凹函数

凹函数（）是指为凸集的一类函数。

 定義 
如果一個有實值函數f对任意该区间内不相等的x和y和[0,1]中的任意t有

则我们称f在某區間（或者某個向量空間中的凸集）上是凹的

某函數f:R→R，在x和y之間的每一點z，在圖中的點(z, f(z) )是在以點(x, f(x) )和(y, f(y) )連成的直線之上。

Image:ConcaveDef.png

 性質 
如果一個可微函數它的導數在某區間是單調遞減的，就是凹的：一個凹函數的斜率單調遞減（當中遞減只是代表非遞增而不是嚴格遞減，也代表這容許零斜率的存在。）

如果一個二次可微的函數，它的二階導數是正值，那麼它的圖像是凸的；如果二階導數是負值，圖像就會是凹的。

如果凸函數（也就是向上開口的）有一個「底」，在底的任意點就是它的極小值。如果凹函數有一個「頂點」，那麼那個頂點就是函數的極大值。

如果是二次可微的，那麼就是凹的若且唯若是非正值。如果二階導數是負值的話它就是嚴格凹函數，但相反而言又不一定正確，例如當。
如果是凹的也是可微的，那麼

一個在的連續函數是凹的若且唯若对于任意属于的x和y，有

 例子 
 函數 和 都是凹函數因為它們的二階導數永遠都是一個負值。
 任何線性函數既是凸函數也是凹函數。
 函數在區間是凹的。
 函數是一個凹函數，當中是一個非负定矩陣的行列式。

注释

 参见 
 凸函数

Category:數學分析
Category:函数