有理映射

在代數幾何中，有理映射是定義在概形的稠密開集上的態射。有理映射及由此引生的雙有理等價是古典代數幾何學的主要對象。

定義
固定概形 。考慮所有的資料 ，其中  是稠密開集，而  是態射；這些資料代表了  上「部份定義」的態射， 代表  的定義域。定義下述等價關係：


此外，注意到稠密性保證  也是  中的稠密開集。當  不可約，則所有非空開集都是稠密的。若再假設  既約而  是分離概形，則任一等價類有唯一一個定義域最大的代表元。

從概形  到  的有理映射  是其中的一個等價類 。

若  是從  到 ， 是從  到  的有理映射，則一般並不能定義其合成 。但是當  的像（對某個，因而對每個代表元 ）在  中稠密時，對每個  的代表元 ， 皆非空，此時可以定義 。

同理，若  與  都是  上的概形，也可以類似地定義 -有理映射。

例子
設  為整環，設 、，則從  到  的任何有理映射  有唯一的表法：


其中  是多項式。該有理映射可以在  上定義。

此外，對於不可約 -概形 ，其上的有理函數一一對應到從  到  的有理映射。

優勢映射與雙有理等價
之前考慮合成問題時，曾利用像的稠密性條件；滿足該條件的有理映射稱為優勢映射。由於優勢映射可以作合成，定義從概形  到  的雙有理等價為一個優勢映射 ，使得存在另一個從  到  的優勢映射 ，使 、。

以下考慮域  上的不可約代數簇及其間的 -有理映射。有理映射的地位在於：透過有理函數的「拉回」運算，代數簇之間的優勢映射對應到函數域之間的映射，而雙有理等價對應到函數域的同構。由此可知代數簇的雙有理等價範疇等價於函數域的反範疇。

雙有理等價的例子
雙有理等價的定義較同構寬，因為我們容許態射在某維度較低的閉集上未定義。一個例子是  與 ，兩者雙有理等價，而並不同構。原因如下： 中的任兩條閉曲線都有交點，而在  中， 與  不相交，因而  與  並不同構。

另一方面， 的函數域可以在仿射開集  上計算，此開集的座標環是 ，其函數域是 ；這也是  的函數域，於是二者雙有理等價。若細審上述論證，事實上能寫出所求雙有理等價的式子。

參見
 雙有理幾何

文獻

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