唯一分解整環

在數學中，唯一分解整环（，縮寫：UFD）是一個整環，其中元素都可以表示成有限個不可約元素（或素元）之積，並且表示法在允許重排與相伴（associative）之下唯一，相當於滿足算術基本定理的整環。

 定義 
一個整環被稱為唯一分解整环若且唯若中的每個非零元素皆可表示為一個可逆元素和若干個不可約元素（可以是0個）的乘積：

其中是一個可逆元素，是不可約元素，是非負整數。並且如果存在的另一種表示法此表法（是可逆元素，是不可約元素），則，且存在一個下標的重排與可逆元素使得 （），換句話說，存在使得和相伴。

 例子 
 主理想整环，特別是歐幾里得整环。由此可知整數、高斯整數與艾森斯坦整數環都是唯一分解整环。
 體也是唯一分解整环。
 若為唯一分解整环，則多項式環亦然。(高斯引理)
由此可知任意有限個變元的多項式環也是唯一分解整环，但是一般來說並不是主理想整环，除非是一個體。
 複流形（例如）上一點的局部環是唯一分解整环。
 正則局部環皆為唯一分解整环。

以下給出幾個反例：
 環並非唯一分解環，因為

 令為任一交換環，則非唯一分解整环；當為域時，這在幾何上對應到一個奇點。

 性質 
整數的一些概念可以推廣至唯一分解整环：

 在任意整環中，素元必為不可約元；在唯一分解整环中，不可約元必為素元。
 任意有限個元素有最大公因數與最小公倍數，它們在至多差一個可逆元的意義下唯一。

 等價條件 
 一個諾特整環是唯一分解整环若且唯若每個高度為一的素理想都是主理想（即：由單個元素生成）。
 一個整環是唯一分解整环若且唯若升鏈條件對主理想成立，而且任兩個元素有最小公倍數。
 一個整環是唯一分解整环若且唯若其類群為平凡群。

 文獻 
 I. N. Herstein, Topics in Algebra (1975), Wiley. ISBN 0-471-01090-1
 H. Matsumura, Commutative algebra (1980), Benjamin-Cummings Pub Co. ISBN 0-8053-7026-9

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