概形論術語

這是概形論術語。欲知代數幾何中概形的簡介，請見條目仿射概形、射影空間、層及概形。本條目旨在列出概形論中的基本技術定義與性質。

點
一個概形  是一個局部賦環空間，故也是拓撲空間，但「 的點」具有三重涵義：

 拓撲空間意義下的點。
 -值點：對任一概形 ，一個 -值點是指一個態射 。
 幾何點：當  定義在一個域  上時（換言之  是 -概形），一個幾何點乃是一個 -值點，其中  表  的代數閉包。

幾何點是古典問題的主角，例如對複代數簇而言，通常說「點」即指幾何點。拓撲空間的點包括一般點的類比（相對於扎里斯基而非韋伊的理論）。藉由米田引理，考慮所有的概形  與所有 -值點，可以將概形  理解為相應的可表函子 ，此觀念是代數幾何發展史上的一大步。

纖維
在格羅滕迪克的相對幾何框架下，一態射的纖維有三重涵義：

 一個點（拓撲意義下）的逆像。
 兩個態射的纖維積：對於仿射概形，纖維積對應到環的張量積。
 幾何纖維：設  為 -概形（ 為域）， 為一 -態射， 為一幾何點，則  點的幾何纖維定義為相應的纖維積 。

概形之性質
概形的大部分性質都是「局部的」，換言之： 具有性質甲，若且唯若對其任一開覆蓋 ，每個  皆具性質甲；而通常只要對一組開覆蓋驗證即可。這類性質有時也被稱為「扎里斯基局部」的，藉以區別對於其他格羅滕迪克拓撲的情形（如平展拓撲）。

考慮一概形  及一組仿射開子概形  組成的開覆蓋。藉此可將概形的局部性質翻譯為交換環的性質。一個性質甲在上述意義下是局部的，若且唯若相應的環性質在局部化之下不變。

舉例明之，局部諾特概形是能由諾特環的交換環譜覆蓋的概形。由於諾特環的局部化仍為諾特環，局部諾特性確實是上述意義下的局部性質。另一個例子是既約概形，這也是局部性質，因為若一個交換環無冪零元，則其局部化亦然。

分離概形並非局部性質：任何仿射概形都是分離概形，因此任何概形都是「局部分離」的，然而存在非分離的概形。

以下是環的局部性質列表（不全），由此可定義概形的相應性質。以下令  為一概形之開覆蓋。

 概念  定義  例子  反例 與概形結構相關者 不可約  若一連通概形  （作為拓撲空間）不能表為兩個閉子集的聯集，除非其中一者為 ，則稱之為不可約概形。利用素理想與仿射概形的點的對應，可知連通概形  不可約若且唯若每個  恰有一個極小素理想。凡諾特概形皆可唯一表示為有限個極大不可約閉子集的聯集，這些閉子集稱為其不可約成份。 仿射空間、射影空間Spec k[x,y]/(xy) = 50px 既約  環  皆為既約環（即：無冪零元素），等價的說法是結構層  沒有冪零的局部截面。代數幾何的一大進步是將代數簇推廣為概形，而概形可能是非既約的。 代數簇 （根據定義） k[x]/(x2)  整 不可約的既約概形稱作整概形。等價的說法是：該概形可由整環的譜覆蓋。嚴格地說，這只在連通概形上才是局部性質。 Spec k[t]/f, f 為不可約多項式 Spec A ⊕ B. (A, B ≠ 0)  正規 若每個  都是整閉的，則稱  為正規概形。 正則概形、帶有理奇點的曲面 帶奇點的曲線 與正則性相關者 正則  若每個  都是正則局部環，則稱  為正則概形。 域上的平滑代數簇 Spec k[x,y]/(x2+x3-y3)=50px Cohen-Macaulay 若  的局部環皆是Cohen-Macaulay環，則稱  為 Cohen-Macaulay 概形。 正則概形、 Spec k[x,y]/(xy) 50px 與「大小」相關者 局部諾特  每個  皆為諾特環。如果此外更要求該覆蓋為有限覆蓋，則該概形稱為諾特概形。 古典代數幾何的大部分對象  鏈  若  的任兩個不可約閉子概形  之間的極大鏈都有相同長度，則稱  為鏈概形，這在局部上對應於鏈環。整鏈概形的維度是局部性質。 代數幾何的大部分對象 見條目鏈環中的反例

