格林函數

在數學中，格林函數（點源函數、影響函數）是一種用來解有初始条件或邊界條件的非齐次微分方程的函數。在物理学的多体理论中，格林函数常常指各种，有时并不符合数学上函數的定义。 

格林函數的名稱是來自於英國數學家喬治·格林（George Green），早在1830年代，他是第一個提出這個概念的人。

定義以及用法
给定流形上的微分算子 ，其格林函數，为以下方程的解 

其中  為狄拉克δ函數。此技巧可用來解下列形式的微分方程：

若的 零空间非平凡，則格林函數不唯一。不過，實際上因著對稱性、邊界條件或其他的因素，可以找到唯一的格林函數。一般來說，格林函數只是一个广义函数。

格林函數在凝聚態物理學中常被使用，因為格林函數允許擴散方程式有較高的精度。在量子力學中，哈密頓算子的格林函數和狀態密度有重要的關係。由於擴散方程式和薛定谔方程有類似的數學結構，因此兩者對應的格林函數也相當接近。

動機

若可找到線性算符  的格林函數 ，則可將 (1) 式兩側同乘，再對變數  積分，可得：

由公式 (2) 可知上式的等號右側等於 ，因此：

由於算符  為線式，且只對變數  作用，不對被積分的變數  作用），所以可以將等號右邊的算符  移到積分符號以外，可得：

而以下的式子也會成立：

因此，若知道 (1) 式的格林函數，及 (2) 式中的 ，由於  為線性算符，可以用上述的方式得到 。換句話說， (2) 式的解  可以由 (3) 式的積分得到。若可以找到滿足 (1) 式的格林函數  ，就可以求出 。

並非所有的算符  都存在對應的格林函數。格林函數也可以視為算符  的左逆元素。撇開要找到特定算符的格林函數的難度不論，(3) 式的積分也很難求解，因此此方法只能算是提供了一個理論上存在的解法。

格林函數可以用來解非齊次的微-積分方程──多半是施图姆-刘维尔问题。若  是算符  的格林函數，則方程式  的解  為

可以視為  依狄拉克  函數的基底展開，再將所有投影量疊加的結果。以上的積分為弗雷德霍姆積分方程。

 非齊次邊界值問題的求解 

格林函數的主要用途是用來求解非齊次的邊界值問題。在近代的理論物理中，格林函數一般是用來作為費曼圖中的傳播子，而「格林函數」一詞也用來表示量子力學中的。

 研究框架 

令  為一個施图姆-刘维尔算子，是一個以以下形式表示的線性微分算子

而  是邊界條件算子

令  為在  區間的連續函數，並假設以下問題

有正則特牲；即其齊次問題只存在尋常解。

 定理 

則存在唯一解  滿足以下方程式



而其解的計算方式如下

而中  即為格林函數，有以下的特性：
  對  及  連續。
 對所有 , .
 對所有 , .
 微分跳躍：.
 對稱：.

 尋找格林函數 
 特徵向量展開 

若一微分算子  有一組完备的特徵向量 （也就是一組函數  及純量  使得  成立）則可以由特徵向量及特徵值產生格林函數。

先假設函數  滿足以下的完備性：

經由證明可得下式：

若在等號兩側加上微分算子 ，則可以證明以上假設的完備性。

有關以上格林函數的進一步研究，及格林函數和特徵向量所組成空間的關係，則為所要探討的內容。

 拉普拉斯算子的格林函數 

先由格林定理開始：

假設線性算符  為拉普拉斯算子 ，而  為拉普拉斯算子的格林函數。則因為格林函數的定義，可得下式：

令格林定理中的 ，可得：

根據上式，可以解拉普拉斯方程  或 泊松方程 ，其邊界條件可以為狄利克雷邊界條件或是諾伊曼邊界條件。換句話說，在以下任一個條件成立時，可以解一空間內任一位置的 ：
 已知  在邊界上的值（狄利克雷邊界條件）。
 已知  在邊界上的法向導數（諾伊曼邊界條件）。

若想解在區域內的 ，由於狄拉克  函數的特性，(4) 式等號左邊的第一項  

可化簡為  ，再將 (4) 式等號左邊第二項  用  表示，（若為泊松方程，，若為拉普拉斯方程，），可得：

上式即為調和函數（harmonic function）的特性之一：若邊界上的值或法向導數已知，則可以求出區域內每個位置的數值。

在靜電學中， 為電位， 為電荷密度，而法向導數  則為電場在法向的分量。

若目前的邊界條件為狄利克雷邊界條件，可以選擇在  或  在邊界時，其值也為 0 的格林函數。若邊界條件為諾伊曼邊界條件，可以選擇在  或  在邊界時，其法向導數為 0 的格林函數。因此 (5) 式等號右側的二個積分項有一項為 0 ，只剩下一項需計算。

在自由空間的情形下（此時可將邊界條件視為：），拉普拉斯算子的格林函數為：

若  為電荷密度，則可得到電荷密度和電位  的公式：

 範例 

針對以下微分方程

找出格林函數。

第 1 步

根據定理中，格林函數的特性 2，可得

在  時因特性 3 可知 

（此時不需考慮  的式子，因 ）在  時因特性 3 可知 

（此時不需考慮  的式子，因 ）整理上述的結果，可得以下的式子。


第 2 步

依格林函數的特性，找出  和 .

根據特性 1，可得
.
根據特性 4，可得

解上述二式，可以求出  和 
.

因此格林函數為

對照此解和格林函數的特性 5，可知此解也滿足特性 5 的要求。

其他舉例

 若流形為 ，而線性算符  為 ，則单位阶跃函数  為  在  處的格林函數。
 若流形為第一象限平面  而線性算符  為拉普拉斯算子，並假設在  處有狄利克雷邊界條件，而在  處有諾依曼邊界條件，則其格林函數為

參見
，可定義於圖以及網上。
脈衝響應
格林恆等式
基爾霍夫積分定理

 參考 

 Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field, Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9.（其中的第五章介绍如何使用格林函數解靜電場的邊界值問題）
 A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
 A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

 外部連結 



 格林函數簡介（英文）

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