链式法则

-{zh-tw:連鎖律，亦可稱鏈式法則;zh-cn:链式法则，亦可称连锁律}-（），用于求合成函数的導數。

 正式表述 
兩函數  和  的定義域 ( 和 ) 、值域 ( 和 ) 都包含於實數系  ，若可以定義合成函數  (也就是  )，且  於  可微分，且  於  可微分，則

也可以寫成

 例子 

求函数 的导数。

设 

求函数 的导数。

 证明 
嚴謹的證明需要以下連續函數的極限定理：

 和  都是实函数，若可以定義合成函數  且

則有

只要展開極限的ε-δ定義，並考慮  等於或不等於  的兩種狀況，這個極限定理就可以得証。

為了證明連鎖律，定義一個函數  ，其定義域  ， 而對應規則為

和一個函數  ，其定義域  ， 而對應規則為

這樣，考慮到  於  的導數是以下函數（定義域為）的極限

因為可微則必連續（根據乘法的極限性質），所以  於  連續、 於  連續，故根據上面的極限定理有

而且針對一開始可微的前提有

再根據乘法的極限性質有

即為所求。 

 多元复合函数求导法则 
考虑函数，其中，，和是可微函数，那么：


假设的每一个自变量都是二元函数，也就是说，，，且这些函数都是可微的。那么，的偏导数为：

如果我们考虑

为一个向量函数，我们可以用向量的表示法把以上的公式写成f的梯度与的偏导数的数量积：

更一般地，对于从向量到向量的函数，求导法则为：

 高阶导数 
复合函数的最初几个高阶导数为：

 参见 
 乘积法则
 除法定则

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