優環

在交換代數中，尤其在代數幾何的應用中，優環（法文：anneau excellent、英文：excellent ring）是一類性質與完備局部環相近的交換諾特環。這類環首先由亞歷山大·格羅滕迪克定義。

代數幾何與數論中出現的諾特環通常都是優環，此外優環也與奇點消解相關；廣中平祐在1964年證明了特徵為零時的奇點消解定理。

定義
以下所論之環皆假定為么交換環。

 一個包含域  的環  被稱作在  上是幾何正則的，若且唯若對任何有限擴張 ，環  都是正則的。
 一個環同態  被稱作是正則的，若且唯若它是平坦的，且對任何  其纖維  在剩餘域  上幾何正則。
 一個環  被稱作 G-環（或格羅滕迪克環），若且唯若它是諾特環，且所有的形式纖維都是幾何正則的；第二個條件意謂：對任何 ，環同態
  是正則的。
 一個環  被稱作是擬優環，若且唯若它是個 G-環，且對任意有限生成的 -代數 ， 的奇點集是閉的。
 一個優環是一個泛鏈的擬優環。

實際應用中的諾特環幾乎都是泛鏈的，因此擬優環與優環幾無差別。

若一個局部諾特概形  上有開覆蓋 ，使得每個  都是優環的譜，則稱  為優概形。

優環的例子
 完備局部諾特環，包括域。
 特徵為零的戴德金環，包括整數環 。
  或  上的收斂冪級數環。
 優環的局部化仍為優環。
 優環上的有限生成代數仍為優環。

以下將給出一個特徵  的一維局部正則環而非優環的例子。設  是一個特徵 p 的域，，令 ，更令

則  有非幾何正則的的形式纖維，故非優環。

凡擬優環皆為永田雅宜環。

優概形與擬優概形
如果一個概形  有仿射開覆蓋 ，使得每個  都是優環的譜，則稱  為優概形。此條件一旦對某個仿射開覆蓋滿足，則被所有仿射開覆蓋滿足。

擬優概形的定義類此。

奇點解消
擬優環與奇點解消問題關係密切，這似乎也是格羅滕迪克定義擬優環的動機。格羅滕迪克在 1965 年觀察到：若能在所有完備的局部諾特整環中消解奇點，則在所有既約的擬優環中亦然。廣中平祐在1964年證明了：特徵為零時，完備局部諾特整環中皆可消解奇點。因此在特徵為零的域上，凡優環皆可消解奇點。反之，若能在諾特環  上的所有有限生成整代數上消解奇點，則  是擬優環。

文獻

A. Grothendieck,   J. Dieudonne,   Eléments de géométrie algébrique   Publ. Math. IHES , 24, section 7 (1965)
Hironaka, Heisuke  Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero. I,         II.  Ann. of Math. (2) 79 (1964), 109-203; ibid. (2)  79  1964 205-326. 
H. Matsumura, Commutative algebra ISBN 0-8053-7026-9, chapter 13.

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Category:环论