完備化 (環論)

在交換代數中，可以探討一個交換環  本身，或一個 -模對一理想  的完備性。由於完備環有較容易處理的性質，完備化是研究交換環的基本工具。

幾何上，交換環的完備化對應到一個閉子概形的形式鄰域。

 I-進拓撲 
對於一個交換環  及其理想 （通常取為極大理想），可以藉著取  為零元素的開鄰域，賦予  相應的拓撲結構，使之成為對加法的拓撲群。這種拓撲稱為 -進拓撲。

對於一個 -模 ，同樣可考慮零元素的開鄰域 ，由此得到  上的 -進拓撲。

完備化及其性質
模  對  的完備化定義為射影極限：



正如其名， 對其 -進拓撲是完備的。對於固定的 ， 是從 -模範疇（態射為模同態）到 -進拓撲 -模（態射為連續同態）的函子；透過自然同態 ，它是與之反向的遺忘函子的左伴隨函子，因而是右正合的。

對於諾特環， 是平坦的 -模。此時，對任何有限生成 -模 ，自然態射  是個同構。綜上所述，對於諾特環 上的有限生成 -模，完備化是個正合函子。

此外，完備化也可以用柯西序列構造，得到的對象是自然同構的。

例子
 p進整數是  對  的完備化。
 形式冪級數環  是多項式環  對  的完備化。

文獻

 David Eisenbud, Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics, 150. Springer-Verlag, New York, 1995. xvi+785 pp. ISBN 0-387-94268-8; ISBN 0-387-94269-6 

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Category:环论