證明22/7大於π

人們經常使用這個有理數作為圓周率的丢番圖逼近。在的連分數表達中，是它的一個渐近分數。從這兩個數字的小數形式可見是大於的：

這個近似值從古代就有人使用。縱使阿基米德並非這個近似值的始創者，但他證明了高估了圓周率。他以大於外切正96邊形的周界：該圓直徑之比作證明。

這個近似值常被稱為「約率」雖然它又被為「疏率」，但有數學家指出這名稱不適合。，除這以外，常用的近似值還有同是由祖沖之在5世紀提出的「密率」：。

以下是另一個的證明，所用到的只是微積分的基本技巧。它本來只是用於顯示可以用有系統的方法計算π的值，而非以證明為最終目標。它比起一些基本證明更容易理解比較愛德華·梅特蘭·賴特和高德菲·哈羅德·哈代，第22章中的質數定理的基本證明（1938）《數論介紹》第5版，美國牛津大學出版社（1980年4月17日）ISBN 978-0-19-853171-5。它的優雅是由於它和丟番圖逼近的關連。路卡斯稱這條公式為「其中一個估計π值的最美麗結果」Lucas, Stephen. "Integral proofs that 355/113 > π", Australian Mathematical Society Gazette，32冊，4號，263–266頁這著作開首便道這是「其中一個估計π值的最美麗結果」。。Havil以這個結果作爲一個有關以連分數估計的討論之結尾，說它在該範疇是「不得不提及」的。

概念

故此。

詳情
被積函數是一個分數，其分子和分母皆是非負函數，所以該積分是正數。由於被積函數是正數，由0至1的定積分也大於0。

以下就證明該積分實際上與的關係：

{|
|-
|
|
|-
|
|
|展開分子的數項
|-
|
|
|多項式長除法
|-
|
|
|定積分（微积分基本定理）
|-
|
|
|把結果代入1和0，然後相減。注意：
|-
|
|
|加數
|}

布肯南數學比賽中的出現
求取這積分的值是1968年威廉·罗威尔·普特南数学竞赛的第一個題目：
A-1. 证明

上限和下限
達賽爾（1944）指出，只要把1代入分母中的，可輕易取得積分的下限；把0代入分母中的，可取得積分的上限Dalzell, D. P. (1944). "On 22/7", Journal of the London Mathematical Society 19, 133–134頁：

結果得出

也許這是計算值至小數後3位的最快和最基本的方法。另參見達賽爾（1971）Dalzell, D. P. (1971). "On 22/7 and 355/113", Eureka; the Archimedeans' Journal, 34冊, pages 10–13頁..

參考資料

相關條目
圆周率近似值
證明0.999...等於1
证明所有素数的倒数之和发散
费马平方和定理的证明
數學符號表

外部連結
 Pi的故事，Jonathan Borwein著；第5頁出現這積分

Category:數學推理
Category:圆周率