Tor函子

在交換代數中，Tor 函子是張量積的導函子。此函子起初是為了表述代數拓撲中的 Künneth 定理與普遍係數定理而定義。

 定義 
設  為環。令  為左 -模範疇、  為右 -模範疇（若  為交換環，則兩者等價）。固定一對象 ，考慮函子


這是從  至阿貝爾群範疇  的右正合函子（若  為交換環，則它是映至  的右正合函子），因此能考慮其左導函子 ，記為 。

換言之，對任一左 -模  取射影分解


去掉尾項 ，並對  取張量積，得到鏈複形


並取其同調群，則得到 

此外，Tor 函子也能以  的左導函子定義，兩種定義給出自然同構的函子。

 性質 
 Tor 函子與直和交換：

 對任何 ， 是從  到  的加法函子。若  是交換環，則它是從  到  的加法函子。
 依據導函子性質，每個短正合序列  導出長正合序列：

 對第二個變數亦同。
 若  為交換環， 非零因子，則

 這是 Tor 函子的詞源。
 由於阿貝爾群皆有長度不超過二的自由分解（因為自由阿貝爾群的子群皆為自由的），此時對所有 ，有 。

 譜序列 
設  為交換環， 為 -模，並固定一個環同態 。我們有雙函子的自然同構：

由此導出格羅滕迪克譜序列：對任何 -模 ，有譜序列


 與平坦模的關係 

一個右 -模是平坦模的充要條件是 。此時可推出 。左 -模的情況準此可知。事實上，計算 Tor 函子時可以用平坦分解代替射影分解；凡射影分解必為平坦分解，反之則不然；平坦分解在技術上較富彈性。

 文獻 
 Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1

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