  由  導出。
  定義如下：若  為某個環上的模範疇，對任一 ，存在  使得 ，定義  為  在  中的像。一般而言，可利用 Mitchell 嵌入定理構造態射 。

現在可以驗證  構成正合偶。 對應到譜序列的  項。續行此法，可以得到一族正合偶 。相應的譜序列定義為 ，。

圖解
一個雙分次譜序列含有大量要追蹤的資訊，不過有個常見的圖解法有助於闡明其結構。以下取上同調譜序列為例。在此有三個指標 。對每個 ，設想有一張方格紙，分別讓  對應於橫、縱軸。每一個格子點  對應到對象 。微分  的次數為 ，方向如圖所示。

收斂與退化
在第一個簡單的例子中，譜序列在  後的微分映射皆為零，故不再改變。這時可定義該譜序列的極限為 。對於一般的譜序列，也往往存在一個極限，極限與各項的關係可說是譜序列的眾妙之門。

定義：若譜序列  對每個  都存在 ，使得當  時， 及  皆為零，則稱  之極限項為 （取充分大的 ）。最常見的例子是集中在第一象限的譜序列，此時極限項恆存在。

其中的指標  指涉過濾結構。

若存在對象 、過濾結構 ，及一族同構 ，滿足 （這種過濾稱為「正則過濾」），則稱  收斂到 ，通常表為下述符號：

習慣上，人們也常將左式寫成 ，因為譜序列中最重要的頁往往是 。

最簡單的收斂特例是退化：

定義：固定 ，若對每個 ，微分映射  都是零，則稱該譜序列在第  頁退化。

退化性保證了 ，此時  即其極限。如果一個雙分次譜序列  的非零項集中於某一條水平或垂直線上，則必在  時退化。

例子
過濾結構導出的譜序列 
最常見的譜序列之一來自帶有過濾結構的對象，通常是鏈複形或上鏈複形。這是一個對象  及微分映射  ，使之滿足 ，以及



同調群上也有相應的過濾


對此，定義相應的分次對象



取微分映射為零，可視之為複形。

以下式定義譜序列：



此時有 ，且譜序列收斂：

通常也寫成 。

取  為取值在某個阿貝爾範疇中的上鏈複形範疇。此時的對象  是個上鏈複形 ， 是上鏈複形的微分映射。上述譜序列帶有三個指標 ，並可進一步化成下述形式：




雙複形的譜序列
以下考慮取值在某個阿貝爾範疇中的雙複形，即一組對象 ，及兩組微分映射  及 ，滿足



對一個雙複形，可定義其全複形 （也記為  或 ） 為



 上有兩組過濾，分別是：



它們給出兩個譜序列  與 。首先計算  項：


 （即：先取縱向上同調，再取橫向上同調）

同理可計算 ：



 （即：先取橫向上同調，再取縱向上同調）。

這兩個譜序列通常是不同的，但隨著  增大，它們都收斂到 ，由此可以得到一些有趣的比較定理。

 例子 
Tor函子的交換性
利用譜序列，可以迅速導出Tor函子的交換性，即一自然同構：


取定平坦分解  及 。視之為集中於正項的複形，其微分映射分別記為 。考慮雙複形 ，其微分映射定義為 （以使微分映射滿足反交換性）。取其譜序列，遂得到：

由於複形  是平坦分解，其同調群只集中在零次項，此時其表示式為：

故  只在  上有非零項，而  只在  上有非零項，這保證了譜序列在第二頁退化，由此導出同構：

當  時，上述等式的右項同構（雖然其分次結構不同），由此得到 Tor 的交換性。

示性數
運用譜序列時，通常會假設某些項為零，或假設譜序列在第一或第二頁退化。但有時儘管對各項及微分映射一無所知，仍可從譜序列中萃取資訊，最簡單的例子是示性數：固定一個阿貝爾範疇  及一個交換群 ，所謂示性數是一個函數 ，滿足：


例如：取  為某個域  上的有限維向量空間範疇，則  是一個示性數。

對任一  上的有限複形 ，定義


容易證明 。考慮任一在  上的收斂譜序列 ，由於譜序列的每一頁都是前一頁的同調，遂得到

然而

於是得到


參考資料
歷史文獻

當代文獻

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