巴塔林-维尔可维斯基代数

Batalin-Vilkovisky代数（Batalin–Vilkovisky formalism，简称BV代数）是Batalin和Vilkovisky在研究规范场的量子化过程中发现的一种代数结构 I.A. Batalin and G.A. Vilkovisky, Gauge algebra and quantization. Phys. Lett. B 102 (1981), no. 1, 27-31.I.A. Batalin and G.A. Vilkovisky, Quantization of gauge theories with linearly dependent generators. Phys. Rev. D (3) 28 (1983), no. 10, 2567-2582.。他们所提出的量子化方法（称为BV formailism或者BV quantization），是一种十分普遍而且有效的量子化方法，正受到越来越多的量子场论学家和弦理论家的重视和应用，而BV代数也越来越受到数学家们的重视。

定义

设是数域上的一个分次(graded)线性空间。上的一个BV代数结构是三元组，满足以下两个关系：
 是上的分次、交换、结合的代数(algebra)；
 是关于的二阶微分算子，即的度数为1，，并且对任给的,

在上面的定义中，如果令

则可以验证，形成一个Gerstenhaber代数。因此可以说，BV代数是一类特殊的Gerstenhaber代数。不仅如此，还是关于的导子(derivation)，即

使得形成一个微分分次李代数(differential graded Lie algebra, DGLA)。

例子

迄今为止所发现的BV代数的例子几乎都与数学物理有关。

设是一个奇的辛流形(odd symplectic manifold)，记为上光滑函数组成的集合。我们有形成一个分次交换结合的代数，记其乘法为。设为上的一组Darboux坐标，令则可以验证，形成一个BV代数，参见A. Schwarz, Geometry of Batalin-Vilkovisky quantization, arxiv: hep-th/9205088D. Fiorenza, An introduction to the Batalin-Vilkovisky formalism, arxiv: math.QA/0402057 ；
田刚(G. Tian)在关于卡拉比-丘流形(Calabi-Yau manifold)的复结构的形变空间是光滑的证明中，实际上证明了控制复结构形变的微分分次李代数是一个BV代数G. Tian, Smoothness of the universal deformation space of compact Calabi-Yau manifolds and its Petersson-Weil metric. Mathematical aspects of string theory (San Diego, Calif., 1986), 629-646, Adv. Ser. Math. Phys., 1, World Sci. Publishing, Singapore, 1987.；
B. Lian和G. Zuckerman证明了量子场论的数学背景(background，指从量子场论中抽象出来的代数结构)有一个BV代数结构B. Lian and G. Zuckerman, New perspectives on the BRST-algebraic structure of string theory. Comm. Math. Phys. 154 (1993), no. 3, 613-646.；
E. Getzler用不同于Lian和Zuckerman的方法证明，一个二维拓扑共形场论(TCFT，此处采用Segal的定义)的同调群有一个自然的BV代数结构E. Getzler, Batalin-Vilkovisky algebras and two-dimensional topological field theories. Comm. Math. Phys. 159 (1994), no. 2, 265-285.；
M. Chas和D. Sullivan证明，一个流形的自由环路空间(free loop space)的同调群上有一个BV代数结构M. Chas and D. Sullivan, String topology, arxiv:  math-GT/9911159. 。

背景

正如上面所述，BV代数跟量子场论有密切的联系。事实上，对一些数学物理学家来说，一个量子场论就指一个BV代数以及其中一个元素，该元素满足以下方程：等价于称为Master方程，有时候必须满足所谓的量子Master方程，即

另外，BV代数跟弦理论里面的镜像对称(Mirror Symmetry)也有密切的关系。事实上，镜像对称的A模型和B模型都有一个BV代数，而它们相应的Master方程的解空间上都有一个所谓弗罗贝尼乌斯流形的结构。镜像对称的一种表述就是，这两个Frobenius流形是同构的。

BV代数的研究是目前数学特别是数学物理中一个比较活跃的领域，关于它的研究仍在进行之中。

参考文献

Category:规范理论
Category:超对称
Category:辛幾何
Category:理论物理