一致收斂

均勻收斂，或稱-{zh-cn:均匀收敛; zh-tw:一致收斂}-，（），是數學中關於函數序列收斂的一種定義。其概念大致可想成：若函數序列  一致收斂至函數 ，代表對所有定義域中的點 ， 收斂至  會有（大致）相同的收斂速度。由於它對收斂要求較逐點收斂更強，故能保持一些重要的分析性質，例如連續性、黎曼可積性。

 定義 
當函數序列中的函數的對應域是  或  時，此時均勻收歛的定義為：

讓  是定義在  上，對應域為  或 
的一組函數序列，若序列  均勻收歛至函數 
 在集合  上，即表示對所有 ，存在 
，使得當所有  且  時有

可將這定義推廣到一般的度量空間：

設  為一集合， 為度量空間。若對一組函數序列 ，存在函數  滿足
對所有 ，存在 ，使得當所有  且
 時有

則稱序列  一致收斂到 。

注意到，一致收敛和逐点收敛定义的区别在于，在一致收敛中 的選取仅与  相关，而在逐点收敛中  还多了与點  相关。所以一致收敛必定逐点收敛，而反之则不然。

 例子 
例子一：對任何上的連續函數，考慮多項式序列

可證明在區間上一致收斂到函數。其中的稱為伯恩斯坦多項式。

透過坐标的平移與縮放，可知在任何閉區間上都能用多項式一致地逼近連續函數，這是斯通-维尔斯特拉斯定理的一個建構性證明。

例子二：考慮區間上的函數序列，它逐點收斂到函數

然而這並非一致收斂。直觀地想像：當愈靠近，使接近所需的便愈大。可以依此想法循定義直接證明，也可以利用下節關於連續的性質證明，因為在此例中皆連續，而不連續。

 性質 
讓  為一組函數序列，對應域為  或 ，此時有下述性質：

 連續性：若函數序列  均勻收歛至函數 ，則有：
假設函數序列的定義域是闭包（closure）集合 ，且  是  的中的一點。若每個  都在  點連續，則  也在  點連續。
若对集合  的每個緊緻子集 ，每個  都在  上連續，則  在  上連續。

 與積分的交換：令  為定義在緊緻區間  的函數序列，且序列  均勻收歛至函數 。若每個  都是黎曼可積，則  也是黎曼可積，而且

 與微分的交換：可微函數序列  均勻收歛至函數 ，並不能保證  是可微的，還需要對該函數序列的微分，，做些限制，請參看以下定理：

 讓  為定義在閉區間  的可微函數序列，且存在一點  使得極限  存在（且有限）。若序列的微分  在區間  一致收斂到函數 ，則序列  均勻收歛至函數  且  亦是可微函數，且有：

 。

注释

 文獻 
 Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series; Blackie and Son, London, 1954, reprinted by Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2.
 G.H. Hardy, Sir George Stokes and the concept of uniform convergence; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 19, pp. 148–156（1918）
 Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology. Chapters 5-10（Paperback）; ISBN 0-387-19374-X

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