基爾霍夫電路定律

基爾霍夫電路定律（）簡稱為基爾霍夫定律，指的是兩條電路學定律，基爾霍夫電流定律與基爾霍夫電壓定律。它們涉及了電荷的守恆及電勢的保守性。1845年，古斯塔夫·基爾霍夫首先提出基爾霍夫電路定律。現在，這定律被廣泛地應用於電機工程學。

從馬克士威方程組可以推導出基爾霍夫電路定律。但是，基爾霍夫並不是依循這條思路發展，而是從格奧爾格·歐姆的工作成果加以推廣得之。

基爾霍夫電流定律
基爾霍夫電流定律又稱為基爾霍夫第一定律，表明：

或者，更詳細描述，

以方程式表達，對於電路的任意節點，
 ；

其中， 是第  個進入或離開這節點的電流，是流過與這節點相連接的第  個支路的電流，可以是實數或複數。

由於累積的電荷（單位為庫侖）是電流（單位為安培）與時間（單位為秒）的乘積，從電荷守恆定律可以推導出這條定律。其实质是稳恒电流的连续性方程，即根据电荷守恒定律，流向节点的电流之和等于流出节点的电流之和。普通物理学(修订版)（化学数学专业用）.汪昭义 主编.华东师范大学出版社.P320.9.3 基尔霍夫定律.ISBN 978-8-5617-0444-8

導引
思考電路的某節點，跟這節點相連接有  個支路。假設進入這節點的電流為正值，離開這節點的電流為負值，則經過這節點的總電流  等於流過支路  的電流  的代數和：
 。

將這方程式積分於時間，可以得到累積於這節點的電荷的方程式：
 ；

其中， 是累積於這節點的總電荷， 是流過支路  的電荷， 是檢驗時間， 是積分時間變數。

假設  ，則正電荷會累積於節點；否則，負電荷會累積於節點。根據電荷守恆定律，  是個常數，不能夠隨著時間演進而改變。由於這節點是個導體，不能儲存任何電荷。所以， 、 ，基爾霍夫電流定律成立：
 。

含時電荷密度
從上述推導可以看到，只有當電荷量為常數時，基爾霍夫電流定律才會成立。通常，這不是個問題，因為靜電力相斥作用，會阻止任何正電荷或負電荷隨時間演進而累積於節點，大多時候，節點的淨電荷是零。

不過，電容器的兩塊導板可能會允許正電荷或負電荷的累積。這是因為電容器的兩塊導板之間的空隙，會阻止分別累積於兩塊導板的異性電荷相遇，從而互相抵消。對於這狀況，流向其中任何一塊導板的電流總和等於電荷累積的速率，而不是零。但是，若將位移電流  納入考慮，則基爾霍夫電流定律依然有效。詳盡細節，請參閱條目位移電流。只有當應用基爾霍夫電流定律於電容器內部的導板時，才需要這樣思考。若應用於電路分析（）時，電容器可以視為一個整體元件，淨電荷是零，所以原先的電流定律仍適用。

由更技術性的層面來說，取散度於馬克士威修正的安培定律，然後與高斯定律相結合，即可得到基爾霍夫電流定律：
 ；

其中， 是電流密度， 是電常數， 是電場， 是電荷密度。

這是電荷守恆的微分方程式。以積分的形式表述，從封閉表面流出的電流等於在這封閉表面內部的電荷  的流失率：
 。

基爾霍夫電流定律等價於電流的散度是零的論述。對於不含時電荷密度  ，這定律成立。對於含時電荷密度，則必需將位移電流納入考慮。

應用
以矩陣表達的基爾霍夫電流定律是眾多電路模擬軟件（）的理論基礎，例如，SPICE或NI Multisim。

基爾霍夫電壓定律
基爾霍夫電壓定律又稱為基爾霍夫第二定律，表明：

或者，換句話說，

以方程式表達，對於電路的任意閉合迴路，
 ；

其中， 是這閉合迴路的元件數目， 是元件兩端的電壓，可以是實數或複數。

基尔霍夫电压定律不仅应用于闭合回路，也可以把它推广应用于回路的部分电路。

電場與電勢
在靜電學裏，電勢定義為電場的負線積分：
 ；

其中， 是電勢， 是電場， 是從參考位置到位置  的路徑， 是這路徑的微小線元素。

那麼，基爾霍夫電壓定律可以等價表達為：
 ；

其中， 是積分的閉合迴路。

這方程式乃是法拉第電磁感應定律對於一個特殊狀況的簡化版本。假設通過閉合迴路  的磁通量為常數，則這方程式成立。

這方程式指明，電場沿著閉合迴路  的線積分為零。將這線積分切割為幾段支路，就可以分別計算每一段支路的電壓。

理論限制
由於含時電流會產生含時磁場，通過閉合迴路  的磁通量是時間的函數，根據法拉第電磁感應定律，會有電動勢  出現於閉合迴路  。所以，電場沿著閉合迴路  的線積分不等於零。這是因為電流會將能量傳遞給磁場；反之亦然，磁場亦會將能量傳遞給電流。

對於含有電感器的電路，必需將基爾霍夫電壓定律加以修正。由於含時電流的作用，電路的每一個電感器都會產生對應的電動勢  。必需將這電動勢納入基爾霍夫電壓定律，才能求得正確答案。

頻域
思考單頻率交流電路的任意節點，應用基爾霍夫電流定律
 ；

其中， 是第  個進入或離開這節點的電流， 是其振幅， 是其相位， 是角頻率， 是時間。

對於任意時間，這方程式成立。所以，設定相量  ，則可以得到頻域的基爾霍夫電流定律，以方程式表達，
 。

頻域的基爾霍夫電流定律表明：

這是節點分析的基礎定律。

類似地，對於交流電路的任意閉合迴路，頻域的基爾霍夫電壓定律表明：

以方程式表達，
 ；

其中， 是閉合迴路的元件兩端的電壓相量。

這是網目分析（）的基礎定律。

參見

參考

外部連結
麻省理工學院電機工程系視聽教學：基爾霍夫定律 。
國立交通大學物理系視聽教學：電子學。
Kirchhoff's circuit laws on Khan Academy

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