Ext函子

在同調代數中，Ext 函子是 Hom 函子的導函子。此函子首見於代數拓撲，但其應用遍佈許多領域。

 定義 
設  為有充足內射元的阿貝爾範疇，例如一個環  上的左模範疇 。固定一對象 ，定義函子 ，此為左正合函子，故存在右導函子 ，記為 。當  時，常記之為 。

根據定義，取  的內射分解


並取 ，得到


去掉首項 ，最後取上同調群，便得到 。

另一方面，若  中也有充足射影元（例如 ），則可考慮右正合函子  及其左導函子 ，可證明存在自然同構 。換言之，對  取射影分解：


並取 ，得到


去掉尾項 ，其同調群同構於 。

 基本性質 
 若  是射影對象或  是內射對象，則對所有  有 。
 反之，若 ，則  是射影對象。若 ，則  是內射對象。


 根據導函子性質，對每個短正合序列 ，有長正合序列：

 承上，若  有充足的射影元，則對第一個變數也有長正合序列；換言之，對每個短正合序列 ，有長正合序列


 譜序列 
今設  為含單位元的環，並固定一環同態 。則由雙函子的自然同構


導出格羅滕迪克譜序列：對每個 -模  及 -模 ，有譜序列


這個關係稱為換底。

 Ext函子與擴張 
Ext 函子得名於它與群擴張的聯繫。抽象地說，給定兩個對象 ，在擴張

的等價類與  之間有一一對應，下將詳述。

對任兩個擴張
 與

可以構造其 Baer 和 為 ，其中 （反對角線）。這在等價類上構成一個群運算，可證明此群自然地同構於 。

對更高階的擴張，同樣可定義等價類；對任兩個 n-擴張（n>1）
 與

此時的 Baer 和定為


其中 （反對角線  之定義同上），。這也在 n-擴張的等價類上構成一個群運算，此群自然同構於 。藉此，能在任何阿貝爾範疇上定義 Ext 函子。

 重要例子 
 設  為群，取環 ，可以得到群上同調：。
 設  為局部賦環空間  上的 -模範疇，可以得到層上同調：。
 設  為李代數，取環  為其泛包絡代數，可以得到李代數上同調：。
 設  為域， 為 -代數，取環 ， 帶有自然的 -模結構，此時得到 Hochschild 上同調：。

 文獻 
 Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1

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