倍立方

倍立方是古希腊数学里尺规作图领域當中的著名问题，和三等分角、化圓為方問題被並列為古希臘尺规作图三大难题。尺规作图是古希腊人的数学研究课题之一，是对具体的直尺和圆规画图可能性的抽象化，研究是否能用规定的作图法在有限步内达到给定的目标。倍立方问题的内容是：

“能否用尺规作图的方法作出一立方体的稜长，使该立方体的体积等于一给定立方体的两倍？”

倍立方问题的实质是能否通过尺规作图从单位长度出发作出的问题。

三大難題提出后，在漫长的两千余年中，曾有众多的尝试，但没有人能够给出严格的答案。随着十九世纪群论和域论的发展，法国数学家首先利用伽罗瓦理论证明，三等分角問題的答案是否定的。运用类似的方法，可以证明倍立方问题的答案同样是否定的。具体来说，给定单位长度後，所有能够经由尺规作图达到的长度值被称为规矩数，而如果能够作出，那么就能做出不属于规矩数的长度，从而反证出通过尺规作图作出给定立方体体积两倍的立方体是不可能的。

如果不将手段局限在尺规作图法中，放宽限制或借助更多的工具的话，作出给定立方体体积两倍的立方体是可行的。

 背景简介 
 相关传说 
传说中，这问题的来源，可追溯到公元前429年。一场瘟疫袭击了希腊提洛岛（Delos），造成四分之一的人口死亡。岛民们去神庙请示阿波罗的旨意，神谕说：要想遏止瘟疫，得将阿波罗神殿中那正立方的祭坛加大一倍。人们便把每边增长一倍，结果体积当然就变成了8倍，瘟疫依旧蔓延；接著人们又试著把体积改成原来的2倍，但形状却变为一个长方体……第罗斯岛人在万般无奈的情况下，只好鼓足勇气到雅典去求救於当时著名的学者柏拉图。

开始，柏拉图和他的学生认为这个问题很容易。他们根据平时的经验，觉得利用尺规作图可以轻而易举地作一个正方形，使它的面积等于已知正方形的2倍，那么作一个正方体，使它的体积等于已知正方体体积的2倍，还会难吗?

 尺规作图法 

在叙述倍立方问题前，首先需要介绍尺规作图。尺规作图问题是从现实中具体的“直尺和圆规画图可能性”问题抽象出来的数学问题，将现实中的直尺和圆规抽象为数学上的设定，研究的是能不能在若干个具体限制之下，在有限的步骤内作出给定的图形、结构或其他目标的问题。在尺规作图中，直尺和圆规的定义是：
直尺：一侧为无穷长的直线，没有刻度也无法标识刻度的工具。只可以让笔摹下这个直线的全部或一部分。
圆规：由两端点构成的工具。可以在保持两个端点之间的距离不变的情况下，将两个端点同时移动，或者只固定其中一个端点，让另一个端点移动，作出圆弧或圆。两个端点之间的距离只能取已经作出的两点之间的距离，或者任意一个未知的距离。
定义了直尺和圆规的特性後，所有的作图步骤都可以归化为五种基本的步骤，称为作图公法：
 通過兩個已知點，作一直線。
 已知圓心和半徑，作一個圓。
 若兩已知直線相交，确定其交點。
 若已知直線和一已知圓相交，确定其交點。
 若兩已知圓相交，确定其交點。
尺规作图研究的，就是是否能够通过以上五种步骤的有限次重复，达到给定的作图目标。尺规作图问题常见的形式是：“给定某某条件，能否用尺规作出某某对象？”比如：“给定一个圆，能否用尺规作出这个圆的圆心？”，等等。

 问题叙述 
倍立方问题的完整叙述是：

如果将给定线段的长度定为单位长度，则倍立方问题实质上就是要作出长度为单位长度的倍的线段。

 倍平方 
与倍立方问题相比，倍平方问题要简单得多。给定一个单位长度的线段，只需做一个以它为边长的正方形，以正方形的对角线为边长的正方形，面积就是2. 也即是说，尺规作图可以作出长度为单位长度的倍的线段。然而，和虽然形状相近，却有本质性的区别。数学家们直到十九世纪后，才从群论和域论的工具中了解了这个区别。

 不可能性的證明 

 倍立方不可能性的证明 
证明使用反证法。倍立方问题是指已知单位长度1，要作出的长度。反设可以作出，说明它是一个规矩数。所以域扩张的阶数应该是2的幂次。然而，的最小多项式是：

这说明域扩张的阶数是3，不是2的幂次，这与先前的结论矛盾。所以，用尺规方法无法作出一个立方体，使得它的体积是已知立方体的两倍。

 倍立方的方法 
如果放宽条件，比如使用有刻度的直尺（二刻尺）或折纸等，則倍立方是有可能的：

 二刻尺作图 

 作一個邊長為 1 的等邊三角形 ABC。
 把 AB 延長，作線 AD ，使得 BD = 1。
 把 BC 延長，作線 BE。
 把 D 和 C 相連並延長，作線 DF。
 利用直尺上的刻度，作線 AGH，使得 GH = 1 ，其中 G 和 H 分別在 DF 和 BE 之上。
 AG 的長度就是，作圖完畢 

 證明 
由


得

又根據畢氏定理

現在設，則由孟氏定理

可得

兩邊平方後整理

此方程式有唯一正實根

 折纸 

将一张正方形纸折三等份留下痕迹之后，点P折向正方形的边AB，并且点P的位置要使得左三等分点Q折到与右三等分线重合。此时有。

 证明 
将图中左边被折的点命名为C，以及AB边上右三等分点命名为D。

设正方形连长为1以及AC长度为，则有CP长度为，AP长度通过勾股定理为；另一方面PQ长度为，PD长度为。

根据相似三角形（），可以得到方程：

取其正根解得，又由于PB长度为，于是代入得，证毕。

 相關條目 
三等分角
化圆为方
蔓葉線

 参考来源 

 外部链接 
 HPM 通訊第6卷第6期, 3大作圖題 介紹在較寬鬆的條件下（允許使用其他曲線）用尺規作圖，來求解倍立方問題。

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