深度 (模論)

在交換代數中， 深度是交換環與模的一種不變量，它可以由正則序列定義，或以同調代數中的Ext函子刻劃。

正則序列
設  為交換環， 為 -模。若元素  滿足 （即： 非  的零因子），則稱之為 -正則元。

一組 M-正則序列是一個  中的有限序列 ，使得對每個  有
  為 -正則元（置 ）

定理（Rees）：若  是局部諾特環，元素皆屬於  的正則序列之置換仍是正則序列，而且這類序列中的極大者都具相同長度。

深度
假設同上，並固定一個理想 。定義-模  的I-深度為元素皆屬於  的 -正則序列的最大長度，記作 （在法文文獻中常記作 ）。環  的 -深度定義為 。

 亦可用Ext函子刻劃為使得  的最小非負整數 。

下列等式將深度問題化約到局部環的情形：


以下定理揭示了深度與射影維度的關係。

定理 （Auslander-Buchsbaum）：設  為局部諾特環， 為有限生成 -模，而且其射影維度有限，則


文獻

 David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer Graduate Texts in Mathematics, no. 150.  ISBN 0-387-94268-8
 Winfried Bruns; Jürgen Herzog, Cohen-Macaulay rings. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii+403 pp. ISBN 0-521-41068-1

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