调和级数

调和级数（）是正整數的倒數之和，是发散的无穷级数，表达式为：


这级数名字源于泛音及泛音列：振动的弦的泛音的波长依次是基本波长的、、......等。调和序列中，第一项之后的每一项都是相邻两项的调和平均数；而“调和平均数”一词同样也源自音乐。

 历史 
早在14世纪，尼克尔·奥里斯姆已经证明调和級數发散，但知道的人不多。17世纪时，、约翰·伯努利和雅各布·伯努利完成了全部證明工作。

调和序列历来很受建筑师重视；在巴洛克时期尤其明显。当时建筑师在建造教堂和宫殿时，运用调和序列为楼面布置和建筑物高度建立比例，并使室内外的建筑细节间呈现和谐的联系。George L. Hersey, Architecture and Geometry in the Age of the Baroque, p 11-12 and p37-51.

 佯谬 
对刚接触这级数的人而言，调和级数违反直觉——尽管随不断增大，无限接近0，但它却是发散级数。调和级数也因此成为一些佯谬的原型。“橡皮筋上的蠕虫”就是其中一例。假设蠕虫沿着1米长的橡皮筋爬行，而橡皮筋每分钟匀速伸展1米。如果相对于其所在的橡皮筋，蠕虫的爬行速度是每分钟1厘米，那么它最终会到达橡皮筋的另一头吗？与直觉相反，答案是肯定的：分钟之后，蠕虫爬行过的距离与橡皮筋总长度的比值为：

。

调和级数发散（证明见本条目“发散”一节），即趋于无穷大时级数也趋于无穷大，这比值也必定在某时刻超过1；也就是说，蠕虫最终一定会到达橡皮筋另一头。然而，在这时刻的n的值极其之大，约为，超过1040（1后面有40个零）。这也说明了，尽管调和级数确确实实是发散，但它发散的速度非常慢。

另一例：假设有一堆完全相同的骨牌，可以肯定的是，它们可以叠在一起，并使得每塊骨牌都突出其下方骨牌外一定长度，最终使得最上层的骨牌完全在最底层骨牌以外甚至更远。违反直觉的是，只要骨牌够多，就可以使最上层的骨牌與最底层骨牌水平距離无穷远。较简单的证明如下：

设每一块骨牌的长度为。再设一叠塊平衡的骨牌的质心与最底层骨牌最右端的距离为；在只有1塊骨牌时，质心就在骨牌的几何中心（假设骨牌密度均匀），即。对于一叠刚好平衡的骨牌（即对于任意一层骨牌，在其之上的骨牌的质心恰好落在其边缘），新骨牌不置于其上方（否则使得质心往右偏移而倒塌），而是垫在整叠骨牌之下，并使得原有骨牌的质心刚好落在新骨牌的最左端（则原来的骨牌不会倒塌）；设从上往下第n层骨牌突出其下方骨牌的长度为，则有：。根据质心的坐标系计算公式，可得到新的骨牌叠的质心为：

则，即。

也就是说，理想的摆法是：最顶层骨牌与第二层之间水平距离是骨牌长度的，第二、三层间水平距离是骨牌长度的，第三、四层之间水平距离是骨牌长度的......依此类推。最终，最顶层和最底层骨牌的水平距离是：

调和级数发散，当骨牌数目趋于无穷大时，水平距离也趋于无穷大。

 发散 

 比较审敛法 



因此该级数发散。

 积分判别法（integral test）

将调和级数的和与一个瑕积分比较可证此级数发散。考虑右图中长方形的排列：长方形宽1单位、高单位（换句话说，每个长方形的面积都是），所有长方形的总面积就是调和级数的和：

矩形面积和

而曲线以下、从1到正无穷部分的面积由以下瑕积分给出：

曲线下面积

。这部分面积真包含于（换言之，小于）长方形总面积，长方形的总面积也必定趋于无穷。更准确说，这证明了

这方法的拓展即积分判别法。

 反证法 

假设调和级数收敛 , 则

但与矛盾，故假设不真，即调和级数发散。

 发散率 
调和级数发散的速度非常缓慢。举例来说，调和序列前1043项的和还不足100。Sequence  in the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences调和数列的部分和呈对数增长。特别地，

其中是欧拉－马歇罗尼常数，而约等于，并且随着趋于正无穷而趋于。这结果由欧拉给出。

当然无论调和级数发散率再怎样低，其都不是发散率最慢的级数，仍存在发散率比调和级数更低的级数。理论上没有发散率“最慢”的发散性级数和。

 部分和 

调和级数的第項部分和为：

 ，

也叫作第n个调和数。

第n个调和数与的自然对数的差值（即）收敛于欧拉-马歇罗尼常数。

两个不同的调和数之间的差值永远不是整数。

除了以外，没有任何调和数是整数。

 相关级数 
交错调和级数
如下级数：

称作交错调和级数。这级数可经交错级数判别法证明收敛。特别地，这级数的和等于2的自然对数：
。
这公式是墨卡托级数（自然对数的泰勒级数形式）的特例。

从反正切函数的泰勒展开式可导出相关级数：
 。
这级数也称作π的莱布尼茨公式。

广义调和级数

广义调和级数是指有如下形式的级数：

。

其中且为实数。

由比较审敛法可证所有广义调和级数均发散。Art of Problem Solving:
"General Harmonic Series" 

-级数

调和级数广义化的其中一種结果是-级数，定义如下：

，

P是任何正实数。当，-级数即调和级数。由积分判别法或柯西稠密判定法可知-级数在时收敛（此时级数又叫过调和级数（over-harmonic series）），而在时发散。当时，-级数的和即，也就是黎曼ζ函数在的值。

 -级数 

对凸实值函数，若满足以下条件：

则级数收敛。

随机调和级数

随机调和级数定义如下：

，

其中是恒等分布的独立随机变量，取值范围为+1和-1，取这两值的概率都是。阿尔伯塔大学的拜伦·施姆兰研究此级数的性质，"Random Harmonic Series", American Mathematical Monthly 110, 407-416, May 2003并发现这级数收敛的概率为1，并发现这随机变量有些有趣的性质。特别地，这随机变量的概率密度函数在+2和-2处的值为，与只差不到10−42。施姆兰的论文解释了为什么这概率如此接近、但却不是。这概率的精确值由无穷余弦乘积积分除以而给出的。

贫化调和级数

贫化调和级数是将调和级数中、分母含有数字9的项去除后所剩的级数。这级数是收敛的，其和小於80。实际上，将包含任意数字串的项从调和级数中去除后，所剩级数都收敛。

拉马努金求和
调和级数是柯西发散的，而且很多常用的发散级数求和方法对它也不适用。但是，调和级数的拉马努金求和存在，且为欧拉-马斯刻若尼常数。

注釋

 参见 

 无穷级数
 调和平均数
 黎曼ζ函数

 参考 

 外部链接 
 "The Harmonic Series Diverges Again and Again", The AMATYC Review, 27 (2006), pp. 31–43. Many proofs of divergence of harmonic series.

Category:发散级数