實閉域

在數學中，實閉域或實封閉域是一類有序域，使得其中每個正元素皆可表為平方，且任何奇數次多項式都有根。以下將給出幾種等價的定義。

定義
形式實域
假設所論之域的特徵數皆為零。若在一個域中，無法寫成平方和（表法：），則稱是形式實的。

每個有序域都是形式實域；形式實的定義本身不涉及序結構，但藉由實閉包的存在性可證明每個形式實域皆帶序結構。

實封閉域
一個實封閉域若滿足下列等價條件，則稱之實封閉域：

 上存在一個序結構，使得其中每個正元素皆可表為平方，且任何奇數次多項式都有根。
 上存在一個序結構，使之滿足中間值定理。
 對任意，或者或者；且任何奇數次多項式都有根。
 非代數封閉，而代數封閉。
 若，是形式實的，則。

我們可以純以代數性質定義實封閉域，並由得到唯一的序結構。

實閉包
對任何形式實域，都存在代數擴張，使得是實封閉的。我們稱是的一個實閉包。實閉包並不唯一。

若在上固定一個序結構，並要求的序結構與之相容；則此時實閉包存在並唯一，且。

例子
 實數域
 ；它是的實閉包。
 可計算數
 Puiseux級數

模型論觀點
實封閉域的研究首先由數學家展開，隨後引起了邏輯學家的興趣。採用形式語言，設為實封閉域（帶序結構）的-一階理論，塔斯基證明了上有量詞消去；因此任兩個的模型都是初等等價的。一方面，我們可運用上的特有工具（微積分、拓撲等等）證明一般實封閉域上的一階句子；另一方面，則可透過適當的域擴張解決上的問題，後一方向上最著名的成就是 Abraham Robinson 對希爾伯特第十七問題的證明。

如果改採形式語言，並取實封閉域的代數定義，此時則無法消去量詞（在中考慮公式）。

設是實封閉域，換言之，根據上的量詞消去，上的可定義集只是有限多個線段與孤立點的聯集。此性質稱作O-極小性，它較量詞消去為弱，卻是研究上可定義集的幾何構造之關鍵。

量詞消去也蘊含的可判定性，然而塔斯基給出的演算法其複雜度過高，並不實用。

若承認廣義連續統假設，則可進一步以超積描述實封閉域的性狀。

文獻
 Chang, Chen Chung and Keisler, H. Jerome: Model Theory, North-Holland, 1989.
 H. Garth Dales and W. Hugh Woodin: Super-Real Fields, Clarendon Press, 1996.
 Computational Real Algebraic Geometry, Bhubaneswar Mishra, Handbook of Discrete and Computational Geometry, CRC Press, 1997 (Postscript 版本 ); 亦見 2004 edition, p. 743, ISBN 1-58488-301-4
 Saugata Basu, Richard Pollack and Marie-Françoise Roy, Algorithms in real algebraic geometry, Springer, Algorithms and computation in mathematics, 2003, ISBN 3540330984 (在線版本)
 Bob F. Caviness, Jeremy R. Johnson, editors, Quantifier elimination and cylindrical algebraic decomposition, Springer, 1998, ISBN 3211827943

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