納皮爾的骨頭

納皮爾的骨頭在清初传入中国，数学家梅文鼎在《梅氏丛书辑要》中最先介绍納皮爾的骨頭，梅氏称之为“筹算”。后来戴震著作《策算》也叙述了这种算法吴文俊主编<《中国数学史大系》第七卷 156-158页。thumb|清代骨质算筹。中国财税博物馆藏。

 簡介
底座左邊的數字由上而下是1-9。先將之稱為n。

每根圓柱又分為十格，下面九格有自左下而右上的斜線。最上面的格子寫著1-9的數字，姑且稱為k，代表著這根柱子的編號。編號下面的數字則是由k乘上橫排相對應的n得到的，十位數擺左上角，個位數擺右下角。

 乘法運算 
舉例說明如何用納皮爾的骨頭進行乘法運算。

46785399乘以7

1.把編號4,6, 7,8, 5,3, 9,9的圓柱依序放入底座。

2.如下圖將結果相加即得到乘積（記得要進位）。

600px|運算方法

46785399乘以96431

1.把編號4,6, 7,8, 5,3, 9,9的圓柱依序放入底座。

2.將46785399乘以9,6, 4,3, 1分別用上述方法一條一條算出來。

3.接著用直式加法把數字加起來。

600px|運算方法

 除法運算 
同樣舉例說明。

46785399除以96431

1.把除數（96431）編號的柱子擺入底座。

2.如下圖所示把96431乘以1-9的結果寫出來。

3. 46785399從左邊六位開始看，下面寫上小於467853但最大的96431k。

4.用467853去減96431k（此例中k=4），得到的數字寫下面。

5.把上面的數字（9）移下來，如同長除法般重複進行此動作。

6.最後得到一個比96431還小的數，為餘數。

7.如有需要，可以一直進行除法工作以得到小數點位數。

File:Napier-example-3.png

 開平方根 
用來開平方根的納皮爾的骨頭會用到第十根柱子，上有三個直排。第一排上有數字1-9的平方，第二排是數字2,4, ...,18，第三排則是1-9。

+     1  2  3  4  5  6  7  8  9 √  1  0/1  0/2  0/3  0/4  0/5  0/6  0/7  0/8  0/9  0/1     2   1 2  0/2  0/4  0/6  0/8  1/0  1/2  1/4  1/6  1/8  0/4     4   2 3  0/3  0/6  0/9  1/2  1/5  1/8  2/1  2/4  2/7  0/9     6   3 4  0/4  0/8  1/2  1/6  2/0  2/4  2/8  3/2  3/6  1/6     8   4 5  0/5  1/0  1/5  2/0  2/5  3/0  3/5  4/0  4/5  2/5   10   5 6  0/6  1/2  1/8  2/4  3/0  3/6  4/2  4/8  5/4  3/6   12   6 7  0/7  1/4  2/1  2/8  3/5  4/2  4/9  5/6  6/3  4/9   14   7 8  0/8  1/6  2/4  3/2  4/0  4/8  5/6  6/4  7/2  6/4   16   8 9  0/9  1/8  2/7  3/6  4/5  5/4  6/3  7/2  8/1  8/1   18   9

求出46785399的平方根

1.把46785399分為兩位兩位一組，46 78 53 99。（如果奇數位數，如83559，寫成8 35 59）

2.從最左邊那組，46，開始。找出比這數最小的完全平方數，是在第六橫排上的36。

3.因為是從第六橫排上挑出來的，所以答案的第一位是6。

4.找到第十根柱子上的第六橫排第二直排，12，然後把1跟2的柱子放在底座上。

5.用46減去36得到10，然後把上面下一組的78移到10的右邊。

    1  2 √ 1  0/1  0/2  0/1     2   1 2  0/2  0/4  0/4     4   2 3  0/3  0/6  0/9     6   3 4  0/4  0/8  1/6     8   4 5  0/5  1/0  2/5   10   5 6  0/6  1/2  3/6   12   6 7  0/7  1/4  4/9   14   7 8  0/8  1/6  6/4   16   8 9  0/9  1/8  8/1   18   9          _____________
         √46 78 53 99    = 6
          36–10 78

7.找出比1078還要小但最大的數，在此第八橫排的1024是最大的：
  0/8 1/6 6/4 → 1024

8. 8為答案的下一位數，寫在6旁邊，然後把1078減去1024得到54。

    1  2 √  （value） 1  0/1  0/2  0/1     2   1  121 2  0/2  0/4  0/4     4   2  244 3  0/3  0/6  0/9     6   3  369 4  0/4  0/8  1/6     8   4  496 5  0/5  1/0  2/5   10   5  625 6  0/6  1/2  3/6   12   6  756 7  0/7  1/4  4/9   14   7  889 8  0/8  1/6  6/4   16   8  1024 9  0/9  1/8  8/1   18   9  1161          _____________
         √46 78 53 99    = 68
          36–10 78
          10 24
          -----
             54

