容度

在數學中，容度是位勢論裡描述一個集合大小的概念。

定義
一如測度之於測度論，容度在某種意義下描述一個集合的大小。容度出現在許多數學領域中，特別是逼近理論或複分析。它的起源則與靜電學中電容的概念有關。

對於  上一個有限且帶緊支集的博雷尔测度 μ ，可以抽象地定義相應的位勢函數：

這裡的 μ 在物理上可以想像成一個  維世界裡的電荷分佈——至少在  時吻合靜電學。μ 的能量則抽象地定義為位勢的總和：

當 n=2 時，兩個定義中的  都改取 

設  為緊集，其容度定義作

 其中的下確界取遍支集在  上的所有博雷尔機率測度 μ。

二維情形
在一個黎曼曲面 M 上給定一點 。若存在一個以  為極點的格林函數，則它在  點的一個夠小開鄰域 Ω 上有唯一表法

其中  是  上的調和函數。

此時  決定  的容度。這些量能用來分類黎曼曲面。根據  的曲率，可以用雙曲距離或球面距離取代上述定義中的歐氏距離 ，由此可得到雙曲容量與球面容度（或稱橢圓容度）。

文獻


 J. L. Doob. Classical Potential Theory and Its Probabilistic Counterpart, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, ISBN 3-540-41206-9.

Category:位勢論
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