牛頓-寇次公式

在數值分析上，梯形法則和辛卜生法則均是數值積分的方法。它們都是計算定積分的。

這兩種方法都屬於牛頓-寇次公式。它們以函數於等距點的值，取得一個次的多項式來近似原來的函數，再行求積。
 梯形法則 

這等同將被積函數近似為直線函數，被積的部分近似為梯形。

要求得較準確的數值，可以將要求積的區間分成多個小區間，再個別估計，即：

可改寫成

其中

 對，。

 辛普森法则 

辛普森法则（Simpson's rule，又稱森遜法則）是：

同樣地，辛普森法则也有多重的版本：

或寫成

 牛頓-寇次公式 
牛頓-寇次公式（Newton-Cotes rule / Newton-Cotes formula）以Roger Cotes和艾薩克·牛頓命名。其內容是：

其中對，是常數（由的值決定），。

梯形法則和辛卜生法則便是的情況。

亦有不採用在邊界點來估計的版本，即取  。

 原理 
假設已知的值。
以點進行插值，求得對應的拉格朗日多項式。
對該次的多項式求積。
該積分便可以作為的近似，而由於該拉格朗日多項式的係數都是常數（由決定其值），所以積函數的係數（即）都是常數。

 缺點 
對於次數較高的多項式而有很大誤差（龍格現象），不如高斯積分法。

 例子 
下表中 ，。
注意： 為步長（step size），即 。

+ 封閉型牛頓-寇次公式 (Closed Newton–Cotes Formulas)   步長   名稱  公式  誤差 1    梯形法則     2    辛卜生法則     3    辛卜生3/8法則     4    布爾法則(Boole's rule)因早期參考文獻 Abramowitz and Stegun (1964) 中的筆誤，布爾法則（Boole's rule）有時會被誤稱為波德法則（Bode's rule）。參見：     5    —     6    —    

 開放型牛頓-寇次公式 
下表列出了一些開放型牛頓-寇次公式（Open Newton–Cotes Formulas）。注意這裡的步長 。

+ 開放型牛頓-寇次公式   步長   名稱  公式  誤差 0    中點法     1    —     2    —     3    —    

 參考 
 M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Section 25.4.)
 George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. (See Section 5.1.)
 William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 4.1.)
 Josef Stoer and Roland Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis. New York: Springer-Verlag, 1980. (See Section 3.1.)
 外部連結 
 黃 Sir 的計算機網頁: Numerical Integration : Trapezoidal Rule and Simpson's Rule 

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