换位子群

在数学尤其是抽象代数中，群的换位子群或导群，另名交换子群，意指该群所有换位子所生成的子群，记作 、 或  。任意给定群均对应一个确定的换位子群。作为群  的正规子群，换位子群  是使得  对它的商群  交换的最小正规子群。换言之，换位子群表征群  的可交换程度，根据换位子的定义 ,  与  交换，即 , 当且仅当 , 即，群内可交换的元素越多，换位子就越少，换位子群也就越小。显然，交换群的换位子群为平凡群.

 换位子 

对群元 ,  与  的换位子为 . 换位子  等价于群幺  当且仅当 , 即二者交换。一般情况下，显然有 .

该记号的顺序任定，有下述不同的定义方式，此时换位子将左乘，而非右乘二者的積：

 ,

此时有  而非 .

对  和  来说，群  中形如  的元即称其换位子。幺  恒为换位子。群  交换当且仅当其换位子群平凡，即 .

下例对群  元  成立：

 ;
 ，其中  意指  关于  的共轭；
 由群同态保持：

前两者蕴含  的换位子集对交换与共轭封闭。对第三条取 , 即知换位子集稳定于  的任意自同态，这正是第二条的一般情况，只需取  作  的共轭自同构：



即得第二条。

换位子的积未必是换位子。典例是由  生成的自由群内的 . 已知存在两换位子其积非换位子的最小有限群，阶数为 96，在同构意义上有两种如此的 96 阶群。

定义

给定群 ，其换位子群 （或称导群，记  或 ） 是  的所有换位子所生成的子群：

由定义知，任意  的元有形式

此外由

知换位子群亦对  正规。对任意同态 ，

故而 

这表明换位子群可视作群范畴  的函子，其部分含义将于下文探讨。此外倘取 , 知换位子群于  的任意自同态下稳定：换言之， 为  的，这一性质远强于正规性。

换位子群亦定义作  的子集

即那些存在某种重排使得结果为幺的群元乘积构成的集合。

 导集序列 
导集能够迭代构造：

群  依次称  阶导群。下降正规序列

即称导出序列。

对有限群而言，导出序列终止于完满群，其平凡与否皆有可能。而对于无限群，其导出序列不必终止于有限步，而可能以超限递归至持续无穷序数步，继而得到超限导出序列，其最终终止于群的完美核。

 Abel 化 
给定群 , 商群  交换当且仅当 .

商群  交换，称  的 Abel 化，常记作  或 .

有范畴方向的实用诠释，映射 . 换言之，  泛于任意从  到 Abel 群  的同态，或称任意从  到 Abel 群  的同态均可经由  唯一分解：对任意 Abel 群  与群同态 , 存在唯一同态  使得 . 正如由泛映射定义的对象通常所具的特点般，这表征 Abel 化子群  在典范同构意义下的唯一性，而显示构造的  表征其存在性。

Abel 化函子是从 Abel 群范畴  到群范畴  的包含函子的左伴随。Abel 化函子  的存在性令范畴  拥有群范畴的，定义为其包含函子拥有左伴随的全子范畴。

 另有一重要释义 , 群  的整系数一阶同调群。

 相关的群 
群  交换当且仅当其导群平凡：, 或等价地说，当且仅当其等于自身的 Abel 化。关于 Abel 化，定义见前述。

群  完满当且仅当其导群等于自身：，或等价地说，当且仅当其 Abel 化平凡。这“相反”于阿贝尔群。

满足  的群称可解群，这一条件宽于交换，亦即取  的情形。

满足  的群称非可解群。

对序数  满足  的群称亚阿贝尔群，这一条件宽于可解，亦即取  的情形。

 完满群 

若群  的导群等于自身，即 , 称该群完满群，包含非交换单群及不动域  上的特殊线性群 .

例子

任意 Abel 群的换位子群均平凡。
域或除环  上的一般线性群  的换位子群等于特殊线性群 , 若 , 或  不是拥有两个元素的域。
4 次交错群  的换位子群即 Klein 四元群 。
 次对称群  的换位子群即  次交错群 。
四元群  的换位子群为 。

 从  出发的映射 
由于导群是，任意  上的自同构均诱导其 Abel 化子群上的自同构。由于 Abel 化子群本身是 Abel 群，内自同构平凡，从而得到映射
.

参见

群
换位子
正规子群
可解群
Galois 理论

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