歐拉-拉格朗日方程

歐拉-拉格朗日方程（）為變分法中的一條重要方程。它是一个二阶偏微分方程。它提供了求泛函的臨界值（平穩值）函數，換句話說也就是求此泛函在其定義域的臨界點的一個方法，與微積分差異的地方在於，泛函的定義域為函數空間而不是 。

该方程由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉与意大利数学家约瑟夫·拉格朗日在1750年代提出。

第一方程
設，以及在中連續，並設泛函
。

若使得泛函取得局部平穩值，則對於所有的，

。

推廣到多維的情況，記 
，
，
 。

若使得泛函取得局部平穩值，則在區間內對於所有的，皆有

。

第二方程
設，及在中連續，若使得泛函取得局部平穩值，則存在一常數，使得

。

第二方程可直接通过的全微分展开，将关于的一阶偏导用第一方程替换即可得到两边求积分即可得到第二方程。

例子
例一：两点之间最短曲线
設及為直角坐標上的兩個固定點，欲求連接兩點之間的最短曲線。設，並且 
；

這裏，為連接兩點之間的曲線。則曲線的弧長為
。

現設 
，
，

取偏微分，則
，
，
。

若使得取得局部平穩值，則符合第一方程：

，
。

因此，
，
。

隨積分，
，
；

這裏，為常數。重新編排，
，
。

再積分， 
，
。

代入初始條件 
， 
；

即可解得，是連接兩點的一條線段。

另經過其他的分析，可知此解為唯一解，並且該解使得取得極小值，所以在平面上連結兩點間弧長最小的曲線為一直線。

例二：两点之间最短曲线的另一种求解
另一个例子同样是求定义在区间[a, b]上的实值函数y满足y(a) = c与y(b) = d，并且沿着y所定义的曲线的道路长度最短。

被积函数为

L的偏导数为

以及

把上面两式代入欧拉-拉格朗日方程，可以得到

也就是说，该函数的一阶导数必须为常值，因此其图像为直线。

參閱
拉格朗日方程式
變分法
作用量
哈密頓原理

參考書籍
Troutman, John L. Variational Calculus and Optimal Control, 2nd edition, (Springer, 1995), ISBN 978-0387945118.

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