導出函子

在同調代數中，阿貝爾範疇間的某類函子可以「求導」，以獲得相應的導出函子。此概念可以融貫數學中許多領域裡的具體構造。

動機
考慮導出函子的原始目的是從一個短正合序列造出一個長正合序列。具體言之：給定兩個阿貝爾範疇 ，及其間的加法函子 。假設  為左正合函子，換言之，對  中的任一短正合序列



下列序列是正合的：



由此自然導出一個問題：如何自然地延長此正合序列？ 的（右）導出函子是一族函子 ，滿足 ，且有相應的長正合序列：

導出函子可以視為  的右正合性的尺度。

構造與初步性質
右導出函子
今假設  中有充足的內射元。設 ，根據假設，存在內射分解：



取函子 ，得到上鏈複形：



定義  為其第  個上同調群，特別是有 。注意到兩點：
 由於任兩個內射分解彼此同倫等價，函子  在同構的意義下是明確定義的。
 若  是內射對象，取平凡分解 ，可知當  時有 。

左導出函子

左導出函子的建構與右導出函子對偶。設  為右正合加法函子，並假設  有充足的射影元。對任一對象 ，取一射影分解：

取函子 ，得到鏈複形：



定義  為其第  個同調群，其性質類似右導出函子。

逆變函子的情形
對於逆變函子也能定義導出函子，此時的導出函子也是逆變函子。較有系統的方法是利用反範疇的概念。

長正合序列
對於右導出函子的情形，任一短正合序列  給出長正合序列


對於左導出函子，相應的長正合序列形如


此外，這些長正合序列在下述意義下是「自然」的：
 短正合列之間的態射導出長正合序列間的態射。
 函子間的自然變換導出長正合序列尖的態射。

這些性質是蛇引理的推論。

應用
 層上同調：對拓撲空間 ，考慮其上的阿貝爾群層構成的範疇，它有充足的內射元。整體截面函子  是左正合函子，相應的右導出函子即層上同調函子 。
 平展上同調：平展上同調用於概形上的另一種上同調理論。
 Ext函子：設  為環，考慮 -模範疇，它有充足的內射元及射影元。對任一 -模 ，函子  為左正合的，其右導出函子記為 。
 Tor函子：同樣考慮 -模範疇，對任一 -模 ，函子  為右正合的，其左導出函子記為 。
 群上同調：設  為群。所謂 -模是指被  作用的阿貝爾群，-模範疇可以理解為 -模範疇。對任一 -模 ，定義 ，這是一個左正合函子，其右導出函子即群上同調函子 。

推廣
現代的導範疇理論為導出函子提供了一套較廣的框架。

文獻
 Weibel, Charles A., An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38. Cambridge University Press, Cambridge, 1994. xiv+450 pp. ISBN 0-521-43500-5; 0-521-55987-1

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