極小多項式

在抽象代數中，一個域上的代數元  之極小多項式（或最小多項式）是滿足  的最低次首一多項式(多項式內最高次項之係數為1) 。此概念對線性代數與代數擴張的研究極有助益。

形式定義
設  為一个域， 為有限維 -代數。對任一元素 ，集合  張出有限維向量空間，所以存在非平凡的線性關係 ：


可以假設 ，此時多項式  滿足 。根據多項式環裡的除法，可知這類多項式中只有一個次數最小者，稱之為  的極小多項式。

由此可導出極小多項式的次數等於 ，而且  可逆若且唯若其極小多項式之常數項非零，此時  可以表成  的多項式。

矩陣的極小多項式

考慮所有  矩陣構成的 -代數 ，由於 ，此時可定義一個 矩陣之極小多項式，而且其次數至多為 ；事實上，根據凱萊-哈密頓定理，可知其次數至多為 ，且其根屬於該矩陣的特徵值集。

極小多項式是矩陣分類理論（若尔当标准型、有理標準形）的關鍵。

極小多項式與代數擴張
設  為  的有限擴張，此時可視  為有限維 -代數。根據域的性質，極小多項式必為素多項式。元素的跡數及範數等不變量可以從極小多項式的係數讀出。

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