极限 (范畴论)

在數學裡的範疇論中，極限（）的概念融貫了多種構造，包括和、積等等；範疇論中許多泛性質也可從極限來理解。

極限分為極限與餘極限（又稱上極限），彼此的定義相對偶。在不同場合的別名及英譯如下表：

 餘極限/上極限（colimit）  正（向）極限（direct limit）  歸納極限（inductive limit） 極限（limit）  逆（向）極限（inverse limit）  投射極限/射影極限（projective limit）

本條目用語取歸納極限與射影極限。

定義
一範疇 C 中的極限及上極限可用 C 中的圖示來定義。形式上，C 中類型 J 的圖示是指一個由 J 映射至 C 的函子：
F : J → C.
範疇 J 稱之為「索引範疇」，圖示 F 可想做是以 J 索引 C 內的物件及態射。J 實際的物件及態射為何並不重要，關鍵在於之間的互動。

通常，最感興趣的情況是當類型J為小範疇或有限範疇之時，此類圖示分別被稱為「小圖示」及「有限圖示」。

 極限 
設 F : J → C 為一個在範疇 C 中類型 J 的圖示。一個對應於 F 的「錐體」是指 C 中的一物件 N ，具有可以 J 內之物件 X 索引的態射族 ψX : N → F(X)，使得對每個 J 內的態射 f : X → Y，均有 F(f) o ψX = ψY。

圖示 F : J → C 的極限是一個對應於 F 的錐體 (L, φ)，使得對所有其他對應於 F 之錐體 (N, ψ)，總存在一個「唯一的」態射 u : N → L，使得對所有 J 中的 X，φX o u = ψX。
可以說，錐體 (N, ψ) 能被唯一的因子 u 分解成錐體 (L, φ)。此一態射 u 有時稱為「中介態射」。

極限亦稱之為「泛錐體」，因為其所具有之泛性質（詳見下文）。如同每個泛性質一般，上述定義敘述了一個有關一般性的對稱狀態：極限物件 L 夠一般，能讓所有其他錐體分解；另一方面，L 也必須夠特殊，每個錐體都只可能有「一個」因子。

極限也可視為是在對應於 F 的錐體範疇內的終對象。

圖示可能不存在極限；但若一個圖示存在極限，則此一極限一定是唯一的：在同構下是唯一的。

 上極限 
極限及錐體的對偶概念是上極限及上錐體。雖然可直接將上述定義的所有態射反轉，以得到上極限及上錐體之定義，但下文仍將明確敘明之：

圖示 F : J → C 的「上錐體是指 C 中的一物件 N，具有可以每個 J 中的物件 X 索引的態射族
ψX : F(X) → N
使得對每個 J 內的態射 f : X → Y，均有 ψY o F(f)= ψX。

圖示 F : J → C 的上極限是 F 的上錐體 (L, )，使得對所有其他對應於 F 的上錐體 (N, ψ)，總存在一個「唯一的」態射 u : L → N，使得對所有 J 中的 X，u o X = ψX。


上極限也稱為「泛上錐體」，也可視為是在對應於 F 的上錐體範疇內的始對象。

如同極限一般，若圖示 F 存在上極限，則此上極限在同構下是唯一的。

歸納系統與射影系統
以下固定一個範疇，並探討其中的極限。為避免集合的悖論，我們將固定一個宇宙，並假定是-範疇，即：對任意兩個對象，態射集同構於裡的某個集合。表所有裡的集合構成的範疇。

設為對的一個小範疇，所謂歸納系統（或稱I-圖）係指一個函子，射影系統則指一函子。

形象地說，歸納系統不外是給定中一族對象，對每個態射都有中對應的態射，且此對應在態射的合成下不變。射影系統對應的態射則反向：。

固定一對象，對任意歸納系統α或射影系統β，可定義從到的函子

我們將遵循可表函子的哲學，從集合的射影極限出發。暫設，上的歸納系統不外是上的預層。給定一個歸納系統β，定義：

（注意：若是空範疇，對應的射影極限是單元素集合。）

可手工驗證下述自然同構：

若干例子
始對象與終對象
令為空範疇，此時的歸納極限與射影極限（若存在）便分別滿足泛性質

這不外就是裡的始對象與終對象。

纖維積與纖維餘積
令為離散範疇（即：其間只有恆等態射），此時歸納及射影系統不外只是一族的對象，對應的歸納極限及射影極限稱作餘積（又稱上積）與積。

令為範疇；設對應於。若其歸納極限存在，稱之對的纖維餘積，寫作。

對偶地看，對於，對應於，若其射影極限存在，稱之對的纖維積，寫作。

纖維積與纖維餘積可視為「相對」版本的積與餘積。若存在終對象（或始對象），則積（或餘積）可視為對該對象的纖維積（或纖維餘積）。

核與上核
核（kernel）與餘核（cokernel，又譯上核），有時也稱等化子（equalizer）與餘等化子（coequalizer）。考慮對應到  的歸納或射影系統，此時的歸納極限稱作上核，射影極限稱作核。它們的泛性質圖解如下：
File:DiagramKernelCokernel.png

在加法範疇中僅須考慮的狀況，上述概念遂歸結為同調代數所探討的核與餘核。

性質
極限之交換
設為小範疇，為歸納系統，則有自然同構

將箭頭反向，對射影系統亦有自然同構

歸納極限與射影極限通常不交換，一個格外有用的結果是：若是濾通範疇，則與任意交換。

完備性
若一個範疇內存在任意的（小）射影極限，則稱之完備範疇；完備的充要條件是存在任意的積與核。

將箭頭反向，遂得到上完備範疇的定義及其充要條件。

正合函子

考慮一個函子。
 若裡存在任意的有限射影極限，且與有限射影極限交換，則稱為左正合。
 若裡存在任意的有限歸納極限，且與有限歸納極限交換，則稱為右正合。
 若上述條件同時被滿足，則稱為正合。

在阿貝爾範疇中，上述定義回歸到同調代數中的定義。

根據極限的泛性質，函子無論對哪個變數都是左正合的。

設是一對伴隨函子。若存在任意有限歸納極限，則右正合；若存在任意有限射影極限，左正合。此法可建立許多函子的正合性。

具體實例
集合論
 定義中已構造集合的（小）射影極限。對於任意一個小範疇及歸納系統，其歸納極限亦存在，定義為下述商集：

 兩個集合的纖維積與上積為

 設，則
，這是「等化」一詞的來由。

 是完備且上完備的。

拓撲空間
拓撲空間範疇也是完備且上完備的。各種極限構造與集合相同，惟須安上適合的商拓撲或子空間的誘導拓撲。

特別是可以構造一族無窮多個拓撲空間的極限及逆極限，此時相應的拓撲稱作始拓撲或終拓撲。此類構造在泛函分析及同倫理論中特別有用。

一個拓撲空間滿足豪斯多夫性質的充要條件是的核是閉浸入，將此性質推廣到概形上，則得到分離概形。

概形
概形範疇（或相對版本）有終對象（或），並存在有限的纖維積。

抽象代數
阿貝爾群範疇或一個環上的模範疇都是完備且上完備的。函子的正合性對應到交換代數裡的正合性概念。

射影極限的一個典型例子是p進整數：。

文獻
 Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490

外部連結
 Categories, sites, sheaves and stacks /Pierre Schapira

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