局部域

在數學上，局部域是一類特別的域，它有非平凡的絕對值，此絕對值賦予的拓撲是局部緊的。局部域可粗分為兩類：一種的絕對值滿足阿基米德性質（稱作阿基米德局部域），另一種的絕對值不滿足阿基米德性質（稱作非阿基米德局部域）。在數論中，數域的完備化給出局部域的典型例子。

非阿基米德局部域
設為非阿基米德局部域，而為其絕對值。關鍵在下述對象：
 閉單位球：，或其整數環，這是個緊集。
 整數環裡的單位元素：
 開單位球：，這同時是其整數環裡唯一的極大理想，也記作。

上述對象與賦值環的構造相呼應；事實上，可證明必存在實數及離散賦值，使得

.

可取唯一的使得為滿射，稱之為正規化賦值。

從此引出非阿基米德局部域的另一個等價定義：一個域，帶離散賦值，使得成為完備的拓撲域，而且剩餘域有限。

這類局部域的行為可由局部類域論描述。

分類
局部域的完整分類如次：
 。這些是阿基米德局部域。
 p進數域的有限擴張。這些是特徵為零的非阿基米德局部域。
 的有限擴張（其中表有q個元素的有限域）。這些是特徵非零的非阿基米德局部域。

文獻

 Milne, James, Algebraic Number Theory.

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