范德蒙矩陣

在线性代数中, 范德蒙德矩阵（Vandermonde matrix）是一个各-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-(row)呈现出几何级数关系的矩阵，得名于亞歷山大‑泰奧菲爾·范德蒙。

矩阵

其中每一项是，也就是的次方，其中下标和从0开始。Roger A. Horn and Charles R. Johnson (1991), Topics in matrix analysis, Cambridge University Press. See Section 6.1.有些作者将范德蒙德矩阵定义为上述矩阵的转置。

当时，即范德蒙德矩阵为方阵时，其行列式称作范德蒙德行列式或，范德蒙德行列式的值为：

范德蒙德行列式非零当且仅当所有互异（即任意二者皆不相等），此时范德蒙德矩阵可逆。

应用
多项式插值问题就是取找到一个多项式  对给定的数据点  满足 ，这个问题可以在之后以范德蒙德矩阵为工具，用线性代数的语言改述。通过矩阵乘法， 可以计算  在点 处的值。其中  是系数向量，而  是值的向量都写作列向量的形式：

若  且  互异，则  是行列式不为零的方块矩阵，也就是可逆矩阵。由此，对给定的 和，可以透过求解方程  来得到其系数 以求出所需的 :韦达定理 .  此时，从系数到多项式的值是以表示的线性双射(一一映射)，并且此插值问题有唯一解，这个结果叫做唯一性定理，是的特例。

在统计学中，方程  表示范德蒙德矩阵是多项式回归的设计矩阵。

在数值分析中，可以朴素地使用高斯消元法作为一个算法来求解 ，其时间复杂度为 。利用范德蒙德矩阵的结构，可利用牛顿差商插值法（或拉格朗日插值法Inverse of Vandermonde Matrix (2018), https://proofwiki.org/wiki/Inverse_of_Vandermonde_Matrix ）以  的复杂度求解这个方程，同时也给出了  的LU分解。即使  是病态的，这个求解算法也可以得到极其精确的结果 （见多项式插值）。

范德蒙德行列式可在使用。Lecture 4 reviews the representation theory of symmetric groups, including the role of the Vandermonde determinant.

当的值属于一个有限域时，范德蒙德行列式也被称作，并且具有对BCH码与里德-所罗门码理论来说重要的性质，

离散傅里叶变换由离散傅里叶变换矩阵定义，此矩阵是一特定的范德蒙德矩阵，其中  处是  次单位根(). 快速傅里叶变换通过计算此矩阵与向量的乘积达到了 的时间复杂度。Gauthier, J. "Fast Multipoint Evaluation On n Arbitrary Points." Simon Fraser University, Tech. Rep (2017). 详见。

在物理学理论的量子霍尔效应中，范德蒙德行列式指出，填充因子为1的等于斯莱特行列式；然而在分数量子霍尔效应中，对于不同于1的填充因子，这一说法不再成立。

在多面体几何中, 范德蒙德矩阵矩阵给出了任意  维面的正规化量度。 具体来说，若  是循环多胞形  的一个维面，而这个循环多胞形又与  对应，则有：

 参阅 
 拉格朗日插值法
 朗斯基行列式

 参考文献 

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