餘因子矩陣

在線性代數中，餘因子是一種關於方陣之逆及其行列式的建構，餘因子矩陣的項是帶適當符號的子行列式。

 定義 
對一個  矩陣 ，在  的子行列式（余子式）  定義為刪掉  的第 i 橫-{zh-hans:行;zh-hant:列}-與第 j 縱-{zh-hant:行;zh-hans:列}-後得到的行列式。令 ，稱為  在  的餘因子（代数余子式）。矩陣  稱作  的餘因子矩陣（余子矩阵）。餘因子矩陣的轉置稱為伴隨矩陣，記為 。

 範例 
考慮三階方陣

今將計算餘因子 。子行列式  是下述矩陣（在  中去掉第 2 橫行與第 3 縱列）之行列式：

根據定義得到

 餘因子分解 

對一  矩陣：

其行列式  可以用餘因子表示：

（對第 j 縱行的餘因子分解）


（對第 i 橫列的餘因子分解）

 古典伴隨矩陣 

「古典伴隨矩陣」(classical adjoint matrix) 是餘因子矩陣的「轉置矩陣」，它與逆矩陣的計算有極大的關係。


將餘因子矩陣

轉置之後，會得到「古典伴隨矩陣」：

 克萊姆法則 
克萊姆法則可以用餘因子寫成下述簡鍊的形式：


當  時， 的逆矩陣由下式給出：


此即線性方程組理論中的克萊姆法則。

 文獻 
 Anton, Howard and Chris, Rorres, Elementary Linear Algebra, 9th edition (2005), John Wiley and Sons. ISBN 0-471-66959-8

 外部連結 
 MIT Linear Algebra Lecture on Cofactors at Google Video, from MIT OpenCourseWare
 PlanetMath

U

fr:Comatrice#Cofacteur