拉開

在數學中，拉開（法文：éclatement，英文：blowing up）、單項變換或σ-過程是一種幾何的操作，代數幾何中的應用尤重。拉開是雙有理幾何的基本工具。對代數簇或複流形  上一點  的拉開是將該點換為該點法叢的射影叢，或者具體地說是換為該點切空間的射影空間，從而得到拉開態射 ，這是一個雙有理等價。對較高維子流形也能定義拉開。

當代代數幾何學將拉開視為對概形的內在操作，然而拉開也有外在的描述法，例如取一平面曲線，並對它所處的射影平面作某類變換；這是古典的進路，其想法至今仍反映於用語上。

對仿射空間中一點作拉開
以下僅考慮複數域  上的情形，一般構造準此可知。

令  為複仿射空間  的原點，仿射空間的元素以坐標表為 。令  為 -維複射影空間，其元素以齊次坐標表示為 。 令  為  中由等式  定義之閉子集，其中 。則投影態射

自然地導出態射（特別也是全純函數）

此態射 （或者更常指空間 ）稱為  的拉開。

例外除數  定義為  對態射  的逆像。可以證明

同構於射影空間。它是個非負除數，而且在  之外  是同構。因此  是  與  之同構。

對複流形的子流形作拉開
一般來說，我們可以開任何餘維為  的複子流形 。設  由方程式 定義，並設  為  上的齊次坐標。沿  的拉開  定義為方程 （對所有  ）在空間  中定義的閉子集。

進一步推廣，我們可拉開任何複流形  的任一複子流形 ，方式是局部上化約到上述情形，拉開後再予以黏合。效果依然，我們將  拉開為例外除子 。而拉開態射

依然是雙有理的，並在  外是同構。  可自然地視作  的法叢的射影化，因此  局部上是纖維化映射，其纖維為 。

由於  是平滑除子，其法叢為線叢。對於曲面的情形，可證明  的自相交數為負，這表明其法叢沒有整體上定義的截面。 是其同調類在  上的唯一代表，原因在於：假設   經擾動後變為代表同一同調類的另一個複子流形，則它和  的相交數必為正，故矛盾。這是例外除子之所以「例外」之故。

設  維某個  中不等於  的複子流形。若  不交 ，則它本質上不受沿  的拉開影響。然而若有相交，則  在  中導出兩個幾何對象：一者是真變換或稱嚴格變換，它是  在  中的閉包，其法叢一般與  的不同。另一者是全變換，包含  的全體或一部分，其同調類基本上是  的上同調類之拉回。

推廣：概形的拉開
拉開可以在一般的概形上定義。令  為一概形，並設  為其上一凝聚理想層， 沿  的拉開是概形  及真態射

使得  是可逆層，此拉開由下述泛性質刻劃：

 對任何態射 ，若它使得  是可逆層，則  唯一地透過  分解。

此拉開可具體地由

構造。當  是擬射影概形時， 將是射影態射。

重要性質
與有理映射的關係
與奇點解消的關係
曲面的拉開
在平滑的射影曲面上，任何雙有理等價皆可分解為一系列的拉開與縮回。

以下的 Grauert-Mumford 定理是曲面分類中的基本工具：

定理 . 設  為平滑射影曲面， 為  上一個既約除數，若其相交矩陣  負定，則  可表成某個代數曲面的拉開，使得  為其例外除數。

相交理論

相關的建構
向法錐變形
向法錐變形的技術可以證明代數幾何中的許多結果。給定一個概形  及其閉子概形 ，我們在  中拉開 ，則

是纖維化映射。沿著  的一般纖維自然同構於 ，而中心纖維則是兩個概形的并集：一者是  沿  的拉開；另一者則是  的法錐，其中我們將纖維緊化為射影空間。

辛流形的拉開
拉開也可以在辛流形的範疇中施行，稱作辛拉開。方式是將辛流形賦予殆複結構，然後仿照複拉開的模式。然而這僅在拓撲層次上有意義，我們必須小心地為拉開後的空間賦予一個辛形式，因為我們不能任意將辛形式沿例外除數  延拓，而必須在  的一個鄰域上修改之；或藉著將  的一個開鄰域切下，然後適當地折疊邊界以完成拉開。較好的理解方式是利用辛切割的一般理論，其中辛拉開只是個特例。辛切割及其逆操作辛和是沿一平滑除數向法錐變形的類比。

文獻

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