整性

整性是交換代數中的概念，用于描述在有理数域的某些扩域中，某些元素是否有类似于整数的性质。元素的整性（是否为整元素）本质上只依赖于環的概念。整性與環的整擴張推廣了代數數與代數擴張的概念。

定義
以下所論的環皆為含單位元的交換環。

設有環、，為的子環。设∈。若存在以中元素为系数的首一多項式∈，使得0，則稱是上的整元素。如果的每個元素都是上的整元素，則稱為的整擴張。

由有限性刻劃
假設同上。環的乘法與加法運算賦予  自然的 -模結構。對於一個元素 ，下述條件彼此等價：
  在  為整。
 子環   是有限生成的 -模。
 存在包含  的子環 ，而且  是有限生成的 -模。

此命題最常見的證明是利用關於行列式的凱萊-哈密頓定理。

閉包性質

 （整閉包）利用有限性的刻劃，可知  上的整元構成  的子環，稱為  在  中的整閉包。
 （可遞性）考慮環擴張 ，若  是  的整擴張，而  在  上為整，則它在  上為整。特別是：若 、 皆為整擴張，則  亦然。

整同態
在整性的定義中，子環條件  可以放寬為一個同態 ， 在  上的整性定義為它對同態像  的整性，整擴張的定義可以類似地推廣。透過同態 ，同樣可賦予  一個 -模結構，此時有限性判準依然成立。

文獻
 Atiyah, M. F., and I. G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9

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