拐点

拐點（）或稱-{zh-cn:反曲点; zh-tw:拐點;}-，是一條连续曲線由凸轉凹，或由凹轉凸的點，或者等價地說，是使切線穿越曲線的點。

決定曲線的拐點有助於理解曲線的外形，這在描繪曲線圖形時特別有用。

 定義 

若曲線圖形在一點由凸轉凹，或由凹轉凸，則稱此點為拐點。直觀地說，拐點是使切線穿越曲線的點。

若該曲線圖形的函數在某点的二阶導數為零或不存在，且二阶导数在该点两侧符号相反，该点即为函数的拐点。這是尋找拐點時最實用的方法之一。

拐点的必要条件 
拐点的必要条件：设在内二阶可导，，若是曲线的一个拐点，则。
比如，，有，但是0两侧全是凸，所以0不是函数的拐点。

拐点的充分条件：设在内二阶可导，，若在两侧附近异号，则点为曲线的拐点。否则（即保持同号），不是拐点。

 分類 
拐點可以根據為零或不為零，進行分類：
 如果為零，此點為拐點的驻点，簡稱為鞍點。
 如果不為零，此點為拐點的非驻点。

例如：的點是一個鞍點，切線為軸，切線正好將圖像分為兩半。

 參數曲線的拐點 
平面參數曲線的拐點是使其曲率變號的點，此時曲率中心（居於曲線凹側）從曲線的一側換至另一側。

 雙正則點與拐點 
雙正則點是使得參數曲線的一階與二階微分（它們是向量）線性獨立的點。在雙正則點上，曲線既無拐點亦非直線。在非雙正則點上曲率為零，但是不一定有變號。在尋找參數曲線的拐點時，我們通常先以微分找出非雙正則點，繼之研究其局部性狀，以判定是否為拐點。

註：某些作者偏好將拐點定義為「使一階與二階微分平行的點」，在此定義下，切線不一定在該點穿越曲線本身。

 代數曲線的拐點 
設為域上的平面代數曲線，其拐點定義為一平滑點，使得該點切線與在點的相交重數。

注意到一條曲線與在點相切的充要條件是相交重數。當時，代數曲線的拐點定義等價於上節註記中的廣義定義。

 参见 
 驻点
 鞍点
 极值

 文獻 
 Robin Hartshorne (1997). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9.

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