包絡線

包絡線（Envelope）是幾何學裡的概念，代表一條曲線與某個曲線族中的每條線都有至少一點相切。（曲線族即一些曲線的無窮集，它們有一些特定的關係。）

設一個曲線族的每條曲線可表示為，其中是曲線族的參數，是特定曲線的參數。若包絡線存在，它是由得出，其中以以下的方程求得：



若曲線族以隱函數形式  表示，其包絡線的隱方程，便是求下面兩個方程的解x和y之隱函數關係。



繡曲線是包絡線的例子。直線族（其中是常數，是直線族的變數）的包絡線為拋物線。 

證明

設曲線族的每條曲線為。

設存在包絡線。由於包絡線的每點都與曲線族的其中一條曲線的其中一點相切，對於任意的，設表示和包絡線相切的那點。由此式可見，是包絡線的變數。要求出包絡線，就即要求出。

在的切向量為，其中。

在E的切向量為。因為是和的函數，而此處，局部求導有：



類似地得 。

因為和在該點相切，因此其切向量應平行，故有




其中。可用此兩式消去。整理後得：

參考
 https://web.archive.org/web/20070621035057/http://www.math.neu.edu/~bridger/Envelope/envelope.htm
參見
克萊羅方程
外部連結
 Special Plane Curves: Envelope 
 Envelopes of Lines and Circles 

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