介值定理

在数学分析中，介值定理（，又稱-{zh-cn:中间值定理;zh-hk:中間值定理;zh-tw:介值定理;}-）描述了連續函數在兩點之間的連續性：
假設  為一連續函數。若一實數  滿足 ，則存在一實數  使得 。

介值定理首先由伯纳德·波尔查诺在1817年提出和证明，在這個證明中，他附帶證明了波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理。

 定理 
 定理敘述 

 证明 
先证明第一种情况 ；第二种情况也类似。

设  为所有滿足  的  所構成的集合。由  可知  非空。由於  具有上界 ，故由实数的完备性知  有最小上界 。我们以反证法证明 。

 首先假设 。由於  连续，我們能找到正实数  使得  對所有  均成立。由於 ，故存在滿足  的 ；此時 ，故 ，即 ，與  矛盾。故原假設  不成立。
 接著假设 。由於  连续，我們能找到正实数  使得  對所有  均成立。設 ；此時 ，即 ，故 。這會導致  不是  的上界，矛盾。故原假設  不成立。

因此。

與實數完備性的關係
此定理仰賴於實數完備性，它對有理數不成立。例如函數滿足，但不存在滿足的有理數。

 零点定理（波尔查诺定理）
零点定理，也称零值定理，是介值定理的一种特殊情况－如果曲線上兩點的值正負號相反，其間必定存在一個根：
设函数在闭区间上连续，且，则必存在使成立。由於零点定理可用來找一方程式的根，也稱為勘根定理。伯纳德·波尔查诺於1817年證明了這個定理，同時證明了這個定理的一般情況（即介值定理）。以現代的標準來說，他的證明並不算是非常嚴格。

 现实世界中的意义 
介值定理意味着在地球的任何大圆上，温度、压强、海拔、二氧化碳的浓度（或其他任何连续变化的变量），总存在两个对蹠点，在这两个点上该变量的值是相同的。

证明：取f为圆上的任何连续函数。通过圆的中心作一条直线，与圆相交于点A和点B。设d为f(A) − f(B)的差。如果把这条直线旋转180度，将得到值−d。根据介值定理，一定存在某个旋转角，使得d = 0，在这个角度上便有f(A) = f(B)。

这是一个更加一般的结果——博苏克-乌拉姆定理的特殊情况。

 参见 
 中值定理
 极值定理
 達布定理

 参考资料 

 外部链接 
 上的介值定理-波尔查诺定理


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