狄利克雷摺積

在算術函數集上，可以定義一種二元運算，使得取這種運算為乘法，取普通函數加法為加法，使得算術函數集為一個交換環。其中一種這樣的運算便是狄利克雷摺積。它和一般的卷积有不少相類之處。

對於算術函數，定義其狄利克雷摺積。

取狄利克雷摺積為運算，積性函數集是算術函數集的子群。

運算
交換律
結合律
分配律
存在單位函數ε使得。ε(n)的值為1若n=1，否則ε(n)=0。
 對於任意算術函數，若不等於0，都有唯一的逆函數，使得。

的值如下：

 對於，

默比乌斯函数μ的逆函數為（一般意義上的）1，即對於，。這是默比乌斯反演公式的原理。

狄利克雷摺積得名於數學家約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷。1857年约瑟夫·刘维尔曾發表了許多包含這個運算的恆等式。將它視為二元運算這個觀點由埃里克·坦普爾·貝爾和M.奇波拉1915年提出。

導數
若定義的「導數」，可以發現這個運算和連續實函數的導數有不少相似的地方：





級數

對於算術函數，定義其狄利克雷級數

對於一些算術函數的狄利克雷級數，它們的積，跟那些算術函數的狄利克雷摺積的狄利克雷級數是相等的：

這跟卷积定理很相似。

定義的貝爾級數

也有類似的關係：


參考
 Introduction to Analytic Number theory, Tom M. Apostol
 http://eom.springer.de/D/d130150.htm 
Category:算術函數
Category:二元运算
Category:双线性算子