2的算術平方根

2的算術平方根，俗称“根号2”，记作，可能是最早被发现的无理数。相传毕达哥拉斯学派的希帕索斯首先提出了“不是有理数”的命题：若一个直角三角形的两个直角边都是1，那么它的斜边长，无法用整数或分数表示。

其最初65位為


精确到小数点后二十位的的有理近似值为。

 是无理数的证明 

人們發現了许多方法证明是无理数。以下是反證法的證明

 常見的證明 
 假設是有理數，即有整數、，使得
 將重寫成最簡分數，即和互質，且
 所以，即
 因為必為偶数，故亦是偶数
 故為偶数（奇数的平方不會是偶数）
 所以必有一整數，使得
 將（3）的式子代入（6）：
 化简得
 因为是偶数，所以是偶数，亦是偶数
 所以和都是偶数，跟是最簡分數的假設矛盾
 因為導出矛盾，所以（1）的假設錯誤，不是有理數，即是無理數
這個證明可推廣至證明任何非完全平方數的正整數，其算術平方根為無理數。

 另一個證明 
另外一個是無理數的反證法證明較少為人所知，但證明方法也相當漂亮：
假設是有理數，便可以表示成最簡分數，其中, 為正整數

由於，所以
因為

所以
故是比更簡的分數，與是最簡分數的假設矛盾

從一個直角邊為，斜邊為的等腰直角三角形，可以用尺規作圖作出直角邊為，斜邊為的等腰直角三角形。這是古希臘幾何學家的作圖證明方法。

 性质 
2的算术平方根可以表示为以下的级数或无穷乘积：

2的算术平方根的连分数展开式为：

 註釋 

 参见 
 3的算術平方根
 5的算術平方根
 平方根
 无理数

 外部链接 
是無理數的六個證明，香港大學數學系蕭文強（Mathematical Excalibur Vol.3 No.1 Page 2）
 舊題新解 — 根號2是無理數，張海潮 張鎮華（數學傳播 第 30 卷 第 4 期）

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