函數域

在代數幾何中，一個整概形  的函數域  由  上的有理函數組成；對於一般的概形，相應的對象是有理函數層。雙有理幾何研究的便是由  所決定的幾何性質。

整概形的情形
定義
若  是仿射整概形， 為開集，則定義  為  的分式域。此時  是  的分式域的常數層。

若  是整概形，而非仿射概形，則任何非空仿射開集都稠密。對任何開集 ，可以一致地定義 ，其中  是任一非空仿射開集；這仍然是對應到一個域的常數層，該域稱之為  的函數域。另一種等價定義是  在一般點的莖。

函數域與維度
設  為域， 為不可約 -代數簇，則  是  的域擴張，有時也寫作 。此擴張的超越次數等於 ，此命題可以化約到仿射簇的情形，再以諾特正規化引理證明。

例子
  的函數域是 。

以下設  為域。
 單點  的函數域是  本身。
 仿射直線  與射影直線  的函數域都是 ，其中  是  上的超越元。
 考慮平面曲線 ，其函數域是 ，其中  是  上滿足  的超越元；一般代數曲線的函數域可以依此類推。當  為有限域時，-代數曲線的函數域與數域之間有深刻的類比。

一般概形的情形
當  不是整概形時， 在開集上的截面可能有零因子，此時分式域並不存在（詳見 Kleiman 的文章）。正解如下：

 對任一開集 ，令  為  中的非零因子集，這是一個積性集。命 （即  的全分式環）。 構成  上的預層。令  為其層化，此即  的有理函數層，它是 -代數構成的層。

若  局部上可以分解成有限個整概形 （這對局部諾特概形皆成立），則對任何開集  有


此時  是  上的擬凝聚層。

與亞純函數域的關係
在複代數幾何中，基本的對象是不可約複解析簇，其上能局部地開展複分析，由此可以定義複解析簇上的亞純函數；亞純函數域是該簇上的亞純函數之集合。在不可約 -代數簇上，有理函數必為亞純函數，反之則不然（考慮 ）；若加上緊緻條件，則可證明此時亞純函數域確等於有理函數域。

文獻

 Kleiman, S., "Misconceptions about KX", Enseign. Math. 25 (1979), 203-206

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