曲线的挠率

在初等三维曲线的微分几何中，一条曲线的挠率（torsion，或译扭率）度量了其扭曲的程度，即偏离平面曲线的程度。空间曲线的曲率和挠率在一起，与平面曲线的曲率类似。例如，他们都是弗勒内标架的微分方程组中的系数，由弗勒内-塞雷公式给出。

 定义 
设 C 是一条用弧长参数给出的空间曲线，单位切向量为。如果在某一点 C 的曲率不等于 0，那么主法向量和次法向量分别是

其中撇号代表对参数的导数。空间曲线在一点处的切向量和主法向量所张成的平面就是密切平面，密切平面的法向量是曲线的次法向量。如果曲线本身位于一个平面内，那么这个平面就是曲线的密切平面，相应的次法向量就是常向量。如果曲线不是平面曲线，则不是常向量。因为是单位向量，所以垂直于。又因为，所以，故也垂直于。所以与共线。

挠率度量了次法向量在那一点旋转的速度。由方程



得出



注：次法向量的导数垂直于次法向量和切向量，从而和主法向量成比例。式中的负号仅仅是出于习惯，是这个学科历史发展的副产品。

挠率半径，通常记为 σ，定义为：



几何解释：挠率度量了次法向量的方向的改变。挠率越大，次法向量关于切向量所在的轴的转动越快。

 性质 
 平面曲线的挠率处处为 0；反过来，如果一条正则曲线的挠率处处为 0，那么这条曲线在一个平面上。
螺旋线的曲率和挠率都是常数；反之，任何空间曲线如果其曲率和挠率都是非零常数，必然是螺旋线。挠率为正是右手螺旋，为负是左手螺旋。
定倾曲线或称一般螺线（即切向量与一个固定方向交为定角的曲线）的挠率与曲率之比为常数；反之，如果正则曲线的挠率与曲率之比为常数，那么曲线必是定倾曲线。

 另一种描述 
设 r = r(t) 是空间曲线的参数方程。假设参数是正则的且曲线的曲率处处非 0。精确地说就是，r(t)关于t三次可微，且向量线性无关。

那么挠率可以由下面的公式表达出来：

这里撇号表示对 t 求导数，× 号为向量的叉积。对 r = (x, y, z)，上述公式的分量形式为



例子：圆螺旋线的曲率、挠率都是常数，分别为

 参考文献  

Andrew Pressley, Elementary Differential Geometry, Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer-Verlag，2001 ISBN 1-85233-152-6

Q
Category:曲线
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