愛因斯坦-嘉當理論

愛因斯坦-嘉當理論（）是理論物理學中將廣義相對論延伸以正確處理自旋角動量。此理論以物理學家阿爾伯特·愛因斯坦以及埃利·嘉當（)為名。

作為古典物理中的主要理論，廣義相對論卻有一個缺點：其無法描述「自旋軌道耦合」（），亦即內稟角動量（）（自旋）與軌道角動量（）間的交換。存在有定量的理論證明，其顯示：當物體具有自旋性質時，廣義相對論必須要擴充成愛因斯坦-嘉當理論。

實驗上的效應由於太小，目前尚無法觀測得到。

 歷史 
該理論最早由埃利·嘉當(Élie Cartan)於 1922 年提出，並在隨後的幾年中得到了闡述。阿爾伯特愛因斯坦於 1928 年開始加入該理論，當時他試圖將撓率與電磁場張量匹配作為統一場論的一部分，但沒有成功。這一思路引導他得出了相關但不同的遠程並行理論。

Dennis Sciama和Tom Kibble在20世紀60年代獨立地重新審視了該理論，並於1976年發表了一篇重要評論。

愛因斯坦-嘉當理論在歷史上一直被無扭轉理論和布蘭斯-迪克理論等其他替代理論所掩蓋，因為扭轉似乎以犧牲方程式的易處理性為代價，幾乎沒有增加預測的好處。由於愛因斯坦-嘉當理論是純粹經典的，它也沒有完全解決量子重力問題。在愛因斯坦-嘉當理論中，狄拉克方程式變得非線性。最近，人們對愛因斯坦-嘉當理論的興趣已經轉向宇宙學意義，最重要的是，避免了宇宙開始時的引力奇點。該理論被認為是可行的，並且仍然是物理學界的活躍話題。

該理論間接影響了圈量子重力（並且似乎也影響了扭量理論）。

 動機 

廣義相對論無法描述自旋軌道耦合的理由根源於黎曼幾何，而廣義相對論是建構於其上。在黎曼幾何中，里奇曲率張量（Ricci curvature tensor）必須是a與b對稱的（亦即，）。因此愛因斯坦曲率張量(Einstein curvature tensor)定義為

也必須是對稱的。在廣義相對論中，愛因斯坦曲率張量為局域重力建構了模型，且其（透過重力常數的聯繫）等同於應力-能量張量或能量-動量張量（此處我們將能量-動量張量表示為P，是因為廣義相對論中常用來表示能量-動量張量的T在愛因斯坦-嘉當理論留給仿射扭率(affine torsion)。）愛因斯坦曲率張量的對稱性強迫動量張量必須是對稱的。然而，當自旋與軌道角動量進行交換時，根據角動量守恆的廣義式，則知動量張量為不對稱的。

(spin current)之散度——

細節請參考(spin tensor)條目。

因此廣義相對論無法適當地為自旋軌道耦合建構模型。

於1922年，埃利·嘉當提出猜想認為廣義相對論應該被延伸成包括仿射扭率(affine torsion)，其允許里奇張量可以是不對稱的。雖然自旋-軌道耦合是重力物理學中相對次要的現象，愛因斯坦–嘉當理論則相當重要，因為
 (1) 其顯示出仿射理論，而非度規理論，對於重力能提供更好的描述；
 (2) 其解釋仿射扭率的意義，在一些量子重力理論中自然出現；
 (3) 其將自旋詮釋為仿射扭率，在幾何意義上是時空介質(spacetime medium)之位錯場(field of dislocations)的一項連續近似。
將黎曼幾何擴充以包含了仿射扭率則稱為黎曼-嘉當幾何(Riemann–Cartan geometry)。

 幾何與表示式 
時空物理學的數學基礎是仿射微分幾何(affine differential geometry)，其中我們賦予n維微分流形M 一項沿著M上路徑對向量作平行移動的定律。（一微分流形的每個點，我們都有切向量所組成的一個線性空間，不過我們無法將向量移動到其他點，或是去比較M上位於不同兩點上的向量。）平行移動保存了向量間的線性關係；也就是說，若兩向量  與  在M上同一點，沿著一曲線被平行移動成為向量  與 ，則兩者的線性組合
 + 
也平行移動為
 + 。

仿射微分幾何中的平行性(Parallelism)是路徑相依(path-dependent)的；也就是說，如果沿著同起點與同終點之兩相異路徑平行移動一向量，在終點所得的結果向量一般來說是相異的。這樣的差異本質上即為曲率的影響，而曲率在微分幾何中是個中心概念。

 愛因斯坦-嘉當引力理论简介 
 用标架场重写愛因斯坦引力理论 
用标架场 代替度规场 ，我们可以得到用标架场 （仅考虑内禀坐标系变换是整体Lorentz变换）表示的两种等价形式的推广的爱因斯坦引力场运动方程为：
（1）引力场运动方程第一形式：
（2）引力场运动方程第二形式：
其中：





当 时，由引力场运动方程的第二形式得到爱因斯坦引力场运动方程： 

 愛因斯坦引力理论与狄拉克电子理论之间的矛盾 
考虑电子与引力的作用时，我们需要引入标架仿射联络 。在黎曼时空中，存在关系式： ，标架场与标架仿射联络不独立。
因此，黎曼时空中的电子场、电磁场及引力场的运动才方程为：

(1)电子场运动方程：


(2)电磁场运动方程：


(3)引力场运动方程：


根据电子场运动方程得到能量-动量流运动方程为：


根据引力场运动方程得到能量-动量流运动方程为：

上述结果表明，从电子场运动方程得到的能量-动量流运动方程与从引力场运动方程得到的能量-动量流运动方程是不相容的。

 有挠时空引力理论（愛因斯坦-嘉當理论） 
在有挠时空中，标架场 与标架仿射联络 是独立的，标架场 描述时空的弯曲，标架仿射联络  描述时空的扭曲，并且有：

有挠时空中的引力场推广为引力-自旋场，因此简化形式的愛因斯坦-嘉當引力-自旋场的运动方程：

(1)电子场运动方程：

(2)电磁场运动方程：

(3)自旋场运动方程：

(4)引力场运动方程：

a.	第一形式：


b.	第二形式：

可以证明上述运动方程是相容的，因此有挠时空的愛因斯坦-嘉當引力-自旋场理论消除了爱因斯坦引力理论与狄拉克电子理论之间的矛盾。

 应用 
解释宇宙加速膨胀
解释先锋异常
解释星系转动曲线
预言带电物体周围的引力异常
预言日月食的引力异常

參見
ECT理论-牛顿引力理论

参考文献








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