多重线性映射

在线性代数中，多重线性映射是有多个向量变量而对每个变量都是线性的函数。

n个变量的多线性映射也叫做n重线性映射。

如果所有变量属于同一个空间，可以考虑对称、反对称和交替的n重线性映射。后两个是一致的，如果底层的环（或域）有不同于二的特征，否则前两个是一致的。

一般讨论可见多重线性代数。

 例子 

在实数域上的内积（点积）是两个变量的对称双线性函数，
矩阵的行列式是方矩阵的列（或行）的斜对称多重线性函数。
矩阵的迹数是方矩阵的列（或行）的多重线性函数。
 双线性映射是多重线性映射。

 在n×n矩阵上多重线性映射 

可以考虑在有单位元的交换环K上的n×n矩阵上的多重线性函数为矩阵的行（或等价说列）上的函数。设A是这样的矩阵而, 1 ≤ i ≤ n是A的行。则多重线性函数D可以写为
，

满足
，

如果我们设表示单位矩阵的第j行，我们用下列方法表示

利用D的多线性我们重写D（A）为

继续这种代换于每个我们得到，对于1 ≤ i ≤ n

所以D(A)是唯一的决定自它如何运算于上。

在2×2矩阵的情况下我们得到

，

这裡的且。如果我们限制D是交替函数，则且。设我们得到在2×2矩阵上行列式函数:

，

 性质 

多重线性映射有零值，只要它的一个参数是零。

对于n>1，唯一的也是线性映射的n-线性映射是零函数。

 参见 
 代数形式
 多重线性形式
 齐次多项式
 齐次函数
 张量

D
D