克萊姆法則

克萊姆法則或克拉瑪公式（）是一個線性代數中的定理，用行列式來計算出線性等式組中的所有解。這個定理因加百列·克萊姆（1704年 - 1752年）的卓越使用而命名。在計算上，並非最有效率之法，因而在很多條等式的情況中沒有廣泛應用。不過，這一定理在理論性方面十分有效。

 基本方程 
一個線性方程組可以用矩陣与向量的方程來表示：

其中的是一个的方塊矩陣，而向量  是一个长度为n的行向量。 也一样。

克莱姆法则说明：如果是一个可逆矩陣（  ），那么方程(1)有解 ，其中

     (1)

当中是列向量的第i行（行向量与列向量不一样，解释默认列向量）

當中是列向量取代了的第i列后得到的矩阵。為了方便，我們通常使用來表示，用來表示。所以等式(1)可以寫成為：

。

 抽象方程 

設為一個環，就是一個包含的系數的矩陣。所以：

當中就是的行列式，以及就是單位矩陣。

 證明概要 
对于元线性方程组

把系数矩阵  表示成行向量的形式

由于系数矩阵可逆，故方程组一定有解.

设，即

考虑的值，利用行列式的線性和交替性質，有

于是

 例子 
运用克萊姆法則可以很有效地解決以下方程组。

已知：

使用矩陣來表示時就是：

当矩阵可逆时，x和y可以從克萊姆法則中得出：

以及

用3×3矩陣的情況亦差不多。

已知：

當中的矩陣表示為：

当矩阵可逆时，可以求出x、y和z：
、      以及   

 微分幾何上的應用 
克萊姆法則在解決微分幾何的问题时十分有用。

先考慮兩條等式和。其中的u和v是需要考虑的变量，并且它们互不相关。我們可定義和。

找出一條等式適合是克萊姆法則的簡單應用。

首先，我們要計算、、和的導數：

將和代入和，可得出：

因為和互不相关，所以和的系數都要等於0。所以等式中的系數可以被寫成：

現在用克萊姆法則就可得到：

用兩個雅可比矩陣來表示的方程：

用類似的方法就可以找到，，。

 基本代數上的應用 
克萊姆法則可以用來證明一些線性代數中的定理，當中的定理對環理論十分有用。

 線性規劃上的應用 
克萊姆法則可以用來證明一個線性規劃問題有一個基本整數的解。這樣使得線性規劃的問題更容易被解決。

 缺点 
克莱姆法则在电子计算机出现后，被认为是难以实际用于计算的。当使用克莱姆法则计算一个阶线性方程组时，所需乘法次数为 次。例如求解25阶线性方程组时，总计乘法次数需要（即4.03×1026）次，若计算机每秒能计算100亿次，所需时间约12.79亿年。相比之下，高斯消元法只需3060次乘法，对计算机而言易如反掌。

 參考文獻 

 外部链接 
 Online calculator to solve a system of ecuations using the Cramer's Rule
 Systems Solver

K
K
Category:矩阵分解
Category:行列式计算