分式環

在抽象代數中，分式環或分式域是包含一個整環的最小域，典型的例子是有理數域之於整數環。此外分式環也可以推廣到一般的交換環，此時通常稱作全分式環。

分式環有時也被稱為商域，但此用語易與商環混淆。

 構造 
分式環是局部化的一個簡單特例。以下設  為一個整環，而 。

在集合  上定義下述等價關係 ：


等價類  可以想成「分式」 ，上述等價關係無非是推廣有理數的通分；藉此類比，在商集  上定義加法與乘法為：



可驗證上述運算是明確定義的。此外還有環同態 ，定義為 ；這是一個單射。於是可定義分式環 ，再配上上述的加法與乘法運算。在實踐上，我們常逕將  裡的元素寫作分式 。

 泛性質 
整環  的分式環  及其自然環同態  滿足以下的泛性質：

 對任何環  及環同態 ，若  中的元素在  下的像皆可逆，則存在唯一的環同態 ，使得  是  與  的合成。

此性質不外是形式地表達了「K(R) 是包含 R 的最小的域」這個陳述。據此泛性質可形式地證明：任何一組資料  若使得  中的元素在  下的像皆可逆，且滿足上述泛性質，則  必與  同構。

 例子 
 有理數域  是整數環  的分式環。
 有理函數域是多項式環的分式環
 代數數域是代數整數環的分式環。
 在一個連通複流形上，亞純函數域是全純函數環的分式環。

 推廣 

對於一般的交換環 （容許有零因子），分式環是一種退而求其次的建構：我們想找使  為單射的「最大」局部化，詳述如下：

設  為  中的非零因子所成子集，它是個積性子集，因此可對之作局部化。令 ，此時  常被稱作  的全分式環。

F
F
F