9.把之前的12乘上10，再加上第十根柱子第八橫排第二直排的數，16，得136。

10.重複上述步驟可得到結果：

    1  3  6 √  1  0/1  0/3  0/6  0/1     2   1 2  0/2  0/6  1/2  0/4     4   2 3  0/3  0/9  1/8  0/9     6   3 4  0/4  1/2  2/4  1/6     8   4 5  0/5  1/5  3/0  2/5   10   5 6  0/6  1/8  3/6  3/6   12   6 7  0/7  2/1  4/2  4/9   14   7 8  0/8  2/4  4/8  6/4   16   8 9  0/9  2/7  5/4  8/1   18   9          _____________
         √46 78 53 99    = 68
          36–10 78
          10 24
          -----
             54 53

11.再次找到比5453還要小但最大的數，為4089。5453減去4089為1364，並把3寫在68的旁邊。

    1  3  6 √     1  0/1  0/3  0/6  0/1     2   1  1361 2  0/2  0/6  1/2  0/4     4   2  2724 3  0/3  0/9  1/8  0/9     6   3  4089 4  0/4  1/2  2/4  1/6     8   4  5456 5  0/5  1/5  3/0  2/5   10   5  6825 6  0/6  1/8  3/6  3/6   12   6  8196 7  0/7  2/1  4/2  4/9   14   7  9569 8  0/8  2/4  4/8  6/4   16   8  10944 9  0/9  2/7  5/4  8/1   18   9  12321          _____________
         √46 78 53 99    = 683
          36–10 78
          10 24
          -----
             54 53
             40 89
             -----
             13 64

12.把3乘2的結果加上之前136的十倍，得到1366。把1,3, 6,6的版子擺入底座。

13.再度重複上述步驟。現在比最底下的數小的數是第九橫排的123021。

    1  3  6  6 √     1  0/1  0/3  0/6  0/6  0/1     2   1  13661 2  0/2  0/6  1/2  1/2  0/4     4   2  27324 3  0/3  0/9  1/8  1/8  0/9     6   3  40989 4  0/4  1/2  2/4  2/4  1/6     8   4  54656 5  0/5  1/5  3/0  3/0  2/5   10   5  68325 6  0/6  1/8  3/6  3/6  3/6   12   6  81996 7  0/7  2/1  4/2  4/2  4/9   14   7  95669 8  0/8  2/4  4/8  4/8  6/4   16   8  109344 9  0/9  2/7  5/4  5/4  8/1   18   9  123021          _____________
         √46 78 53 99    = 6839
          36–10 78
          10 24
          -----
             54 53
             40 89
             -----
             13 64 99
             12 30 21
             --------
              1 34 78

14.再把9加到答案當中，得到整數答案6839。

我們把題目給的數46785399用完了，但是底下還有餘數13478。這意味著6839-{只}-是答案的整數部分，的實際值應當比6839大，比6840小。如果有需要繼續做下去以得到小數部分的話，下一組的兩個數字就要用00：

    1  3  6  7  8 √ 1  0/1  0/3  0/6  0/7  0/8  0/1     2   1 2  0/2  0/6  1/2  1/4  1/6  0/4     4   2 3  0/3  0/9  1/8  2/1  2/4  0/9     6   3 4  0/4  1/2  2/4  2/8  3/2  1/6     8   4 5  0/5  1/5  3/0  3/5  4/0  2/5   10   5 6  0/6  1/8  3/6  4/2  4/8  3/6   12   6 7  0/7  2/1  4/2  4/9  5/6  4/9   14   7 8  0/8  2/4  4/8  5/6  6/4  6/4   16   8 9  0/9  2/7  5/4  6/3  7/2  8/1   18   9          _____________
         √46 78 53 99    = 6839.
          36–10 78
          10 24
          -----
             54 53
             40 89
             -----
             13 64 99
             12 30 21
             --------
              1 34 78 00

這些步驟可以一直重複使得到的答案無限逼近正解。

最後，如果要求平方根的數是小數的話，將數字分組的時候整數部分跟小數部分要分開分組；整數部分如常，小數部分則是方向相反。

例如數字54782.917的分組情況為：

5 47 82 . 91 7

接著便可開平方。

参考文献

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Category:除法