同倫

同伦（）在數學和拓撲學上描述了兩個對象間的「連續變化」。两个定义在拓扑空间之间的连续函数，如果其中一个能“连续地形变”为另一个，则这两个函数称为同伦的。这样的形变称为两个函数之间的同伦。同伦的一个重要的应用是同倫群和的定义，它们是代数拓扑中重要的。

事实上，在特定的空间中应用同伦还有一些技术上的困难。代数拓扑学家一般使用紧生成空间、CW复形或。

 定义 
給定兩個拓撲空間  和 。考慮兩個連續函數 ，若存在一個定义在空间 X 与单位区间 [0,1] 的积空间上的連續映射  使得：



則稱是 之间的一个同倫。

如果我们将 H 的第二个参数当作时间，这样 H 相当于描述了一个从 f 到 g 的连续形变：0 时刻我们得到函数f，1 时刻我们得到函数 g。
我们也可以将第二个参数视作一个可以滑动的“控制条”，当控制条从0滑动至1时，函数 f 平滑地转变为函数 g，反之亦然。

另一種觀點是：對每個，函數  定義一條連接  與 的路徑：

右侧的循环动画展示了两个嵌入中的环面之间的同伦。X 是环面，Y 是 。f，g 是从环面到
R3的连续函数，当动画开始时，f 把环面映射为嵌入的甜甜圈的表面。g 把环面映射为嵌入的咖啡杯表面。动画展示了ht(x)作为时间的函数时的图像。每一次循环中，时间 t 从 0 变成 1，暂停一会，又从 1 变成 0。

 性质 
当且仅当存在同伦 H 将 f 变换为 g时，称连续函数 f 和 g 是同伦的。同伦是 X 到 Y 上所有的连续函数之间的一种等价关系。以下情形中，同伦关系满足函数的复合：

如果  是同伦的，并且  是同伦的，则他们的复合  与  也是同伦的。

 例子 
例一：取 , ,  及 。則 與  透過下述函數在  中同倫。

（注意到此例子不依賴於變數 ，通常並非如此。）

註：「在中同倫」的說法提示一個重點：在例一中若將代為子空間，則雖然 與 仍取值在，但此時它們並不同倫。此點可藉中間值定理驗證。

例二：取,, 及 。则描繪一個以原點為圓心的單位圓； 停在原點。 與  透過下述連續函數同倫：

幾何上來看，對每個值，函數描繪一個以原點為圓心，半徑  的圓。

相對同倫
為定義高階基本群，必須考慮相對於一個子空間的同倫概念。這是指能在不變動該子空間的狀況下連續變化，正式定義是：設是連續函數，固定子空間 ；若存在前述同倫映射 ，滿足：


則稱  相對於  同倫。若取 ，則回到原先的同倫定義。

空間的同倫等價
給定兩個拓撲空間 與 ，我們稱之同倫等價（或稱具相同倫型），当且仅当存在兩個連續映射與，使得：
  同倫到  的恆等映射 。
  同倫到  的恆等映射 。

同胚蘊含同倫，反之則不然，詳見以下例子：

例三：
 一個平面上的圓或橢圓同倫等價到，即去掉一點的平面。
 線段、閉圓盤及閉球間兩兩同倫等價，它們皆同倫等價於一個點。

同倫等價是個拓撲空間之間的等價關係。許多代數拓撲學裡的性質均在同倫等價下不變，包括有：單連通、同調群及上同調群等等。

同痕
同痕（Isotopy）是同倫的加細版；我們進一步要求所論的函數 和  是嵌入，並要求兩者間可用一族嵌入映射相連。

定義如此： 與 被稱為同痕的，若且唯若存在連續映射使之滿足：


 對所有，映射是個嵌入映射。

同痕的概念在紐結理論中格外重要：若兩個結同痕，則我們視之相等；換言之，可以在不使結扯斷或相交的條件下彼此連續地變形。

注释

参考

參見

 庞加莱猜想
 同倫範疇
 同伦类型论




T
T
*