西爾維斯特數列

西爾維斯特數列的定義為。當，由於空積（一個空集內所有元素的積）是，所以，之後是（OEIS:A000058）

這亦可以用遞歸定義：。

以數學歸納法可證明。

「求個埃及分數，使它們之和最接近而又小於。」答案就是這數列中首個數的倒數之和。因此，西爾維斯特數列又可以貪婪算法來定義：每步選取的一個分母，使得對應的埃及分數再加上之前的和最接近1而又少於1。

西爾維斯特數列可以表示為，其中E約為1.264。這和費馬數很相似。

這數列以詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特命名。

 和為有理數且快速增長的唯一性 
若有數列  且 ，則必存在使得對於，。Badea, Catalin, 1993. "A theorem on irrationality of infinite series and applications". Acta Arithmetica 63: 313–323.

保羅·艾狄胥猜想上面的不等式可以改為更弱的條件。
 質數 
顯然兩個相異的西爾維斯特數必定互質。在首三百萬個質數只有1166個是西爾維斯特數列的因數。Vardi, Ilan (1991). Computational Recreations in Mathematica. Addison-Wesley, 82–89. ISBN 0-201-52989-0. 現時所知的西爾維斯特數中，都是無平方數因數的數，但未有證明所有西爾維斯特數都是。西爾維斯特數的質因數在質數集的密度為0。

 參考 

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