代數幾何與解析幾何

在數學中，代數幾何與解析幾何是兩個關係密切的學科。代數幾何研究代數簇，在複數域上，同時也能以複分析及微分幾何的技術研究代數簇。讓-皮埃爾·塞爾在1956年的同名論文中比較了這兩種觀點。在 SGA 第一冊附錄中，則以概形論的語言重新表述。

性質的比較

給定一個  上的局部有限型概形 ，可以考慮相應的複解析空間 。此對應  定義一個從局部有限型概形範疇到複解析空間範疇的函子。對任一 -模 ，同樣可考慮相應的 -模 ，這也給出相應的函子。可以證明  是一個正合、忠實且保守的函子。

論證中用到的關鍵性質是： 是平坦的 -模。

拓撲性質比較
設  為一局部可構子集（即：局部閉集的有限併集），以下  的性質在  中成立，若且唯若在  中成立：
 開子集
 閉子集
 稠密子集

當  為有限型態射時，對於  及  本身，下述性質也是相通的：
 連通
 不可約

概形性質比較
以下性質對  成立，若且唯若對  成立：
 非空
 離散
 科恩-麥考利概形


 正規
 既約
 維度等於 

態射性質比較
設  為概形的態射，  為複解析空間的相應態射，則下述性質對  成立若且唯若對  成立：
 平坦
 非分歧
 平展
 平滑
 正規
 既約
 分離
 單射（拓撲意義）
 同構
 單射（範疇論意義）
 開浸入

若再要求  是有限型態射，則可再加入下述性質：
 滿射（拓撲意義）
 優勢態射
 閉浸入
 浸入
 真態射
 有限態射

上同調比較
以下假設  是真態射，對任一個凝聚 -模 ，有自然同構：


當  時，遂有層上同調的比較定理：


此時  給出範疇的等價。

黎曼存在性定理
黎曼存在性定理則斷言：若  是 -上的局部有限型概形，且  是複解析空間的有限平展覆蓋，則存在 -概形  及平展態射 ，使得 。此外，函子  給出從【 的有限平展覆蓋】到【 的有限平展覆蓋】的範疇等價。

當  為連通時，此定理的一個直接推論是代數基本群與拓撲基本群的比較定理：


其中 ，而  表示代數基本群  對有限指數子群的完備化。

文獻
 J. P. Serre (1956), "Géométrie algébrique et géométrie analytique." Annales de l'Institut Fourier 6, 1-42.
 Grothendieck, Alexandre; Michèle Raynaud [1971] (2003). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1)  (Documents Mathématiques 3), Société Mathématique de France, xviii+327. ISBN 2-85629-141-4. 

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Category:复流形
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