有限群表示論

在數學裡，表示理論是以線性變換的群來分析一般抽象群的一種技術。相關的介紹請見群表示，此條目則討論含有有限個元素的群的表示理論。

表示論也在諸多領域上有應用，例如說：量子化學或是量子物理等等。除此之外，有限群表示論也常應用在代數上去檢驗群的結構，甚至在其他數學領域上，例如調和分析或是數論上，都是有應用的。

基本定義
此條目中的所有線性變換都是有限維的，且除了有另外提起外，基域都假定為複數域。G的表示是一個群同構 ρ:G → GL(n,C)，由 G 至一般線性群 GL(n,C) 的映射。因此，要選定一個表示，則只要將群內的每個元素配定一個方陣，其中方陣的相乘和群元素間的運算會是一樣的。

若矩陣是實數的，則稱 ρ 是 G 的一個實表示。換句話說， 

 線性表示 
令是一個在體上的向量空間同時是一個有限群。一個關於群的線性表示是一個群同態這裡的是指一般線性群而指的是自同構群。而向量空間則被稱作是群的表示空間。我們會將向量空間的維度定義成一個線性表示的次數（）。

 置換表示 

另一種公式化
表示 ρ: G → GL(n,C) 定義了 G 在向量空間 Cn 上的群作用，而且此一作用也可以完全決定 ρ 。因此，要選定一個表示，選定在表示的向量空間上的作用即已足夠。

換言之，群 G 在複向量空間 V 上的作用可以推導出群代數 C[G] 在向量空間 V 上的左作用，反之亦然。因此，表示會等價於左 C[G]-模。

群代數 C[G]是一個在複數上，以 G 作用的 |G| 維代數。（參見彼德-外爾定理中緊緻群的例子。）而實際上， C[G]是 G×G 的一個表示。更具體地來說，若 g1 跟 g2 是 G 的元素，且 h 是 C[G] 中相對應至 G 的 h 的一個元素，則

(g1,g2)[h]=g1 h g2-1。

C[G] 也可以以三種方式來做為 G 的表示：
共軛： g[h] = g h g−1
左作用： g[h] = g h（正則表示）
右作用： g[h] = h g−1（同上）
這些都可以在 G×G 作用中被「找到」。

例子

對許多的群而言，用矩陣來表示完全是一件很自然的事情。例如，一個二面體群 D4——正方形的對稱，即可以兩個鏡射矩陣的表示來產生：



這裡， m 是由 (x,y) 映射至 (− x,y) 的鏡射，而 n 則是由 (x,y) 映射至 (y,x) 的鏡射。這些矩陣的相乘一共可以產生構成此群的八個矩陣。如上所述，可以以矩陣來表示，或者也可以以在二維向量空間 (x,y) 上的作用來表示。

此一表示是「真實的」－亦即，在矩陣和群的元素之間是一對一對應的，因為不存在在群作用下不變的 (x,y) 的子空間。

表示間的態射

子表示和不可約表示

由舊表示建構新表示

應用舒爾引理

特徵理論

歷史

另見
實表示
對稱群表示理論Representation theory of the symmetric group
舒爾正交關係
德林-勒斯泰格理論

參考文獻
 The standard graduate level reference for representations of groups in general.
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