自由群

在數學中，一個群  被稱作自由群，如果存在  的子集  使得  的任何元素都能唯一地表成由  中元素及其逆元組成之乘積（在此不論平庸的表法，例如  之類）；此時也稱  為集合  上的自由群，其群結構決定於集合 ，記為 ， 稱作一組基底。按照範疇論的觀點，自由群也可以抽象地理解為群範疇中的自由對象。

一個相關但略有不同的概念是自由阿貝爾群。

歷史
在1882年，Walther Dyck 在發表於 Mathematische Annalen 的論文 Gruppentheoretische Studien 中研究了自由群的概念，但未加以命名。「自由群」一詞由 Jakob Nielsen 於1924年引入。

例子
 整數的加法群  是自由群；事實上我們可取 。
 在巴拿赫-塔斯基悖論的論證中用到兩個生成元的自由群，以下將予說明。
 在代數拓撲學中， 個圓環的集束（即： 個只交於一點的圓環，見右圖）的基本群是  個生成元的自由群。

建構方式
今將構造集合  上之自由群 ，分解動作如下。
 對任何 ，引入符號 ，稱作  的逆元。
 考慮所有由符號  構成的有限字串。
 如果一個字串能透過將  或  替換為空字串而變為另一個字串，則稱這兩個字串等價；此關係在所有上述字串構成的集合上生成一等價關係，其商集（等價類構成的集合）記作 。
 我們可以藉著對字串長度作數學歸納法，證明此等價關係相容於字串的接合，即：。故字串接合在  導出二元運算，並滿足交換律。
 取  及字串接合運算構成一個群，字串  之逆為 。此即所求。

若  為空集，則  為平凡群。

泛性質
上述構造  帶有一個自然的集合映射 。這對資料  滿足以下泛性質：

 若  為群， 為集合間的映射，則存在唯一的群同態  使得  。

事實上我們僅須，也必須設  ；前述構造確保此式給出一個明確定義的群同態。

任兩個滿足上述泛性質的資料 、 至多差一個同構，因而刻劃了自由群的群論性質。這種泛性質是泛代數中考慮的自由對象的特例，用範疇論的語言來說，函子  是遺忘函子的左伴隨函子。

性質與定理
 任何群  皆可表為某個自由群的同態像；在上述泛性質中取  為  的一組生成集，ψ 為包含映射即可。此時  的核  稱作關係， 稱作  的一個展示；若  有限，則稱之為有限展示。一個群可以有多種展示，而且不存在判斷兩個展示給出的群是否同構的演算法。
 如果  有超過一個元素，則  非交換；事實上  的中心只有單位元素。
 任兩個自由群  同構的充要條件是  基數相同，此基數稱作自由群的階。

以下是一些相關定理：

 Jakob Nielsen 與 Otto Schreirer 的定理：自由群的子群也是自由群。若  為  階，，則  為  階（在此設  有限）。
 設  為超過一階的自由群；則對任意可數基數 ， 中都存在  階的自由子群。

自由群雖然看似是離散的對象，卻可藉微分幾何或拓撲學工具研究，上述 Nielsen-Schreirer 定理就是一例（可運用同倫上纖維的構造證明）；這套技術屬於幾何群論的一支。

自由阿貝爾群

將上述泛性質中的「群」替換成「阿貝爾群」，遂得到自由阿貝爾群的泛性質。集合  上的自由阿貝爾群可視為自由 -模來構造，或取作  的「交換化」： （換言之，在考慮字串時不計符號順序）。

塔斯基的問題
塔斯基在1945年左右提出下述問題：
 兩個以上生成元的自由群是否有相同的一階理論？此理論是否可判定？

目前已有兩個團隊獨立給出肯定的答案，但雙方的證明都尚未被認可。請參見網址  的「O8」。

文獻


W. Magnus, A. Karrass and D. Solitar, "Combinatorial Group Theory", Dover (1976).


J.-P. Serre, Trees, Springer (2003) (English translation of "arbres, amalgames, SL2", 3rd edition, astérisque 46 (1983))

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Category:組合群論
Category:自由代数结构