態射之性質
格羅滕迪克的基本理念之一是強調「相對」性，亦即置重點於態射的性質。概形範疇有一終對象 ，所以任何概形可以唯一地理解為 -概形，藉此可以從態射性質定義概形本身的性質。

以下令


為概形間的態射。一如既往，以下的性質也是局部的，即：若存在開覆蓋  使得  在  上的限制帶有該性質，則  本身也帶該性質。

與拓撲結構相關的概念

若一個態射在拓撲空間上是開映射，則稱此態射為開態射；閉態射的定義類似。平坦態射皆為開態射。

若  在  中稠密，則稱此態射為優勢態射（英文：dominant morphism，法文：morphisme dominant）。對於仿射概形，優勢態射對應到環的單射同態。

開浸入與閉浸入
 開浸入：若  同構於一個開子概形的包含映射，則稱之為開浸入。
 閉浸入：若  同構於一個閉子概形的包含映射，則稱之為閉浸入。閉浸入在局部上對應到環的商同態。閉浸入可以如下刻劃： 是閉浸入，若且唯若  在拓撲空間的意義下是個閉浸入（ 是同胚，且  是  中的閉集），而且  是滿射。
 浸入：閉浸入與開浸入的合成。

開浸入僅關乎拓撲，而閉浸入則與結構層有關。概形的閉子集可以帶有多種閉子概形結構，其中存在一個始對象，使得其結構層不含冪零元，稱為該閉子集對應的既約子概形。

仿射態射與射影態射
若  的仿射開子概形對  的逆像仍為仿射概形，則稱  為仿射態射。用較炫的說法：仿射態射係來自 -代數的整體  構造，這是整體版本的交換環譜。例子包括向量叢。

射影態射的定義類似，此時對應到分次 -代數的整體  構造，另一種等價的刻劃是：  是射影態射，若且唯若它可分解為閉浸入  及自然投影 。

分離態射與真態射

 分離態射：使得對角態射  為閉浸入的態射，此概念對應到拓撲學中的豪斯多夫空間。
 真態射：即滿足下列性質的態射
 分離態射
 泛閉（即：任一閉浸入  在對  取纖維積後仍為閉浸入）
 有限型

有限型、擬有限與有限態射
若  有一組仿射開覆蓋 ，使得態射  對應到 ，使得  是有限 -模，則稱此態射為有限態射。

若將上述條件改為： 有一組仿射開覆蓋  ，使得  是有限生成的 -代數，則稱此態射為局部有限型態射；若上述開覆蓋  可取為有限的，則稱之有限型態射。代數幾何中探討的多數態射都是有限型態射。

若  的纖維都是有限的，且是有限型態射，則稱之為擬有限態射。有限態射皆為擬有限態射。

平坦態射
若  在結構層的莖上給出平坦同態，則稱之為平坦態射。視此態射為一族以  的點為參數的概形，則平坦性可詮釋為纖維在變形下的某些良好性質，例如希爾伯特多項式的不變性。

非分歧態射與平展態射

對一點 ，考慮相應的環同態：



令  為  的極大理想，並設



若對所有 ， 是  的極大理想，且導出的映射  是有限、可分的代數擴張，則稱此態射為非分歧態射。

平坦的非分歧態射稱為平展態射，此外尚有多種等價定義。在代數簇的情形，平展態射恰好是在切空間上導出同構的態射，這正好是微分幾何中平展態射的定義。

平滑態射

平滑態射對應到拓撲學中的塞爾纖維化映射，在代數幾何中有多種定義：

  是有限型平坦態射，且  是局部自由 -模，其秩為 。
  可分解為某個平展態射  及自然投影  之合成。
 形式判準：對任何交換環  及其理想 ，並滿足 ，則  是滿射。

外部連結
 Crib Sheet: Properties of Morphisms of Schemes, Johan de Jong

文獻

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