凱萊–哈密頓定理

在線性代數中，凱萊–哈密頓定理（）（以數學家阿瑟·凱萊與威廉·卢云·哈密顿命名）表明每個佈於任何交換環上的實或複方陣都滿足其特徵方程式。

明確地說：設為給定的矩陣，並設為單位矩陣，則的特徵多項式定義為：

其中表行列式函數。凱萊–哈密頓定理斷言：

凱萊–哈密頓定理等價於方陣的特徵多項式會被其極小多項式整除，這在尋找若尔当标准形時特別有用。

例子
舉例明之，考慮下述方陣：

其特徵多項式為

此時可以直接驗證凱萊–哈密頓定理：

此式可以簡化高次冪的運算，關鍵在於下述關係：

例如，為了計算，可以反覆利用上述關係式：

或是，如果要計算，也可以假設：

然後，依照前面的特徵多項式之兩解，代入後可以得到

然後解方程後求出，便可得。

此外，凱萊–哈密頓定理也是計算特徵向量的重要工具。

註：一般而言，若矩陣可逆（即：），則可以寫成的冪次和：特徵多項式有如下形式

將方程式同乘以，便得到

定理證明
以下考慮佈於域上的矩陣。

凱萊–哈密頓定理可以視為線性代數中拉普拉斯展開的推論。拉普拉斯展開可推出若是矩陣，而表其伴隨矩陣，則

取，便得到。此式對所有皆成立，由於實數或複數域有無窮多元素，上式等式在多項式環內成立。

設，矩陣賦予一個-模結構：。考慮-模，我們有-模之間的「求值態射」：

固定，對中的等式

右側取後得到，左側取後得到。明所欲證。

另外一个简单的证明：
令：

由:

得：

因两多项式，他们的对应项系数相等得：

在等式两边t的i次项系数分别乘以Ai, 并将等式左右两边分别相加并合项得：

得证。

抽象化與推廣
前述證明用到係數在的矩陣的克萊姆法則，事實上該法則可施於任何係數在交換環上的矩陣。藉此，凱萊–哈密頓定理可以推廣到一個交換環上的任何有限生成自由模（向量空間是特例）。中山正引理的一種證明就用到這個技巧。

外部連結
 PlanetMath 上的證明

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