零空间

在数学中，一个算子 A 的零空间是方程 Av = 0 的所有解 v 的集合。它也叫做 A 的核（核空间）。用集合建造符号表示为

尽管术语核更加常用，术语零空间有时用在避免混淆于积分变换的情境中。应当避免把零空间混淆于零向量空间，它是只有零向量的空间。

如果算子是在向量空间上的线性算子，零空间就是线性子空间。因此零空间是向量空间。

 例子 

1.  考虑函数 ：

 ，
它是一个线性映射，因为 。它的零空间由所有第一个和第二个坐标一致的向量组成，就是说描述了一条直线   。
2.  在一个线性空间中固定一个向量  并定义线性映射  为向量  和  的点积。它的零空间由所有正交于  的向量，即  的正交补组成。

 性质 

如果 A 是矩阵，它的零空间就是所有向量的空间的线性子空间。这个线性子空间的维度叫做 A 的零化度(nullity)。这可以计算为在矩阵 A 的-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵中不包含支点的纵-{zh-hans:列; zh-hant:行;}-数。秩-零化度定理声称任何矩阵的秩加上它的零化度等于这个矩阵的纵-{zh-hans:列; zh-hant:行;}-数。

对应于零奇异值的 A 的右奇异向量形成了 A 的零空间的基。

A 的零空间可以用来找到和表达方程 Ax = b 的所有解(完全解)。如果 x1 是这个方程的一个解，叫做特定解，那么方程的完全解等于它的特定解加上来自零空间的任何向量。特定解依 b 而变化，而零空间的向量不是。

要证明这一点，我们考虑每个方向。在一个方向上，如果 Ay = b，且 Av = 0，则明显的 A(y+v) = Ay+Av = b+0 = b。所以 y+v 也是 Ax=b 的解。在其他方向上，如果我们有对 Ax=b 的另一个解 z，则 A(z−y) = Az−Ay = b−b = 0。所以向量 u = z−y 在 A 的零空间中而 z = y+u。所以任何解都可以表示为一个零空间中的向量加上特定解 y 。

如果一个线性映射 A 是单同态，则它的零空间是零。因为如果反过来它的零空间是非零，由类似上面的方法可以得出Ay = b的解不止一个，也就是说线性映射 A 不是单射了。

如果映射是零映射，则零空间同于映射的定义域。

 找到一个矩阵的零空间 

考虑矩阵 

要找到它的零空间，须找到所有向量  使得 。首先把  变换成簡化-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵：



有  当且仅当 。使用符号 ，后者方程变为



所以， 的零空间是一维空间，

外部链接
MIT Video Lecture on Column Space and Nullspace at MIT OpenCourseWare
http://www.bilibili.com/video/av6240005/ 

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